termh_z

,

.

7.15

Подставляя (7.15) в функцию Лагранжа, получим:

μ

.

7.16

- полная2

Здесь

μ

масса

системы,

а

2

называется приведенной массой.

Из (7.16) видно, что функция Лагранжа в координатах

распадается

на два слагаемых, зависящих от различных наборов переменных,

. А именно,

Закон движения приведенной массы

в центральном поле

определяется интегралами (7.4) и (7.5). ■

материальной точки

массы

, движущейся по абсолютно гладкой

поверхности сферы радиуса

в однородном поле тяжести.

□ Функция Лагранжа для сферического маятника (задача 3.3)

.

0

Видно, что

координата

- циклическая, а

. Следовательно,

2

проекцией

момента импульса на полярную ось

) и энергия

:

ϕ

,

7.17

.

7.18

Из интеграла движения

(7.17) следует, что

2

.

7.19

2

,

7.20

2

,

.

7.21

а равенство

имеет вид:

2

,

7.24

Положим

0,

0. Из второго уравнения системы (7.24) имеем

Поскольку

2

,

.

зависит только от

, то при сделанном выборе векторного

2

,

2

2

.

7.25

Из (7.25) видно, что

и

- циклические координаты, а

0. Это

2

.

7.28

2

2

,

1

2

.

Разделяя переменные в2

(7.29)

и интегрируя, имеем (полагаем, что

2

):

.

7.30

2

Задача 7.6 Частица массы и заряда

движется в поле магнитного диполя с

векторным потенциалом

μ

,

μ

,

□ Воспользуемся цилиндрической

системой координат, ось

которой

направим вдоль μ, а плоскость

0

совместим с плоскостью движения

частицы.

55

и обобщенный импульс

2

,

7.33

μ

.

7.34

Из (7.34) находим, что

μ

.

7.35

Подставляя выражение для

в (7.33), имеем:

где

2

,

7.36

μ

2

.

7.37

проанализируем зависимость

. Очевидно, что при

∞,

эффективная потенциальная энергия

, а при

0

,

∞

.

Приравнивая производную

к нулю,

получим:

0

1

2

μ

1

0.

7.38

μ

Отсюда следует, что при

уравнение (7.38) не имеет решений, а,

следовательно, функция (7.37) не

имеет локальных экстремумов. Схематично

0

график функции

для данного случая представлен на рис. 7.1

(а). В

этом случае при любой энергии

частица совершает инфинитное движение.

U

Ueff

eff

E1

E

Umax

eff

E2

0

ρ

0

ρ

ρ

ρ(1) ρ

ρ(2) ρ

а

1

2

3

б

Рис. 7.1

В противном случае,

0, решениями (7.38) будут

μ

,

2

μ

.

Значение

соответствует минимуму функции

, а значение

– ее

локальному

максимуму.

Подставляя

в

(7.37),

найдем значение

локального максимума функции

:

.

32

μ

График

для

приведен на 7.1 (б). Видно, что при

движение

инфинитно, а

при

движение может

быть как

0

инфинитным (в области

для энергии

на рисунке), так и финитным

(

.

Из соотношения (7.36) следует:

.

7.39

2

С учетом (7.37) из (7.35) получаем:

μ

.

7.40

2

Задачи для самостоятельного решения

34.

Найдите уравнение траектории материальной точки массы

,

движущейся в центральном поле с потенциалом

α

.

35.

Материальная точка массы

движется в центральном поле

с

потенциалом

α 0 .

α

Постройте график зависимости

, опишите возможные типы движения

36. Найдите уравнение траектории материальной точки массы

,

движущейся в центральном поле с потенциалом

37. Частица массы

и заряда

движется в однородном поле тяжести под

бесконечно длинным тонким проводом с постоянным током

(рис. 7.2).

O

I

Движение происходит в

вертикальной

x плоскости, проходящей через провод с

током. Определите возможные типы

g

движения частицы и найдите закон

m,q

движения в квадратурах.

38.

Потенциальная

энергия

y

взаимодействия двух частиц имеет вид

,

,

.

Рис. 7.2

и2

Найдите

.

39. Атом состоит из ядра массы

и

электронов одинаковых масс .

массами

и

и с зарядами

и

, находящихся в однородном

электрическом поле напряженности

, если

.

неподвижный

силовой центр из

бесконечности,

где

все

они

имеют

одинаковую

скорость

.

Если

после

прохождения силового центра частицы

~ A

отклоняются от своего первоначального

направления

и

снова

уходят на

χ

ϕ

m бесконечность, то такой процесс

называют

рассеянием

частиц.

Пусть

ρ