Metodicheskie

уровня энергии E и неизохронными в противном случае.

Пример 2.2. Рассмотрим уравнение линейного гармонического

осциллятора mx x 0, m 0 . Здесь U (x)

x2

. Значения x

и x

находятся

min

max

2

x2

из уравнения E

, что дает x

2E , x

2E . По формуле (2.7) имеем

2

min

max

2 E

2 E

dx

x

T

2m

2 m arcsin

2

m .

x2

2E

2 E

2 E

E

2

Таким образом, период колебаний не зависит от уровня энергии E и

колебания являются изохронными.

Пример 2.3. Рассмотрим систему с U (x)

x3

2x .

С помощью пакета

3

U(x)

x3

2x

3

4

2.8

U(x)

1.6

0.4

2

1

0

1

2

3

0.8

2

x

a (x ,

x )

u

a (x ,

x )

u

a (x ,

x )

u

0 ,

(3.1)

1 1

n x

2 1

n

x

n

1

n

x

1

2

n

где a (x ,

x ) – заданные функции, определенные в некоторой области D Rn ,

i

1

n

а u(x1,

xn ) - искомая функция.

Линейным неоднородным уравнением первого порядка с частными

производными называется уравнение вида

a (x ,

x )

u

a (x ,

x )

u

a (x ,

x )

u

b(x ,

x ) ,

(3.2)

x

x

1 1

n

x

2 1

n

n 1

n

1

n

1

2

n

где ai (x1, xn ),b(x1, xn ) –

заданные функции,

определенные

в некоторой

области D Rn , а u(x ,

x )

- искомая функция.

1

n

Квазилинейным уравнением первого порядка с частными производными

называется уравнение вида

a (x ,

x ,u)

u

a (x ,

x ,u)

u

a (x ,

x ,u)

u

b(x ,

x ,u) ,

(3.3)

1 1

n

x1

2 1

n

x2

n 1

n

xn

1

n

где ai (x1,

xn ,u),b(x1,

xn ,u) – заданные функции, определенные в некоторой

области D Rn 1 , а u(x ,

x )

- искомая функция.

1

n

dx1

a (x , x ,

x ,u),

dt

1 1 2

n

dxn

a (x , x ,

(3.4)

x ,u),

dt

n

1 2

n

du

b(x , x ,

x ,u)

dt

1

2

n

dx1

dx2

du

.

(3.5)

a1(x1, x2 ,

,u)

a2 (x1, x2 ,

,u)

b(x1, x2 , ,u)

[v1 (x1, x2 , xn ,u), ,vn (x1, x2 ,

xn ,u)] 0 ,

(3.7)

где – произвольная дифференцируемая функция.

Если функция u входит только в один из первых

интегралов (6),

u(x1, xn ) (u1 (x1,

xn ),u2 (x1, xn ), ,un 1(x1, xn )) ,

(3.8)

где ui (x1, , xn ) Ci ,i 1, 2,

, n 1– независимые первые интегралы системы

уравнений характеристик, а – произвольная дифференцируемая функция.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

x

u

y

u

z

u

0 .

(3.9)

x

y

z

dx

dy

y

C

dx

dz

z

C

x

y

x

1

x

z

x

2

Согласно формуле

(3.8),

общее

решение

уравнения (9) имеет вид

y

z

u

,

, где ( , ) – произвольная дифференцируемая функция.

x

x

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y

z

x

z

x2 y2 .

(3.10)

x

y

Уравнение для характеристик в симметричной форме имеет вид

dx

dy

dz

.

(3.11)

y

x

x2

y2

Найдем независимые первые интегралы этого уравнения. Один первый

интеграл находится из уравнения

dx

dy

и имеет вид x2 y2

C . Для

y

x

1

если

a1

a2

am

t , то при любых

p , p

,

p

справедливо равенство

m

b1

b2

bm

1 2

p1a1 p2a2

pmam

t . Используя это утверждение, из (3.11) получим

p1b1 p2b2 pmbm

ydx xdy

dz

d (xy) dz z xy C .

y2 x2

y2 x2

2

Поскольку функция z

входит только в последний интеграл, решение уравнения

может быть записано в виде

z xy (x2

y2 ) или z xy (x2

y2 ) ,

где ( )

– произвольная дифференцируемая функция.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

x z

y

z

xy z .

(3.12)

x

y

Решение. Уравнение (3.12) – квазилинейное. Уравнение для

характеристик в симметричной форме имеет вид

dx

dy

dz

.

(3.13)

x

y

xy z

Найдем независимые первые интегралы этого уравнения. Один первый

интеграл находится из уравнения

dx

dy

и

имеет вид

y

C . Для нахождения

x

y

x

1

еще одного первого интеграла применим

описанный

выше

прием,

позволяющий найти интегрируемую комбинацию.

Из (3.13) последовательно

получаем

dx

ydx xdy

dz

(t)

ydx xdy dz

(t)

dx

d (xy z)

dx

xy z

xy z

x

2xy

xy z

x

x

ln | xy x | ln | x | ln C

xy z

C .

2

x

2

Согласно формуле (3.7), общее решение уравнения (3.12) в неявном виде

y

xy z

определяется

равенством

,

0 ,

где

– некоторая

x

x

дифференцируемая функция.

Поскольку z

входит только в

один

первый

xy z

y

интеграл, то

решение

мотет

быть

записано в

виде

, или,

x

x

y

окончательно z xy

, где – некоторая дифференцируемая функция.

x

также.

Итак, рассмотрим квазилинейное уравнение

a(x, y, z) z b(x, y, z) z

c(x, y, z)

(3.14)

x

y

и соответствующее уравнения характеристик

dx

dy

dz

.

(3.15)

a(x, y, z)

b(x, y, z)

c(x, y, z)

Пусть пространственная

кривая

задана

параметрическими

уравнениями

x x(t), y y(t), z z(t) .

(3.16)

Задача Коши имеет единственное решение,

если кривая не является

характеристикой уравнения (3.14). Если же – характеристика, то

задача

Коши имеет бесконечно много решений.

Пусть найдены два независимых первых интеграла системы (3.15)

f1 (x, y.z) C1, f1(x, y.z) C1 .

(3.17)

Выразив

x, y, z

через параметр

t из соотношений (3.16) и подставив эти

выражения в (3.17), получим два соотношения вида

F1 t C1, F2 t C2 .

Исключив

t

из последних

соотношений,

получим

выражение

вида

(C1,C2 ) 0 . Подставив в это выражение вместо C1 и C2

левые части первых

Часто кривая

задается соотношениями 1 (x, y, z) 0, 2 (x, y, z) 0 . В

этом случае в качестве параметра на кривой можно выбрать

x или

y . Иначе

говоря,

для

получения соотношения

(C1,C2 ) 0

нужно исключить

переменные x, y, z из системы уравнений

1 (x, y, z) 0,

(x, y, z) 0,

2

.

(3.18)

f1(x, y.z) C1,

f (x, y.z) C

1

1

Пример

4.

Найти

решение

уравнения

x

z

y

z

x y ,

x

y

Уравнения характеристик

dx

dy

dz

. Из соотношения

dx

dy

получаем

x

y

x y

x

y

dx dy

dz

d (x y) dz z x y C .

x y

x y

2

Найдены два независимых первых интеграла. Теперь запишем систему

(3.18) для данной задачи:

e

,

z y

y

x 1,

C2 eC1 1.

xy C1,

y

C2.

z x

Подставив в последнее соотношение вместо C1,C2

левые части

выражений для первых интегралов, получим

z x y exy

1. Окончательно:

z x y exy 1.

Пример 5. Найти

поверхность,

удовлетворяющую

уравнению

x z

y z z xy и проходящую через линию

z 1 x2 , y 2 .

x

y

Решение. Требуется найти частное решение квазилинейного уравнения.

Уравнения характеристик имеют вид

dx

dy

dz

.

(3.19)

z xy

x

y

Из соотношения

dx

dy

получаем первый интеграл

y

C . Умножим

x y

x

1

знаменателем третьей дроби в (3.19):

ydx xdy dz

d (z xy)

. Приравняем

xy xy z xy

z xy

d (z xy)

dx

ln | z xy | ln | x | ln C

z xy

C .

z xy

x

2

x

2

2x

2

z xy

x

(2x y)

2

2

z

xy – уравнение искомой поверхности.

1

y

x

y

2 y