termh_z

μ

, 11.17

2 2μ

где .

Формулы (11.14), (11.16) и (11.17) определяют закон движения волчка в квадратурах. ■

Момент инерции относительно оси вращения (см. задачу 10.3)

а) В случае шероховатой поверхности движение происходит без проскальзывания. При этом (поскольку скорость точки касания должна быть равна нулю) скорость центра инерции связана с угловой скоростью соотношением:

0,

откуда

.

Кинетическая энергия полушара

Потенциальная энергия определяется высотой центра инерции над плоскостью, т.е.

С помощью выражений (11.20) и (11.21) составляем функцию Лагранжа:

■

93

Задачи для самостоятельного решения

54.Выразите через углы Эйлера кинетическую энергию вращательного движения шарового волчка – твердого тела, у которого все главные моменты инерции равны.

55.Тонкий стержень массы μ скользит по вертикальной неподвижной нити, проходящей через отверстие, проделанное в его середине. Найдите функцию Лагранжа.

56.Найдите закон движения свободного симметрического волчка массы μ.

57.Одна из половинок однородного сплошного полуцилиндра массы μ находится на горизонтальной плоскости. Найдите частоту малых колебаний в двух случаях: а) шероховатой плоскости; б) гладкой плоскости.

58.Твердое тело подвешено на нити, которая представляет собой упругий круглый цилиндр, подчиняющийся закону Гука (коэффициент

§ 12. Уравнения Эйлера

Использование углов Эйлера для описания вращательного движения твердого тела не всегда оказывается удобным. В ряде случаев проще использовать уравнения Эйлера, которые имеют следующий вид:

Индексы 1, 2, 3 в (12.1) нумеруют направленные вдоль главных осей инерции

94

вычисленного относительно центра инерции тела (суммирование ведется по всем точкам тела). Уравнения Эйлера есть ни что иное, как закон изменения момента импульса тела

как и , вычисляется относитедьно центра инерции тела, а его проекции на оси системы координат равны: , , . Уравнения (12.1) определяют зависимости от времени проекций угловой

необходимо дополнить соотношениями (11.1), которые выражают проекции

уравнениями Эйлера.

Задача 12.1. Получите уравнения Эйлера (12.1) из закона изменения момента импульса твердого тела (12.2).

□ Уравнение (12.2) справедливо в неподвижной инерциальной системе отсчета . Для того, чтобы записать это уравнение во вращающейся вместе с телом системе , оси которой совпадают с главными осями инерции тела,

(12.7) записываем уравнение (12.6) в виде:

.

Видно, что данное уравнение совпадает с первым из уравнений системы (12.1). Аналогично получаются два оставшихся уравнения Эйлера для проекций на оси и . ■

Задача 12.2. Найдите для случая свободного симметрического волчка зависимости проекций вектора угловой скорости на главные оси инерции от времени.

системы на мнимую единицу и сложим с первым: 96

Глава 5. Канонический формализм

§ 13. Уравнения Гамильтона

Рассмотрим систему с степенями свободы. Функция

, ,…., , , ,…., , , , α α , 13.1

α

в которой все обобщенные скорости выражены через обобщенные импульсы и обобщенные координаты с помощью уравнений α α, называется

функцией Гамильтона. Сравнивая выражение (13.1) с (5.2) видим, что функция Гамильтона представляет собой обобщенную энергию системы.

Уравнения (13.2) полностью эквивалентны уравнениям Лагранжа (3.1). Однако уравнения Гамильтона по сравнению с уравнениями Лагранжа имеют более симметричную форму и являются инвариантными по отношению к каноническим преобразованиям (см. следующий параграф). В связи с этим уравнения Гамильтона имеют ряд преимуществ по сравнению с уравнениями Лагранжа при исследовании различных общих вопросов механики.

Задача 13.1. Напишите функцию Гамильтона материальной точки, находящейся в потенциальном поле, в а) декартовых и б) цилиндрических координатах.

□ а) Функция Лагранжа в декартовых координатах имеет вид:

98

Теперь можно записать функцию Гамильтона:

б) В цилиндрических координатах функция Лагранжа

Для обобщенных импульсов получаем следующие выражения:

Отсюда

С помощью функции Лагранжа и выражений для обобщенных импульсов и скоростей находим функцию Гамильтона:

■

Задача 13.2. Найдите функцию Гамильтона для заряженной частицы в электромагнитном поле.

□ Функция Лагранжа для частицы в электромагнитном поле записывается в виде (см. § 4):

Отсюда находим обобщенный импульс:

, .

99

Из этого выражения, получаем:

α.

Функция Лагранжа:

100