Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

c2 9 12 c 21,

тогда

0 ;

0 .

21;

1,5

–2

Рис. 16

Рис. 17

г) x2 12y

– парабола с вершиной в точке O 0;0 , Oy – ось симметрии;

p 6 – параметр параболы (рис.

19). Ветви параболы направлены вверх, т.к.

p 0.

Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы

F(0;3);

d : y p

21 x

F 1–3 03F2

d : y 3.

–3

Рис. 18

Рис. 19

Раздел VI. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В данном разделе предложены задачи, которые рассматриваются в теме «Введение в математический анализ»: элементарные преобразования графиков функций, предел последовательности, предел функции, непрерывность функции.

Необходимый теоретический материал представлен в учебных пособиях Н.Ш. Кремера, Д.Т. Письменного, В.И. Малыхина. Отметим, что при работе с учебной литературой следует учитывать различный подход авторов к решению некоторых задач по данной теме. Сборники задач Н.Ш. Кремера и В.И. Ермакова, кроме текстов заданий и примеров решения задач, содержат краткие теоретические сведения, что способствует повышению эффективности самостоятельной работы студентов с учебными пособиями при подготовке к занятиям.

Задача 6.1. Построить график функции с помощью преобразований графиков.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

y 2sin x

11)

;

21)

y 4cos x

2) y

log2 3

12)

ctg

22) y

2 e2

x 3

;

cos x

2; 13)

sin x

23)

;

4) y

2 e

x 1

;

14) y

log

x 1

2;24)

ctg

;

3ctg

;

15)

cos x

1; 25)

y 2sin x

16) y

5 e

x 2

;

26) y

log2 3

x 2

y 3sin x

17)

2tg

;

log3 2

8) y

x 1

27)

y 2cos x

18)

3ctg

;

x 5

27) y

3 e

;

y 2cos x

19)

y 4sin x

2tg

29)

;

10) y

x 2

;

20) y 3log

30)

ctg

Пример 6.1

Построить график функции с помощью преобразований графиков

	3	1		x 2
		1
y		e	2		.

	2
	2

Решение

Запишем последовательность преобразований графиков функций и их описание

I. y ex – график показательной функции;

II. y e		x		– часть графика функции y ex при x 0 убирается, часть графика

при x 0 остается неизменной и симметрично ее отображается относительно оси

Oy;

y e

вдоль оси Ox в два раза;

III.

y e

– растяжение графика функции

x 2

вдоль оси Ox на две еди-

IV. y e

– смещение графика функции

y e

ницы влево;

x 2

y e

–

симметричное отображение всех

частей

графика

функции

x 2

относительно оси Ox;

y e

x 2

VI. y

– смещение графика функции y e

вдоль оси Oy на

три единицы вверх;

x 2

VII.

– симметричное

отображение

графика

функции

x 2

y 0 относительно оси Ox, при

y 3 e

при

y 0 график остается не-

изменным.

Все графики изображены на рис. 20, причем номер преобразования соответствует номеру графика.

				y
			II	4
			II
				3
	IV			2	III
	IV				III
	VII		I	1
	VII		I
–4	–3	–2	–1	0	1	2	x
			VI
				–1
			V
				–2
				–3
			Рис. 20
Задача 6.2. Вычислить предел числовой последовательности.
Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

n 1

7) lim

3n 2n

1) lim

...

;

n n2

n 3n 1 2n

2n 1 ! 2n 2 !;

n 2

lim

;

2n 3 !

1 2 3 ... n 3

1 3 5 ... 2n 1

2n 1

3n 2n

lim

;9)

lim

...

;

n 1

n 6

lim

2n 1 3n 1

;

10)

lim

2 5 4 7 ...2n 2n 3

;

n 2n 3n

n 3

lim

1 2

3 ...

;

11)

lim

2n 1 ! 2n 2 !

;

9n4 1

n 2n 3 ! 2n 2 !

lim

1 3 5 ... 2n 1

;

12)

lim

1 2 ... n

;

1 2 3 ... n

n n2 3

1 3 5 ... 2n 1

13)

lim

;

n 3

14)

lim

1 4

7 ... 3n

;

5n4 n 1

15)

lim

n 4 ! n 2 !

;

n 3 !

16)

lim

3n 1 ! 3n 1 !

;

3n ! n 1

22)

lim

n 1

;

n 2 7 12 ... 5n 3

1 2n

23)

lim

...

;

n 4

24)

lim

2 4 6 ... 2n

;

n 1 3 5 ... 2n 1

1 5 ... 4n 3

4n 1

25)

lim

;

n 1

	lim		2n 5n 1
17)												;

	n 2n 1 5n 2
		1			1				1	...					1
																3n
18)	lim			3 32													;

	n 1			1				1		...						1
				5												5n
						52
19)	lim		1 3				...				4n			3 4n					1	;


	n						n2 1 n2 n 1
20)	lim	1 2 3 4											... 2					n 1 2n

													9n4 1
	n

21) lim 3n3 5 3n4 2 ; n 1 3 5 ... 2n 1

Пример 6.2

26)

lim

1 2 3

4 ... 2n

1 2n

;

3 n3 2n 2

lim

2n 7n

27)

;

n 2n 7n 1

28)

lim

n! n 2 !

;

n n 1 ! n 2 !

29)

lim

3 6 9 ... 3n

;

n2 4

;

lim

...

2n 5n

30)

100

10n

n 10

Вычислить предел числовой последовательности lim n 2 ! n 1 !.

n n 2 ! n 3 !

Решение

При непосредственном вычислении предела данной числовой последователь-

ности получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопреде-

ленности необходимо преобразовать выражение, стоящее под знаком предела, затем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

Таким образом,

n 2 ! n 1 !

... n n 1 n 2 1

... n n 1

lim

... n n 1 n 2 1

... n n 1

n n 2 ! n 1 !

n 1

lim	1 2	... n n 1 n 2	1	lim	n 1
						.
		... n n 1 n 2	1
n 1 2				n n 2

Для раскрытия получившейся неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на n, тогда

n 1

1 0

lim

n n

lim

n n 2

n n 3

1 0

Ответ: 1.

Задача 6.3. Вычислить пределы функций.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	lim	x3 2x 1 x 1					lim	x3	6x2 12x 8
1)			x4 4x2 5		;	12)					;

	x 1						x 2		x3 3x2 4
	lim	x3	3x 2				lim	x3	5x2 8x 4
2)				;		13)				;

	x 1		x x2				x 2		x3 3x2 4

lim

x3 3x 2 2

;

14)

lim

x3 5x2 8x 4

;

x 1 x3 2x2 x 2

x 2 x3 7x2 16x 12

x3 3x 2

lim

2x2 x

;

15)

lim

;

x 1 x3 2x2 x 2

x 1 x2 x 2

2x 3 2

;

16)

lim

x3 7x2

15x 9

;

lim

x 3 x

21x 18

x 3 x3 4x2 3x

2x 1 2

17)

lim

x3 3x 2

;

lim

;

x 1 x2

2x 1

x 1

2x 1

x2 2x 1

1 3x

lim

18)

;

lim

1 x

;

x 1 x3

x2 x 1

x 0

x x

19)

lim

x4 1

;

2x 1

lim

;

x 12x4

x2 1

x 12x2 x 1

lim

x2 3x 2

3x 2

20)

;

lim

;

x 1 x3

2x2

x 2

x 1 x2 x 2

lim

2x2 x 1

7x 3

21)

;

10) lim

;

x 1 x3

2x2 x 2

x 1 x3 4x2 5x 2

lim

x2 2x 3

3x 2

22)

;

11) lim

;

x 3 x3

4x2

x 1 x3 x2 x 1

23) lim

x3 x2 5x 3

27) lim

x3 2x 1

;

x 1 x3 x2 x 1

x 1 x4 2x 1

24)

lim

x3 4x2

5x 2

;

28) lim

1 x 3

1 3x

;

x3 3x 2

x 1

x 0

x2 x5

25) lim

x4 1

;

29) lim

x2 1

;

x 12x4 x2 1

x 12x2 x 1

26)

lim

x3 5x2

8x 4

;

30) lim

x3 3x 2

x3 3x2 4

x 2

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

lim

x3 4x2 2

lim

4x2 2x 1

;

11)

;

21)

;

x3 3x2 2

x 3x3 2

x x3 3x 5

lim

x4 2x3 3x2 1

;

lim

7x3 x2

lim

x2 1

12)

;

22)

;

4x3 2x 11

2x3 2x

x 3x3 x2

lim

x3 4x2 2x 1

;

lim

7x4

3x2

lim

3x2 1

13)

;

23)

;

x3 2x

x x4 x3 3x 5

x 2x2 2x 1

lim

3x3 x2 x 1

;

lim

5x3

2x2

lim

14)

;

24)

;

3x3 1

x 4x4 x3 x 1

x 3x3 21

lim

3x4 3x3 3x2 1

lim

2x3

4x2

lim

2x3 x2 7

; 15)

;

25)

;

2x3 2x 1

x 2x4 3x 1

x 3x3 21

lim

x4 x3 x2 3

;

16)

lim

7x3 4x 2

;

26)

lim

4x2 2x 1

;

x3 x 1

x 5x3 x2 3

x x4 2x2 2

lim

6x3 x2

x 1

;

17)

lim

3x3 x2 6

;

27)

lim

7x3 4x2 9

;

3x3 x 6

x 2x3 x2 1

x 2x3 3x2 2

lim

2x3 x2 x 2

;

18)

lim

x3 5x2 1

;

28)

lim

5x3 2x2 1

;

x 3x4 x3 5x 3

x 7x3 9x 1

x2 21

lim

2x4 x3 4x2

lim

2x4

5x2 11

lim

5x3

2x2 1

;

19)

;

29)

;

x3 3x 9

x 7x3 13x 1

x 4x3 x2 21

lim

6x3 2x2 3x

lim

3x3

x 1

lim

4x3

3x 1

10)

;

20)

;

30)

x x4 3x3 2x 6

x x3 x 1

x x4 x3 7

в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) lim

1 2x

x 6

;

lim

;

x 2

x 4

x 2

3) lim	1 x 3	;
3) lim		;
x 8	2 3 x

lim

x 1

;

x2 1

x 13

lim

x 13

x 1

;

x2 9

x 3

lim

x 6

;

x3 8

x 2

27 x

lim

;

x 0

x 23

lim

9 2x

;

x 8

3 x 2

lim

;

x 4 3

x2 16

10)

lim

8 3x x2

;

x x2

x 0

11)

lim

9 2x

;

x 8

x 2

12)

lim

;

x 1

1 x

;

13)

lim

1 x

x 0

3 1 x 3 1 x

lim

10 x 6

;

14)

1 x

x 8

2 3

15)

lim

;

x 1 x2 1

39x 3

16)lim;

x3 3 x 2x


17) lim	3 16x 4
		;


x 4	4 x 2x

18)

lim

9 2x 5

;

3 x2 4

x 8

1/2

lim

x/4

19)

;

x 1/2

1/2 x 2x

x 6

20)

lim

;

x 2

3 x3 8

;

21)

lim

1 x

x 0

7 x

1/4

lim

x/16

22)

;

x 1/4

1/4 x 2x

27 x

23)

lim

;

3 x2 5

x 0

8 3x x2

24)

lim

;

3 x2 x3

x 0

25)

lim

;

x 16

x 4

4x 2

26)lim ;

x 16 3x 4 2

3
3	x	/9 1/3
27) lim			;
27) lim			;
x 1/3 1/3		x 2x

lim

1 2x x2 1 x

28)

;

x 0

29)

lim

;

x 2

2 x 2x

30)

lim

x 13

x 1

x 3

3 x2 9

г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) lim	3x2 5x		2) lim	cosx cos5x		3) lim	1 cos4x
		;			;				;
				2x2
x 0	sin3x		x 0			x 0		xsinx

lim

;

13)

lim

sin3x sinx

;

x 0 tg 2 x

x 0

lim

1 cos3 x

;

14)

lim

tg3x

;

x 0

4x2

x 0 2sinx

lim

sin7x

;

15)

lim

arctg2x

;

x 0

x2 x

x 0 sin 2 x 10

lim

cos2x cosx

;

16)

lim

tgx sinx

;

x 0

1 cosx

x 0

3x2

lim

;

17)

;

x 0 tg 2 x 1/2

lim

x 0 tgx

sinx

lim

sin2 x tg2x

;

18)

lim

sin7x sin3x

;

x 0

xsinx

10) lim

tgx sinx

;

19)

lim

1 cos2x

;

x 0 x 1 cos2x

x 0 cos7x cos3x

11) lim

2xsinx

;

20)

lim

cos2x cos4x

;

x 01 cosx

x 0

3x2

12)lim

1 cos8x

21)

lim

cos4x cos3 4x

;

3x2

x 0

22) limcosx cos3 x;

x 0 5x2

23)

lim

sin4x sin3x

;

x 0

24)

lim

tg2x sin2x

;

x 0

25)

lim

cos3x cosx

;

x 0

7x2

26)

lim

tg7x

;

x 0 2sin2x

lim

cos2 x cos2 2x

27)

;

x 0

28)

lim

sin4x sin2x

;

x 0

xsin3x

29)

lim

tg3x sin3x

;

x 0

2x2

30)limcos5x cosx.

;x 0 4x2

д) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

x 4 3x

2 3x

x 5

3x 4

lim

;

lim

;

13)

lim

;

5 3x

x x 8

2x 4x

4x 1

x 2

3 2x

lim

;

lim

;

14)

lim

;

4x 1

1 2x

2x 5

2x 3

1 x

1 2x

lim

;

lim

;

15)

lim

;

5 x

2x 1

x x

x 2 1 2x

x 1

2 3x

2x 1

3x 1

lim

;

10)

lim

;

16)

lim

;

2x 4

x 1

2x 3x

x 3

x 5

3x 4

lim

;

11)

lim

;

17)

lim

;

2x 3

x 1 3x 2

x 3 x 4

x 2

2 3x

lim

;

12)

lim

;

18)

lim

;

x x 4

x x 1

x 4

2x 3

x 7 2x 1

1 x

19)

lim

;

23)

lim

;

27)

lim

;

x x 1

x 2

3x 4

2x 1 x 2

3x 4 2x

20)

lim

;

24)

lim

;

28)

lim

;

3x 2

2x 4

x x 5

3x x 2

21)

lim

;

25)

lim

;

29)

lim

;

3x 2

x x 3

x 7

4x 2

2x 1

3x 1

4 2x x 1

22)

lim

;

26)

lim

;

30)

lim

1 2x

x x 1

Пример 6.3

Вычислить пределы функций.

а) lim

x 2

x 1 x3 x2 x 1

Решение

При подстановке вместо переменной значения –1, получим неопределенность

вида . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знамена-

тель на множители и сократим на общий множитель x 1 , который обращает в нуль и числитель, и знаменатель дроби. Получаем

x2 x 2

x 2 x 1

lim

x 1

x 1 x 1

x 1 x

x 1

lim

x 2

1 2

1,5.

x 1 x

Ответ: 1,5.

1 1

б) lim

9x3 x2 2x

2x3 x 1

Решение

При непосредственном вычислении предела данной функции получим неопре-

деленность вида . Для раскрытия этой неопределенности необходимо разде-

лить числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на x3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx