termh_z

где , , - функция Гамильтона, в которой обобщенные импульсы

выражены через функцию , посредством соотношений

1,2,…, .

Уравнение (15.1) называется уравнением Гамильтона-Якоби, а функция

,- действием системы.

Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби называется решение этого уравнения

можно найти координаты системы как функции времени и 2 произвольных постоянных и .

111

Таким образом, чтобы найти закон движения механической системы методом Гамильтона-Якоби надо:

1)найти функцию Гамильтона системы;

2)с помощью найденной функции Гамильтона записать уравнение Гамильтона-Якоби (15.1);

3)найти полный интеграл (с точностью до аддитивной константы) этого

результаты дифференцирования новым произвольным постоянным записать соотношения (15.3);

5) из соотношений (15.3) найти координаты системы как функции времени и 2 произвольных постоянных.

Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в ряде случаев удается

не содержащей в явном виде других переменных (в неявном виде в функцию входят все переменные). При этом уравнение Гамильтона-Якоби можно

схематично записать, как

0. 15.4

Решение данного уравнения будем искать в виде

112

Подставляя это решение в уравнение (15.4), получаем:

При этом уравнение (15.5) принимает вид:

Уравнение (15.6) является уже обыкновенным дифференциальным уравнением, которое может быть решено в квадратурах, а уравнение (15.7) содержит на одну независимую переменную меньше по сравнению с исходным уравнением (15.4). Если таким способом можно последовательно отделить все координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби целиком сводится к квадратурам.

Частным случаем разделения является случай циклической координаты. Циклическая координата не входит в явном виде в функцию Гамильтона и, следовательно, в уравнение Гамильтона-Якоби. В этом случае

,,

иуравнение (15.6) запишется в виде

.

113

Задача 15.1. Пользуясь определением, найдите действие частицы, движущейся в отсутствие поля и проходящей через точки и

.

□ По определению

Подставляя это значение в (15.8), получаем:

, , . 2 2

■

Задача 15.2. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и закон движения свободной частицы массы , движущейся вдоль одной прямой.

□ Направим ось вдоль прямой, по которой движется точка. Для свободной частицы функция Гамильтона

2 ,

114

а уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид:

откуда

перед радикалом знак “+”. Как будет видно из закона движения выбор знака “+” или “-” определяется начальными условиями – начальной координатой и

Задача 15.3. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, траекторию и закон движения материальной точки массы в поле тяжести.

□ Направим ось вертикально вверх. Тогда функция Гамильтона

2,

а уравнение Гамильтона-Якоби:

Подставляя эту функцию в уравнения (15.3), находим:

116

.

Это означает, что траектории точки лежит в плоскости, параллельной оси . Если совместить с этой плоскостью плоскость , то 0. Тогда следует положить 0. При этом из (15.12) получим уравнение параболы с осью, параллельной оси , а именно

Задача 15.4. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, траекторию и закон движения частицы массы и заряда в поле электрического диполя.

□ Функция Лагранжа для заряда, находящегося в электрическом поле диполя, найдена в задаче 4.5 и равна

и затем функцию Гамильтона

Уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид:

Замечая, что функция Гамильтона не зависит явно от времени и координаты , ищем полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в виде

функции, зависящей только от , т.е.

левая – только . Поэтому равенство (15.15) может выполняться только при условии, что левая и правая части равны одной и той же постоянной.

118

Из этих уравнений следует, что

Тогда функция действия

Пользуясь найденным полным интегралом, составим уравнения (15.3):

Два последних равенства задают в квадратурах траекторию заряда и вместе с первым определяют закон движения. ■

Задачи для самостоятельного решения

78. Пользуясь определением, найдите действие одномерного гармонического осциллятора, проходящего через точки и .

79.Запишите уравнение Гамильтона-Якоби для точки в а) прямоугольной, б) цилиндрической, в) сферической системах координат.

80.Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом.

119

81. Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для математического маятника и закон его движения в квадратуре. Длина математического маятника , а масса .

82.Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и закон движения одномерного гармонического осциллятора.

83.Найдите в цилиндрических координатах полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, закон движения и траекторию частицы, движущейся в

постоянном однородном магнитном поле напряженности .

§ 16. Адиабатические инварианты. Переменные действие­угол

Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение. Пусть данная система характеризуется каким-то параметром , определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится. Предположим, что параметр мало меняется за время периода движения системы, т.е.

среднем остается неизменной при движении системы. Эта величина, называемая адиабатическим инвариантом ( ), может быть вычислена по формуле:

ширины . Найдите, как изменяется энергия частицы при медленном изменении .

□ Обобщенный импульс частицы

√2 ,

120