termh_z

которых

лежит

в

пределах

, рассеиваются в интервал углов

χ χ

χ .

В

случае

однородного,

по сечению пучка поток частиц,

прицельное,

расстояние

которых попадает в

интервал

, равен

. Основной характеристикой процесса рассеяния,

является

дифференциальное

эффективное

сечение

рассеяния,

σ

,

которое

2

Отсюда, переходя от переменной

к χ, получим:

σ

2

χ

χ

χ.

8.4

χ

Здесь

производная

χ χ взята

по

модулю,

поскольку, как

правило,

χ

χ

0 (как правило, чем меньше

, тем больше угол рассеяния χ).

Часто σ относят не к элементу плоского угла

χ, а к элементу телесного

угла . Телесный угол между конусами с углами раствора χ и χ

χ есть

2

χ χ

. Учитывая это, из

(8.4) находим:

.

8.5

χ

χ

σ

χ

χ

углу рассеяния χ

пределах от

0

до , либо интегрированиемв

χ ϕ~

по всему телесному углу.

8.5

Задача

8.1.

Найдите

R ~

A

ρ

дифференциальное

и

полное

O

ϕ

сечения

рассеяния

частиц

от

поверхности

абсолютно

твердого

шара радиуса .

□ Поскольку в данном случае угол

Рис. 8.2

падения

частиц

равен

углу

отражения,

траектория

каждой

61

Пользуясь равенством (8.1), перепишем выражение.

для в виде:

χ

χ

2

2

.

всему телесному углу , получим:

4

.

σ

2α

.

8.6

2α

2α

8.7

.

Значение

ищем из условия (8.3):

Подставляя

в (8.7), имеем:

Выражая отсюда через и учитывая, что

χ

2, получаем:

2α

2

χ χχ

.

8.8

Дифференцирование этого выражения по χ дает:

χ

2α

2 χ χ

.

8.9

χ

σ

2 α

2

χχ

.

χ

χ

■

При движении в центральном поле (см.

§

7) наличие центробежной

энергии

, обращающейся

при

→0

в

бесконечность, как 1

,

приводит

обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к

2

что

→ ∞ либо как α

с α

2

, либо пропорционально

63

α

2 . Учитывая, что

, данное условие можно переписать в

α

β

,

α 0, β 0.

2

α

β

8.10

2

2

для случаев

β (а) и

β (б).

Видно,

что в случае

2

β частицы не могут попасть в центр

Для случая

β найдем максимальное значение “эффективной”

потенциальной

энергии. Из равенства

2

2функции

0

α

β

определяем координату

максимума

(8.10):

2αβ

.

α

Подставляя в (8.10), получаем:

.

α

Здесь учтено, что

.

4β

2

U

Ueff

eff

E

E

Umax

0

eff

r0

r

0

r

б

а

Рис. 8.3

Очевидно, что “падают” в центр те частицы, у которых

Максимальное значение прицельного расстояния

находится из условия.

или

,

8.11

α

α

4β

2

4β 4

где учтено, что

2

. Из (8.11) находим, что

β

α

4

.

8.12

65

α

,

α 0,

2.

α

β

,

α 0, β 0.

от обобщенных координат

и имеет

минимум в

точке

.

Обозначим

отклонения системы от положения равновесия посредством

α

α

α,

α

. Потенциальную энергию разложим в окрестности точки

в

по малому параметру

α

с точностью до членов второго порядка малости,

ряд 1,2,…,

0:

полагая

,

2

,

,

9.1

2!

1

αβ

α β

α β

1

αβ

αβ α β

где введено обозначение

αβ

α

β

. Ряд (9.1) не содержит члена

с первыми производными от

по координатам, поскольку потенциальная

2

,

,

9.2

1

αβ

αβ

α β

αβ

αβ

.

При этом (9.2) сводится к выражению

,

2

,

1

αβ

αβ α

β

где для сокращения записи введено обозначение:

αβ

αβ.

Функция Лагранжа системы

.

,

2

,

1

αβ

αβ

α β

αβ

α β

а уравнения Лагранжа имеют вид:

0,

1,2,…,

.

9.2

β

αβ

β

αβ β

α

Частные решения системы (9.2) будем искать в виде

β

β

ω ,

β

1,2,…, ,

где β – комплексные постоянные (“ ” в экспоненте –

мнимая единица).

Подставляя β в (9.2)

и

сокращая

на

ω ,

получаем

систему

линейных

однородных алгебраических уравнений относительно

β:

9.3

β

ω

αβ

αβ

β

0,

α

1,2,…, .

68

ω αβ

αβ

уравнением. Оно9.4

Уравнение (9.4) называется характеристическим0.

представляет собой алгебраическое уравнение степени

относительно ω и

каждого ω ровно одно линейно независимое решение β

, которое можно

представить в виде

β β ,

β 1,2,…,

,

где

β

- произвольная комплексная

постоянная, а

β β

– алгебраические

Комплексную

постоянную

выразим через действительные

постоянные и δ

с помощью соотношения

Тогда

,

δ .

1,2,…, ,

а частное решение

β

β β

δ

β

β

β β

ω

δ

, β

1,2,…, .

β

β β

cos ω

δ ,

β

1,2,…, .

Общим решением системы (9.2) будет

,

1,2,…, .

9.5

β

β β

cos ω

δ

β

Константы

и δ

определяются начальными условиями. Из (9.5)

следует,

что изменение

каждой

из координат

системы

со временем представляет

собой суперпозицию

через

.

cos

ω

δ . С

гармонических колебаний

помощью

9.5

можно выразить

Таким

образом,

координаты

можно рассматривать как новые,

обобщенные координаты.

,…,

следовательно, удовлетворяющие

уравнению

ω

0

называют

нормальными или главными координатами.

m1

Задача

9.1.

Тело

массы

,

соединенное с пружиной жесткости

,

k

другой

конец

которой

закреплен

x

неподвижно, может двигаться без

трения по горизонтальной плоскости.

ϕ

l

К телу прикреплен

математический

m2

маятник массы

и длины

(рис. 9.1).

Найдите функцию Лагранжа системы и

y

частоты малых колебаний.

Рис. 9.1

□ В качестве обобщенных координат

выберем координату

смещения тела массы

от положения равновесия и

угол

отклонения от вертикали математического маятника. Кинетическую

энергию можно записать в виде:

,

где

и

– декартовы

координаты частицы

, выраженные

через

2

2

,

обобщенные координаты с помощью формул

.

Отсюда

70,

.

9.6