termh_z

Уравнений Лагранжа в данной задаче будет два:

0, 0.

Производя дифференцирование, находим:

Задача 3.5. Составьте уравнения движения частицы, движущейся по абсолютно гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса в однородном поле тяжести.

□ Данную задачу удобно решать в цилиндрической системе координат. Начало отсчета системы выберем в центре нижнего основания цилиндра, а

21

ось направим вертикально вверх. За ноль потенциальной энергии примем нижнее основание цилиндра. В качестве обобщенных координат возьмем координаты ϕ и .

Кинетическая и потенциальная энергии точки запишутся в виде:

Из этого равенства можно получить два соотношения:

. 3.6

αα

Используя равенство (3.6), находим:

22

0,

αα

что совпадает с уравнением Лагранжа для функции . ■

Задачи для самостоятельного решения

12. Напишите функцию Лагранжа свободной материальной точки массы в

(рис. 3.2). Найдите функцию и уравнения Лагранжа для данной системы, считая углы отклонения маятников от положения равновесия малыми.

15. Две точки с массами и соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий неподвижный блок (рис. 3.3). Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения грузов.

23

16. Через гладкий неподвижный блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к одному из концов которой привязан груз массы . На другом конце повис человек массы , который, выбирая веревку, поднимает груз, оставаясь при этом на одном и том же расстоянии от Земли. Найдите функцию Лагранжа системы и уравнение движения груза .

17. Точка подвеса математического маятника движется в вертикальном

18.Точка подвеса математического маятника движется по горизонтали по закону . Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения маятника.

19.Точка подвеса математического маятника равномерно движется в

вертикальной плоскости по окружности радиуса с угловой скоростью ω. Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения маятника.

§ 4. Уравнения Лагранжа при наличии диссипативных и электромагнитных сил

До сих пор мы рассматривали механические системы с голономными идеальными связями при наличии потенциальных сил. Для таких систем функция Лагранжа . Запишем теперь функцию Лагранжа при наличии:

1)диссипативных сил, а именно сил сопротивления, пропорциональных скорости частицы;

2)электромагнитных сил.

24

□ Сначала найдем, что

,

и, следовательно,

.

Производная от функции (4.1) по равна

.

С учетом этого уравнение Лагранжа принимает вид:

вправо, получим искомое уравнение движения:

.

■

25

Задача 4.2. Материальная точка массы движется по параболе, расположенной вертикально в поле тяжести. На точку действует сила сопротивления, пропорциональная ее скорости с коэффициентом пропорциональности . Найдите функцию Лагранжа и уравнение движения точки.

□ Направим ось вертикально вверх, и пусть уравнением параболы будет

Квадрат скорости точки равен

. 4.3

Дифференцируя (4.2) по времени, находим:

.

Подставляя это выражение в (4.3), получим:

.

Кинетическая энергия точки

а ее потенциальная энергия определяется выражением:

2 .

В соответствии с формулой (4.1) составляем функцию Лагранжа:

Наконец, пользуясь формулой (3.1), запишем уравнение Лагранжа по переменной :

■

26

2) Электромагнитные силы. Пусть частица находится в электрическом поле напряженности и в магнитном поле напряженности . Напряженности электрического и магнитного полей могут быть выражены через скалярный φ и векторный потенциалы:

где - скорость света. В прямоугольной декартовой системе координат операции градиент и ротор записываются в виде:

уравнения (4.4) и (4.5) в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат:

С помощью скалярного и векторного потенциалов функцию Лагранжа частицы массы и заряда , находящейся в электромагнитном поле, можно записать следующим образом:

, , , φ. 4.10 2

27

Задача 4.3. Покажите, что уравнение движения

задачу 1.3), получается из уравнений Лагранжа, в которых в качестве функции Лагранжа взята функция (4.10).

□ Составим уравнения Лагранжа для функции (4.10). Сначала найдем, что

φ0.

Перенося в этом уравнении все силы в правую часть и группируя слагаемые, получаем:

28

Абсолютно аналогично можно получить уравнения Лагранжа для переменных и :

, 4.15

. 4.16

Вспоминая определение векторного произведения, видим, что в круглых скобках равенств (4.14)-(4.16) стоят проекции векторного произведения , и, следовательно, уравнения Лагранжа (4.14)-(4.16) эквивалентны уравнению (4.11). ■

Задача 4.4. Найдите в цилиндрических координатах функцию Лагранжа и уравнения движения частицы массы и заряда , находящейся в однородном магнитном поле , если векторный потенциал задан в виде

0. 4.20

Уравнения (4.18)-(4.20) есть искомые уравнения движения точки. Отметим, что векторный потенциал однородного магнитного поля всегда можно

30