ТР 2.3 Интегралы
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e1 lnz |
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ln x |
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dy |
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y2 |
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18 |
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2 |
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28 |
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б. |
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xcos3xdx |
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б. xlnxdx |
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б. |
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xsin2xdx |
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1 |
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1 |
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0 |
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в. |
2arctg(1 2) |
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dx |
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dx |
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в. |
2 |
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cosxdx |
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2 |
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2arctg(1 |
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в. |
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. |
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0 |
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. |
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sinx 1 sinx |
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5 4cosx |
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3) |
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cosx |
2 |
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2arctg(1 2) 1 sinx |
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1 |
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4 |
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x |
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||||||
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2 (arcsinx)3 1 |
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а. |
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dx |
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4 |
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sinx cosx |
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dx |
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а. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а. |
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dx |
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01 x |
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(cosx |
sinx) |
5 |
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9 |
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1 x2 |
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1 |
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0 |
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|||||||||||||||||||||
9 |
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1 |
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19 |
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29 |
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б. |
xarctgxdx |
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б. |
xarcsinxdx |
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0 |
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б. |
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xarcctgxdx |
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0 |
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dx |
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в. |
2 |
cosx sin xdx. |
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в. |
0 |
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dx |
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|||||||||||||||||||||||
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в. |
2arctg2 |
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0 |
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2arctg3 |
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2 |
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. |
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2arctg2 |
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. |
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1 sinx 2 |
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cosx 1 cosx |
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sin2 x 1 cosx |
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8 |
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xdx |
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1 x3 x |
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4 |
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xdx |
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а. |
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|
а. |
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dx |
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|
а. |
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1 x |
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x4 |
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2 |
2 |
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3 |
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0 |
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1 |
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0 x |
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1 |
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ln2 |
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1 |
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|||||||
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4 x2dx |
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||||||||||||||||
10 |
б. x2e xdx |
20 |
б. |
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(x 1)exdx |
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30 |
б. |
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0 |
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0 |
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0 |
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в. |
2arctg2 |
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dx |
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в. |
2 cosxdx |
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в. |
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2 |
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|
cosxdx |
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2 |
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|
. |
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|
|
0 |
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|
. |
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2arctg(1 |
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. |
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2) 1 cosx 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin2 |
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x 1 cosx |
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2 cosx |
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Задача 9. Вычислить площади плоских фигур, ограниченныхлиниями, заданными в декартовых координатах:
y 2x x2 |
y2 x |
y x2 7x 10 |
y2 4x |
1 |
8 |
15 |
22 |
y x |
x 2y 1 0 |
y 0 |
x2 4y |
2 |
y x2 1 |
9 |
y 1 2x2 |
16 |
y sinx |
23 |
y2 x 1 |
|||||
y |
3 |
x |
y x |
y x2 x |
x 5 |
|||||||
|
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|||||||||
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||||||||
|
2 |
|
|
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|
|
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||
3 |
y x3 |
10 |
y x2 3x 2 |
17 |
y lnx; |
24 |
y x3 |
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y 2 x, y 0 |
y 3x |
y 0;x 1,x e |
y 2x |
|||||||||
|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||
|
y x2 3x 2 |
|
y x2 3x 2 |
|
y x2 1 |
|
y ln x |
|||||
4 |
11 |
18 |
25 |
|
x 1 |
|
||||||
y 2 x2 |
y x 1 |
y 1 x |
y |
|
||||||||
|
|
|
|
e 1 |
||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||
5 |
y2 2x |
12 |
y x2 x |
19 |
y2 x |
26 |
y 2x x2 |
|||||
x 2y 1 0 |
y2 2x |
xy 8 |
x y 0 |
|||||||||
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|
|
6 |
|
y x2 |
|
|
13 |
y x2 2x 1 |
20 |
x2 4y, |
27 |
y x 1, |
|
|
|
x y 2 |
|
|
y 1 x |
y 8 x2 4 . |
y cosx, |
y 0. |
|||||
7 |
y 2 |
x |
,y 2x x |
2 |
, |
14 |
xy 6, |
21 |
y x2, |
28 |
y2 4x, x2 4y. |
|
|
|
x y 7 0. |
y 2 x2. |
|||||||||
|
x 0,x 2. |
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|
Задача 10. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.
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3 |
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x 6 |
|
t sint |
|
, |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
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2cos t, |
|
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|
x 24cos |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
x 9cost, |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 cost |
, |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
|
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22 |
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|||||||||||||||||
y |
2sin3 t, |
|
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y 6 |
|
|
|
y 2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4sint, |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
x 9 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
y 2 y 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 x 2 . |
|
y 9 0 x 12 , y 9 . |
|
x 9 |
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 10 |
|
t sint |
|
, |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
t, |
|
|
|
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x 32cos |
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2cost, |
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x 2 |
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2 |
y 8sint, |
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9 |
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1 cost |
, |
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16 |
y 3sin3 t, |
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23 |
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2sint, |
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y 10 |
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y 5 |
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y 4 |
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. |
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x 12 |
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. |
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y 4 |
3 |
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3 |
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y 15 0 x 20 , y 15 . |
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x 12 |
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y 5 y 5 . |
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3 |
3 |
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x 8cos |
3 |
t, |
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x t sint, |
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x 6cos3 t, |
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3 |
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2cos |
t, |
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x 2 |
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y 1 cost, |
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3 t, |
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3 |
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3 |
t, |
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10 |
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17 |
y 4sin |
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24 |
y |
2sin |
3 |
t, |
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y 8sin |
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y 1 0 x 2 , y 1 . |
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x 2 |
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|
. |
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x 1 x 1 . |
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x 2 |
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x 1 x 1 . |
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3 |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
t, |
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x 6 |
t sint , |
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x 8cos |
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x |
|
|
3cost, |
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|
2cost, |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
3 t, |
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y 6 |
1 cost |
, |
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y 8sint, |
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4 |
y 4sin |
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11 |
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18 |
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25 |
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2sint, |
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y 4 |
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x 3 |
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|
. |
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y 4 y 4 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 3 |
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y 6 0 x 12 , y 6 . |
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y 4 y 4 . |
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3 |
3 |
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3 |
t, |
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x 3 |
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t sint |
|
, |
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3 |
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3 |
t, |
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2cos |
t, |
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x 32cos |
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x 8 |
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x 16cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
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12 |
|
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19 |
|
|
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26 |
|
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||||||
y sin3 t, |
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y 3 1 cost , |
|
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|
y |
|
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2sin3 t, |
y 2sin3 t, |
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3 |
|
0 |
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x |
|
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6 , y |
|
3 . |
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x 4 x 4 . |
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x 4 |
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x 4 |
. |
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|
y |
|
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x 2 |
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x 2 |
. |
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x 2 |
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t sint |
|
, |
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x 6cost, |
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|
|
2cost, |
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|
2cost, |
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|
x 2 |
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|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
13 |
|
|
|
|
1 cost , |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
y 3 |
|
|
2sint, |
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
y 2sint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
2sint, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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y |
|
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|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
y 3 y 3 . |
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y 3 0 x 4 , y 3 . |
|
y |
3 |
3 |
|
|
y 2 y 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x 4 |
|
t sint |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
3 |
|
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
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x 16cos |
|
|
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|
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|
|
|
x 2cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos t, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
x 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 6sint, |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
7 |
y sin3 t, |
|
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|
|
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|
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14 |
1 cost |
, |
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21 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
28 |
|
|
|
2sin |
3 |
t, |
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|
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|
y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
x 6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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y 3 y 3 . |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 6 |
3 |
3 |
|
y 4 0 x 8 , y 4 . |
|
|
|
x 2 x 2 . |
Задача 11. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.
1 |
4cos3 , |
2 |
|
|
|
11 |
cos2 |
21 |
4sin3 , 2 |
( 2) |
||||||
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos , sin |
|
|
|
2cos , внешней ча- |
|
2 (соответствует |
|||||||
2 |
3 |
|
|
12 |
22 |
|||||||||||
0 2 |
|
|
|
|
|
стью круга ρ=1 |
одному обороту) |
|
||||||||
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
3 |
sin3 |
|
|
|
|
|
|
13 |
cos3 |
23 |
cos 1 |
|
||||
|
sin2 |
|
, |
|
|
|
|
|
asin , 2asin |
|
3sin 2 |
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
14 |
24 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2(2 cos ) |
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
15 |
2 cos2 |
25 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4(cos 1) |
16 |
2(cos 1) |
26 |
cos 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2sin 2 |
17 |
acos5 |
27 |
2 4cos4 |
|||
8 |
4cos , 2 (внеш- |
18 |
3cos , 1 (внеш- |
28 |
3 (соответствует |
|||
ней частью круга) |
ней частью круга) |
одномуобороту) |
||||||
|
|
|
||||||
9 |
3sin2 |
19 |
2 cos2 ; |
29 |
3 cos4 , |
|||
2, ( 2) |
2, ( 2) |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
2 9cos3 |
20 |
4cos , 1 |
30 |
2 |
Задача 12. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.
|
y lnx, |
|
|
|
|
|
|
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|
x2 |
|
ln x |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 x |
2 |
arcsinx, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 x |
|
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 7 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
y |
ln |
2x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
y |
e |
|
6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
y 2 arcsin |
|
x |
|
x x , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
8 x ln 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 x |
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y 1 lncosx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y lncosx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arccos |
|
|
x x2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 1 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
y ex 13, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
y ln x2 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
y 2 ex, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln |
|
|
15 x ln |
24. |
|
|
|
|
2 x 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
3 x ln |
8. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 2 chx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln 1 x2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
y |
1 x2 |
arccosx, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 1 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 8 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 ln x |
2 |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 lnsinx, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
y |
arcsinx |
1 x |
2 |
, |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 x 15 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
y ln7 lnx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
y |
|
|
|
x x |
|
arccos |
|
x 5, |
17 |
y |
arccosx |
1 x |
1, |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 9 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 9 16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y lnsinx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
y 1 arcsinx |
|
1 x |
2 |
, |
28 |
y |
3, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 3 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
chx |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e |
x |
26, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
x |
|
x x |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 1 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
8 x ln |
24. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
y ex e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
y |
|
ex |
e x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
y lncosx 2, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln |
|
|
3 x ln |
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 [ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Задача 13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
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x 5 |
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t sint |
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, |
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x 3 |
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2cost cos2t |
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, |
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x |
t2 2 sint 2tcost, |
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||||||
1 |
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11 |
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21 |
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y |
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2 t2 |
|
cost 2tsint, |
|||||||||||
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|||||||||||||||||||
y 5 1 cost , |
|
|
y 3 2sint sin2t , |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 t . |
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0 t 2 . |
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||||||||||||
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0 t . |
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|
t sint |
|
, |
|
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|
cost |
tsint |
|
, |
||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
x 3 cost tsint , |
|
|
|
x 4 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
y 3 1 cost , |
|
|
12 |
|
|
|
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|
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22 |
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y 4 |
sint tcost , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
y 3 sint tcost , |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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0 t 3. |
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|||||||||
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|
t 2 . |
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0 t 2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
t2 2 sint 2tcost, |
|
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1 |
|
cost |
|
|
1 |
cos2t, |
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|||||||||||||||
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x |
|
x |
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|
t |
cost |
|
|
sint |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
4 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
|
e |
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1 |
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|
1 |
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|||
3 |
y 2 t2 cost 2tsint, |
13 |
|
|
sint |
|
sin2t, |
|
|
23 |
y et |
|
cost sint , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
y |
2 |
4 |
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|
|||||||||||
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0 t 3. |
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0 t . |
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|
||||||||||||||
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2 t 2 3. |
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|||||||||||||||||||||
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||||||||||||
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6cos |
3 |
t, |
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x et |
cost sint , |
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|
10cos |
3 |
t, |
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||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
14 |
|
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|
|
|
|
cost sint , |
|
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24 |
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|
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|
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|||||||
y 6sin3 t, |
|
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|
|
y et |
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|
y 10sin3 t, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
0 t 3. |
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|
|
2 t . |
|
|
|
|
0 t 2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 2,5 t sint , |
|
|
|
x 3,5 2cost cos2t , |
|
x 6 cost tsint , |
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|
|
|
|
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5 |
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|
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15 |
|
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25 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2,5 1 cost , |
|
|
y 3,5 2sint sin2t , |
y 6 sint tcost , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
2 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
0 t 2. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
0 t . |
|
||||||||||||||||
|
x 8cos3 t, |
|
|
|
|
|
x |
t2 2 sint 2tcost, |
|
x et |
|
cost sint |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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16 |
|
y |
|
2 t2 |
|
cost 2tsint, |
26 |
|
y et |
|
|
cost sint |
|
, |
||||||||||||||||||||
y 8sin3 t, |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 t 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
0 t 2 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
t sint |
|
, |
|
|
|
x 2 |
|
2cost cos2t |
|
, |
|
x |
|
t |
2 2 |
|
|
sint 2tcost, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||
7 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
17 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
27 |
|
|
|
|
|
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|
y 4 1 cost , |
|
|
y 2 2sint sin2t , |
y |
2 t |
2 |
cost 2tsint, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 t 2 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||
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|
|
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|
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|
|
|
0 t 2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
||||
|
x 8 |
|
cost tsint |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
x et |
|
cost sint |
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8 |
|
|
|
|
sint tcost , |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
28 |
|
y et cost sint , |
|||||||||||||||||||||||
y 8 |
y 4sin3 t, |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
0 t 4. |
|
6 t 4. |
|
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|
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|
0 t 3 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
cost tsint , |
|
x 2 t sint , |
|
|
|
x 4 2cost cos2t , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
9 |
|
|
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|
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|
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19 |
|
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|
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|
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29 |
|
|
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|
2sint sin2t , |
|||||||||||
y 2 sint tcost , |
y 2 1 cost , |
|
|
y 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 2. |
|
|
|
0 t 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t . |
|||||||||||||||||||||
|
x et |
|
cost sint |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t |
2 2 |
|
|
sint 2tcost, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10 |
|
y et |
cost sint , |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y 2sin3 t, |
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 t |
2 |
cost 2tsint, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
6 t 4. |
|
0 t 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 t 3 . |
Задача 14. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.
1 |
2 , |
8 |
2 , |
15 |
5 , |
22 |
6cos , |
|||||
0 4 3. |
0 5 12. |
0 12 5 |
0 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
8 1 cos , |
9 |
2 , |
16 |
8cos , |
23 |
8sin , |
|||||
2 3 0. |
0 12 5. |
0 4. |
0 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
7 1 sin , |
10 |
2 , |
17 |
3 , |
24 |
4 , |
|||||
6 6. |
0 3 4. |
0 4 3. |
0 3 4. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
4 |
3e3 4, |
11 |
5 1 cos , |
18 |
2 1 cos , |
25 |
2cos , |
|||||
2 2. |
3 0. |
2. |
0 6. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
5 |
3 1 sin , |
12 |
1 sin , |
19 |
4 1 sin , |
26 |
6(1 sin ), |
|||||
6 0. |
2 6. |
0 6. |
2 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6e12 5, |
|
4e4 3, |
|
3e3 4, |
|
|
|
|
|||
6 |
13 |
20 |
27 |
2e , |
||||||||
2 2. |
0 3. |
0 3. |
0 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2e4 3, |
|
5e5 12, |
|
5e5 12, |
|||
7 |
2e , |
14 |
21 |
28 |
||||||||
2 2. |
2 2. |
2 2. |
0 3. |
|||||||||
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Задача 15. Вычислить объемы тел, образованных вращениемфигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1–16 ось вращения Oy, в вариантах 17–30 ось вращения Ox.
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y |
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x 1 |
2 |
, |
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2 |
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1 |
y x3, |
|
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11 |
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21 |
y x , |
y 1, |
||||||||||||||
y x. |
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|||||||||||||||||||
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|
y 1. |
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|
x 2. |
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2 |
y x2 1, |
y x, |
|
12 |
y sin x |
2 , |
22 |
y x2, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 0, |
|
y 0. |
|
|
|
|
y x2. |
|
|
|
|
y2 x 0. |
|
|||||||||||||||
3 |
y x2, |
x 2, |
|
13 |
y arcsin x |
5 , |
23 |
y 1 x2, |
|
|
x 0, |
|||||||||||||||||
y 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y arcsinx, |
y 2. |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
x |
|
|
y 2, |
x 1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
y lnx, |
|
x 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
y |
x 1, |
y 0, |
|
14 |
|
24 |
x2 y 2 2 1. |
||||||||||||||||||||
|
y 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
y 1, |
|
x 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
y arcsinx, |
|
|
|
|
|
15 |
y2 x 2, |
|
y 0, |
25 |
y 2x x2, |
|
|||||||||||||||
y arccosx, |
|
y 0. |
y x3, |
y 1. |
y x 2. |
|
||||||||||||||||||||||
6 |
y arccos x |
5 , |
|
16 |
y arccos x 3 , |
26 |
y e1 x, |
y 0, |
||||||||||||||||||||
y arccos x |
3 , |
y 0. |
y arccosx, |
y 0. |
x 0, |
|
x 1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7 |
y x3, |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
y 2x x2, |
|
27 |
y xex, |
|
|
|
||||||||||||
y x2. |
|
|
|
|
|
|
|
y x 2, |
|
x 0. |
y 0, |
|
x 1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y sin2 x, |
|
|
|
|||||
8 |
y x3, |
y x. |
|
18 |
|
|
y 2, |
|
|
28 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 1, |
y 1. |
|
x 2, |
|
y 0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
y x2 2x 1, |
|
19 |
y 3sin x, |
|
y sinx, |
29 |
y 5cosx, |
y cosx, |
|||||||||||||||||||
x 2, |
|
y 0. |
|
|
|
|
0 x . |
|
|
|
x 0, x 0. |
|||||||||||||||||
10 |
y arccosx, |
|
|
|
|
20 |
2x x2 y 0, |
30 |
y x2 |
5x 6, |
||||||||||||||||||
y arcsin x, |
|
x 0. |
2x2 4x y 0. |
y 0. |
|
|
|
|
|
Задача 16. |
Вычислить несобственные интегралы: |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 4 x2 |
|
|
|
|
2 x(x 1) |
|
|
2 (x2 4)3 |
|
|
|
1 x2 5x 6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
lnxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 (x 2)2 |
|
|
x2 2x 2 |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 x3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
0 |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
2x 1 |
|
|
17 |
|
dx |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
(x 1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 (x 1)4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
xe x |
dx |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(1 x)3 |
|
|
|
(1 x)3 |
(2x 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
xsinxdx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 3 (x 2)2 |
|
|
|
|
2 |
|
(x 1)2 |
|
|
1 |
(1 x)2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
dx |
|
13 |
|
|
|
|
dx |
|
20 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
27 |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
e x2 x 2 |
|
|
1 x(x 1) |
|
0 (x 1)2 |
1 (1 x) x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
x4dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
28 |
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
(x 1)(x 1) |
|
|
|
|
0 |
|
1 x5 |
|
|
|
|
xlnx |
|
|
|
|
0 1 x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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