Vп. Элементы физики твердого тела а) Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и классическая теория теплоемкости твердых тел

ε_׀׀=– относительное удлинение;

– относительное поперечное сжатие;

– механическое напряжение;

; ε_׀׀=– закон Гука;

/ ε_׀׀ – коэффициент Пуассона;

– линейное расширение твердых тел при нагревании;

– объемное расширение твердых тел при нагревании;

– связь коэффициентов линейного и объемного расширения для изотропных тел и для кристаллов с кубической решеткой.

Таблица 2

Свойства твердых тел

Вещество	Относи-тельный атомный вес	Плот-ность, кг/м3	Коэффициент линейного теплового расширения, α.105К-1	Модуль Юнга, Е.10-10, Па	Предел прочности, σпр.10-8, Па
Алюминий	27	2600	2.4	6.9	1.1
Железо	56	7900	1.2	19.6	6
Латунь	-	8400	1.9	-	-
Медь	64	8600	1.7	11.8	2.4
Платина	195	21400	0.89	-	-
Сталь	-	7700	1.06	21.6	7.85
Цинк	65	7000	2.9	-	-

Б) Теплоемкость (квантовая теория)

– молярная теплоемкость кристалла по Дебаю приT<<T_D;

– количество теплоты, необходимое для нагревания тела;

– характеристическая температура Дебая;

– характеристическая температура Эйнштейна.

В) Проводимость металлов и полупроводников. Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников.

– зависимость сопротивления металла от температуры, где–температурный коэффициент сопротивления для чистых металлов;

– зависимость сопротивления собственного полупроводника от температуры, где ΔE–ширина запрещенной зоны;

– подвижность носителей тока;

– удельная электропроводимость.

Примеры решения задач

Задача 11

Медная проволока натянута горячей при температуре 150⁰С между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.

Решение

Длина нагретой проволоки при температуре t₁ ; при этом проволока не деформирована (не натянута). Длина остывшей до искомой температурыненатянутой проволоки. Но, поскольку проволока закреплена между неподвижными стенами, она оказывается растянутой на. По закону Гукаε_׀׀=, где ε_׀׀=– относительное удлинение, σ=σ_пр. – механическое напряжение. Тогда; или, откуда, и. Далее,.Подставим численные значения:.

Ответ: .

Задача 12

Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 К, а скоростьзвука в нем =6·10³ м/с.

Решение

Характеристическая температура Дебая определяется формулой: , откуда. Подставим численные значения:, что по порядку величины соответствует межатомным расстояниям в кристалле.

Ответ: .

Ответ: .

Задание 7

1. Какую длину должны иметь стальной и медный стержни при 0^оС, чтобы при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на 5 см?

2. Концы железной балки сечением 75 см²упираются в две стены. Температура 0^оС. Определить силу, которая будет действовать на стены, если температура повысится на 20 К.

3. При каком растягивающем напряжении медный стержень получит такое же удлинение, как и при нагревании от 0^оС до 100^оС?

4. Какие силы надо приложить к концам латунного стержня с площадью поперечного сечения 10 см², чтобы не дать ему расшириться при нагревании от 0^оС до 30^оС?

5. Груз математического маятника подвешен на стальной проволоке длиной 1.2 м. На сколько изменится период колебаний маятника при увеличении температуры от 0^оС до 50^оС?

6. К стальной проволоке радиусом 1 мм подвешен груз. Под действием груза проволока получила такое же удлинение, как при нагревании от 0^оС до 20^оС. Найти величину груза.

7. Медная проволока натянута горячей при температуре 150^оС между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.

8. При 0^оС цинковый стержень имеет длину 200 мм, а медный 201 мм. Поперечные размеры их при 0^оС одинаковы. При какой температуре их длины одинаковы? При какой температуре их объемы одинаковы?

9. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку в кристаллах с простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической структурой?

10. Алюминиевый диск, взятый при температуре 0^оС, при нагревании до 100^оС увеличил свой объем на 4.6 см³. Какое количество теплоты затрачено на нагревание?

11. Найти максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температурой Дебая, равной 300 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой же энергией?

12. Какова (в эВ) максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если его температура Дебая равна 94 К?

13. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близкими параметрами и имеют почти равные модули упругости. Оценить отношение их дебаевских температур.

14. Найти максимальную частоту собственных колебаний в кристалле железа, если при температуре T=20 К его удельная теплоемкость с=2.7 мДж/(г·К).

15. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна соответственно 0.226 и 0.760 Дж/(моль·К)?

16. При нагревании кристалла меди массой 25 г от 10 К до 20 К ему было сообщено количество теплоты 0.80 Дж. Найти дебаевскую температуру для меди. Условие Т<<Т_Dсчитать выполненным.

17. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

18. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.

19. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.

20. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра 1.7Дж/(моль· К) при Т=20 К. Считать условие Т<<Т_Dвыполненным.

21. При нагревании серебра массой 10 г от 10 К до 20 К было подведено количество теплоты, равное 0.71 Дж. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать условие Т<< Т_Dвыполненным.

22. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры 4 К до 5 К. Характеристическая температура Дебая для калия равна 100 К. Считать условие Т<<Т_Dвыполненным.

23. Германиевый кристалл, ширина запрещенной зоны в котором равна 0.72 эВ, нагревают от температуры 0^оС до температуры 15^оС. Во сколько раз возрастет его удельная электропроводимость?

24. При нагревании кремниевого кристалла от температуры 0^оС до температуры 10^оС его удельная электропроводимость возрастает в 2.28 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

25. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К проводимость собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого 0.3 эВ?

26. Найти минимальную энергию образования пары электрон - дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при увеличении температуры от 300 K до 400 К.

27. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.48 Ом·м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность u_nи u_рэлектронов и дырок соответственно равны 0.36 м²/(В·с) и 0.16 м²/(В·с).

28. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.5 Ом·м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность u_nи u_рэлектронов и дырок соответственно равны 0.38 м²/(В·с) и 0.18 м²/(В·с).