termh_z
.pdf
При движении точки ее радиус-вектор зависит через обобщенные координаты от времени, т.е.
, , .
По определению скорость точки
, П.3
где |
- обобщенные скорости точки. Поскольку производные |
направлены также как и базисные векторы, можно записать:
. П.4
С помощью этого равенства из П.3 находим:
,
откуда видно, что проекции скорости на оси криволинейной системы координат
α 1,2,3 . |
П.5 |
Для квадрата скорости имеем:
.
С помощью П.5 легко найти, что в цилиндрической системе координат проекции скорости
, |
, |
, |
а в сферической системе
, |
, |
. |
Найдем теперь ускорение точки в ортогональных криволинейных координатах. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на координатные оси можно записать в виде
141
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
П.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выражая из П.4 , представим выражение |
П.6 |
в форме: |
|
|
|||||||||||||
1 |
|
, |
|
1 |
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
П.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из П.3 следует равенство
. П.8
Кроме того найдем, что
. П.9
Правые части равенств П.8 и П.9 совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования. Поэтому
. П.10
Дифференцируя П.3 по , имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
П.11 |
|
Используя П.10 и |
П.11 , равенство |
|
П.7 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
можно записать в виде: |
|
||||||||||||||
1 |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
. |
П.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С помощью П.12 найдем, что в цилиндрической системе координат проекции ускорения
, |
2 , |
, |
а в сферической системе
, |
2 |
2 |
, |
142
2.
Спомощью коэффициентов Ламе можно записать выражения для дифференциальных операторов в ортогональных криволинейной координатах. В частности:
Φ |
1 |
Φ |
1 |
Φ |
1 |
Φ |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1
.
143
Литература
1.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. - М.: Наука, 1972.
2.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - М.: Физматлит, 2002.
3.Голдстейн Г. Классическая механика. - М.: Наука, 1975.
4.Казаков К.А. Введение в теоретическую и квантовую механику. – М.: Изд-
во МГУ, 2008.
5.Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. - М.:
Наука, 1977.
6.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. - М.: Физматлит, 2001.
7.Маркеев А.П. Теоретическая механика. – Ижевск: НИЦ “РХД”, 1999.
8.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990.
9.Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. - М.: Изд-во МГУ, 1974.
10.Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменков Л.С. Задачи по теоретической механике для физиков. - М.: Изд-во МГУ, 1977.
11.Павленко Ю.Г. Лекции по теоретической механике. - М.: Физматлит, 2002.
12.Павленко Ю.Г. Задачи по теоретической механике. - М.: Физматлит, 2003.
13.Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической механике. - М.: Физматлит, 2002.
14.Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
15.Уиттекер Э. Аналитическая динамика. - Ижевск: НИЦ “РХД”, 1999.
16.Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.
144