1 ая методичка МАТАН

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вычислить определитель

а) разложив его по элементам

Вычислить определитель

а) разложив его по элементам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

		tg				3		, arctg 3 ,
		tg						, arctg 3 ,
1																			y
таким образом,																			y
	Argz1 arctg 3 2 n,n Z.
	z2			42 12														;
												16 1					17				z2
												16 1					17				z2
			Argz2 2 n,n Z ,																1			z3
где																			0	1	4	5
							1							1					0	1	4	5
			tg				1		, arctg					1	,
			tg						, arctg						,
4											4
таким образом,										1										z1
		Argz2 arctg								1	2 n,n Z.								–3	z1
		Argz2 arctg								4	2 n,n Z.								–3
		z3								4						5;
		z3			52 02								25 0			5;
поскольку z3								лежит на оси Ox, то												Рис. 2

Argz3 2 n,n Z .

Ответ: z1 10, Argz1 arctg 3 2 n,n Z;

z2 17, Argz2 arctg1 2 n,n Z; 4

z3 5, Argz3 2 n,n Z .

в) Показательная форма записи комплексного числа z

z z ei ;

тригонометрическая форма записи комплексного числа z

z z cos isin ,

где z – модуль числа, argz – главное значение аргумента.

(2.2)

(2.3)

Из формул (2.2) и (2.3) следует, что для записи комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах необходимо найти их модуль и главные значения аргументов ( argz ). Поскольку эти значения мы уже находили в предыдущем пункте, то воспользуемся этими данными.

Таким образом,

z1 10 earctg 3 i, z1 10 cos arctg 3 isin arctg 3 ;

		arctg	1	i			1		1

z2	17 e	4		, z2	17	cos arctg		isin arctg		;
							4		4

z3 5 e0 i, z3 5 cos0 isin0 .

Ответ: z1 10 earctg 3 i, z1 10 cos arctg 3 isin arctg 3 ;

		arctg	1	i			1		1

z2	17 e	4		, z2	17	cos arctg		isin arctg		;
							4		4

z3 5 e0 i, z3 5 cos0 isin0 .

Задача 2.2. Найти все корни заданных уравнений. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) а) z4 1 0;	б)
2) а) z3 1 0;	б)

3) а) z2 1 i 0; б)

4) а) z5 1 0;	б)
5) а) z6 1 0;	б)
6) а) z7 1 0;	б)
7) а) z5 1 i 0; б)

8) а) z2 1 i 0; б)

9) а) z3 8 0;					б)
10)	а) z4 16			0;	б)
11)	а) z4 1 0			;	б)
12)	а) z3 1		0	;	б)
13)	а) z5 1		0	;	б)
14)	а) z6	1 0		;	б)
15)	а) z7	1 0		;	б)
16)	а) z8	1	0	;	б)
17)	а) z3 8 0;				б)
18)	а) z4 16 0;				б)

19)а) z3 1 i 0; б)

20)а) z4 1 i 0; б)

2z2 3z 5 0;	21)	а) z8 1 0;						б) z2 z 9 0;
z2 2z 5 0;	22)	а) z6 1 i 0;
z2 3z 4 0;		б) z2 2z 6 0;
2z2 2z 5 0;	23)	а) z3 1					i 0;
						3
2z2 z 5 0;		б) z2 z 5 0;
2z2 3z 2 0;	24)	а) z4 1					i 0;
						3
z2 3z 5 0;		б) z2 3z 6 0;
2z2 z 5 0;

	25)	а) z5 1				3i 0;
3z2 3z 5 0;
		б) z2 z 4 0;
z2 3z 6 0;

	26)	а) z6 1				3i 0;
z2 z 5 0;
2z2 z 3 0;		б) z2 2z 4 0;
z2 z 1 0;	27)	а) z3	3		i 0;
z2 z 2 0;		б) 3z2 z 1 0;
2z2 z 1 0;	28)	а) z4			i 0;
			3
z2 2z 3 0;		б) z2 z 7 0;
3z2 2z 1 0;	29)	а) z3		i 0;
			3
2z2 z 6 0;		б) 6z2 2z 3 0;
z2 z 7 0;

	30)	а) z3	3 i 0;
3z2 z 3 0;
		б) 7z2 2z 4 0.

Пример 2.2

Найти все корни уравнений а) z3 2 2i 0; б) z2 z 5 0.

Решение

а) Выразим z из уравнения

z3 2 2i 0 z3 2 2i z 3 2 2i.

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третей степени из комплексного числа z0 2 2i. Воспользуемся формула для вычисления корней степени n из комплексного числа z

2 k

n z0 n

cos

isin

,0 k n 1 ,

(2.4)

где

– модуль числа,

argz0

– главное значение аргумента, n – степень

корня. Найдем все необходимые данные для формулы (2.4)

, argz0

, n 3.

2 2

4 4

Подставив найденные значения в формулу (2.4), получим

2 k

3 2 2i

3 8

cos

isin

, 0 k 2.

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, найдем три корня исходного уравнения

				3			0					3			4	0


z 6			8 cos		4					isin									3	8	cos					isin			1 i;
z 6			8 cos							isin									3	8	cos					isin			1 i;
1					3										3									4				4
						3								3
									2							4		2							11				11
									2									2							11				11
z2		6 8 cos				4					isin											2 cos					isin				;
z2		6 8 cos									isin											2 cos					isin		12		;
								3									3							12					12
					3								3
									4							4		4						19					19
									4									4						19					19
z3	6 8 cos				4						isin										2		cos				isin			.
z3	6 8 cos										isin					3					2		cos				isin		12	.
							3									3								12					12

Ответ: z1 1 i; z2							11	11
							11	11
					2 cos			isin	;
					2 cos			isin	;
						12		12
z3		19		isin		19
		19				19
	2 cos							.
	2 cos		12			12		.
			12			12

б) z2 z 5 0 – квадратное уравнение. Найдем дискриминант

D 1 2 4 1 5 19.

Поскольку дискриминант отрицательный, то уравнение имеет два комплексносопряженных корня.

Вычислим корень из дискриминанта

D 19 1 19 i2 19 19i.

Найдем корни


z	1 19i		1 19i		1	19	i;

1	2 1	2		2 2


			z2			1 19i							1 19i		1	19	i.
			z2														i.
								2 1		2				2 2
Ответ: z		1		19	i; z				1		19	i.
Ответ: z			2		i; z					2		i.
1	2		2				2	2		2

Задача 2.3. Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки z x iy, удовлетворяющие указанным

условиям.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)z (3 5i) 4;

2)1 z i 3;

3)Rez 1;

4)Rez Imz 2;

5)Im(2iz) 1;

6)0 z i 2;

7)Re(iz) Im(iz) 1;

8)z (2 3i) 2;

9)0 Rez Imz 2;

10)0 Imz 2;

11)2 z (1 i) 4;

12)1 Re(iz) 3;

13)z 5i) 3;

14)Re(2iz) 1;

15)Imz 1;

16)1 z 1 i 4;

17)0 Rez Imz 2;

18)0 Rez 3;

19)1 Re(iz) Im(iz) 2;

20)z 3i 5;

21)Rez 2;

22)0 Im(3iz) 2;

23)1 Re(iz) 3;

24)0 z 1 i 5;

25)Im(iz) 2;

26)Re(3iz) 1;

27)z 1 i 4;

28)Rez Imz 2;

29)0 Im(2iz) 2;

30)Imz 1.

Пример 2.3

Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки z x iy, удовлетворяющие условию 2 Re(z 1) 4.

Решение

Преобразуем заданное неравенство

2 Re(x iy 1) 4, 2 Re(x 1 iy) 4,

поскольку выражение Re(x 1 iy) определяет действительную часть числа,

записанного в скобках, то можно перейти к следующему неравенству

2 x 1 4,

откуда

1 x 3.

Таким образом, условие 2 Re(z 1) 4 определяет на комплексной плоскости область, множество точек x;y которой, удовлетворяют системе

y ,

1 x 3.

На комплексной плоскости данная область представлена на рис. 3.

		x
0	1	3

Рис. 3

y ,

Ответ:

1 x 3.

Раздел III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

В данный раздел включены основные типы задач, которые рассматриваются в теме «Линейная алгебра»: вычисление определителей, действия над матрицами, собственные значения и собственные векторы матриц, системы линейных уравнений, а также задачи с экономическим содержанием, при решении которых возможно применение элементов линейной алгебры.

При решении задач рекомендуется повторить соответствующий теоретический материал, рассмотренный на лекциях по данным темам или рассматриваемый в учебной литературе. Элементы линейной алгебры в учебных пособиях Н.Ш. Кремера и В.А. Малугина изложены в объеме, достаточном для студентов экономических специальностей. Более того, практикумы и задачники этих же авторов можно использовать для самостоятельной работы по изучению данных тем.

Задача 3.1. Вычислить определитель

а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца;

в) получив предварительно нули в i-й строке.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	5		1 4 1							2		1	5 1
1)	1		4	1		5		, i=2, j=3;	6)	1		3		0	6	, i=4, j=3;
	4		1 8			1				0		2	1 2
	3		2		6	2				1		4		7	6
	2	3	4		5					2		8		5	1
	2	3	4		5					2		8		5	1
2)	3	4	5		6	, i=3, j=1;			7)	1		9		0	6	, i=3, j=1;
	2	3 4 1								0		5		1 1
	2	3	7		8					1		0		7	5
	3		2		1	1				8			1	5	1
	3		2		1	1				8			1	5	1
3)	0		1		2	0	, i=3, j=2;		8)	9		3		0	6			, i=1, j=4;
	1 2 4 2									5			2 1 2
	1		3		0	0				0			4	7	6
	1		5		2	3				2		1		8	1
	1		5		2	3				2		1		8	1
4)	0		2		7	1		, i=2, j=4;	9)	1		3		9	6	, i=2, j=2;
	2	10			1	5				0		2		5	2
	3	15			6	13				1		4		0	6
	2	1		1	0						2	1		1	8
	2	1		1	0						2	1		1	8
5)	7	1		3	1	, i=4, j=2;			10)		1	3		6	9		, i=4, j=3;
	3	1		1	2						0	2		2	5
	1	3		2	1						1	4		6	0

	2		3		1		3
11)	1		2		3		1			, i=2, j=1;
	4		2		1		0
	3		2		2		3
	2		5	0	4
	2		5	0	4
12)	1		7	0	2	, i=3, j=3;
	3		8	1	6
	4		9	3	8
	2		3		4		2
	2		3		4		2
13)	2		1		3		1					, i=3, j=4;
	1		2		1		2
	3		1		4		1
	2		1		3					0
	2		1		3					0
14)		1	1		2					3			, i=1, j=2;
	0		4		1			5
	0		2		1					8
	0		1		1		1
	0		1		1		1
15)	1		2		3		1				, i=2, j=1;
	0		4		3		2
	1		1		1		2
	7		1		3	1
	7		1		3	1
16)	2		1		1	0	, i=3, j=2;
	3		1		1	2
	1		3		2	1
	1		0	1		1
	1		0	1		1
17)	2		1	3		1			, i=4, j=3;
	4		0	3		2
	1		1	1		2
	1		3		2		4
	1		3		2		4
18)	0		1		2		0			, i=2, j=2;
	3		1		3		0
	4		1		2		5
		1	2		1					5
		1	2		1					5
19)		1	5		6					3		, i=3, j=3;
		1	2		3					5
		2	4		2					8

	1		1	3	4
20)	2		0	0	8	, i=1, j=2;
	3		0	0	2
	4		4	7	5
	5		1	2	7
	5		1	2	7
21)	3		0	0	2	, i=3, j=2;
	1		3	4	5
	2		0	0	3
	0		5	2	0
	0		5	2	0
22)	8		3	5	4	, i=4, j=4;
	7		2	4	1
	0		4	1	0
	2			2	1			3
	2			2	1			3
23)		3		1	2			1		, i=2, j=3;
23)	4			3	1			4		, i=2, j=3;
		2		1	0			1
	1			0	2		3
	1			0	2		3
24)	5			2	10		15			, i=1, j=1;
		2		7	1		6
	3			1	5		13
	3			1	4	1
	3			1	4	1
25)		1		1	1	0	, i=4, j=1;
	3			0	1	2
	1			3	2	1
		0		5	2		0
		0		5	2		0
26)		2		3	5		4	, i=3, j=3;
		1		2	1		1
		2		4	1		0
	1			5	2		0
	1			5	2		0
27)		1		3	0		4		, i=2, j=1;
	3			2	3		1
	0			4	1		0
		1		1	3		1
		1		1	3		1
28)		2		1	0		4	, i=3, j=4;
		3		0	1		2
		2		4	7		5

	2	1	1	0			1	1	2	7
29)	0	1	2	1	, i=1, j=4;	30)	1	0	1	2	, i=4, j=2.
	3	1	2	3			1	3	4	5
	3	1	6	1			2	2	0	1

Пример 3.1

первой строки; б) разложив его по элементам третьего столбца; в) получив предварительно нули в первой строке.

Решение

а) Поскольку определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения, то мы можем разложить данный определитель по первой строке следующим образом

3	1	0	1
1	4	1	0	3 A	1 A	0 A	1 A .	(3.1)
0	1	5	1	11	12	13	14
2	1	2	3

Вычислим отдельно алгебраические дополнения A11, A12 , A14 используя правило треугольников, т.к. каждое из них представляет собой определитель третьего порядка. Можно не вычислять значение A13, т.к. выражение 0 A13

принимает значение 0 при любом значении A13.

A 11 1	4	1	0	4 5 3 1 2 0 1 ( 1) ( 1)
A 11 1	1	5	1	4 5 3 1 2 0 1 ( 1) ( 1)
11	1	2	3
	1	2	3

0 5 ( 1) 4 2 ( 1) 1 1 3 60 0 1 0 8 3 66;

A 11 2	1	1	0	(1 5 3 0 2 0 1 ( 1) 2
A 11 2	0	5	1	(1 5 3 0 2 0 1 ( 1) 2
12	2	2	3
	2	2	3

0 5 2 1 2 ( 1) 1 0 3) (15 0 2 0 2 0) 15;

A 11 4	1	4	1
A 11 4	0	1	5 (1 1 2 0 ( 1) 1 4 5 2
14

21 2

1 1 2 1 5 ( 1) 4 0 2) (2 0 40 2 5 0) 45.

Подставив найденные значения в выражение (3.1), получим

3 66 1 ( 15) 0 1 ( 45) 198 15 45 168.

Ответ: 168.

б) Определитель равен сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения, значит можно разложить данный определитель по третьему столбцу

	3	1	0	1
	1	4	1	0				0 A				1 A	5 A	2 A .		(3.2)
	0	1	5			1			13		23		33		43
	2	1	2	3
Вычислим отдельно алгебраические дополнения A23,															A33, A43 (не вычисляем
значение A13, т.к. 0 A13				0)
A 1 2 3						3		1	1			(9 0 2 2 3 0) 6;
						3		1	1
						0		1 1
23						2		1	3
						2		1	3
A		1 3 3					3	1		1		36 1 0 8 0 3 30;
							3	1		1
							1	4		0
33							2	1		3
							2	1		3
A 1 4 3					3 1				1	( 12 1 0 0 0 1) 12.
					3 1				1
					1			4	0
43					0			1 1
					0			1 1

Подставив найденные значения в выражение (3.2), получим

0 1 ( 6) 5 30 2 12 0 6 150 24 168.

Ответ: 168.

в) Значение определителя не измениться, если к элементам одного столбца (строки) прибавить элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и тоже число, отличное от нуля. Используя данное свойство определителя, преобразуем его к виду, когда он содержит первую строку с максимальным количеством нулей

3	1	0	1	3	столбец 2столбец	0	0	0	1
1	4	1	0	3	столбец 2столбец	1	4	1	0	.
0	1	5	1	3	столбец 3 1столбец	3	0	5	1	.
2	1 2		3			7 2		2	3

После преобразований, вычислим определитель, разложив его на сумму произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения (аналогично пункту а))

0	0	0	1					1	4	1
0	0	0	1
1	4	1	0	0 A 0 A 0 A 1 A 1 11 4
1	4	1	0	0 A 0 A 0 A 1 A 1 11 4				3	0	5
3	0	5	1	11	12	13	14	7	2	2
7	2	2	3					7	2	2
7	2	2	3

(0 6 140 0 10 24) 168.

Ответ: 168.

Задача 3.2. Выполнив действия над матрицами, найти матрицу К. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) K 3AT B 2CD,

1		2		0				1 3					6 7									4			3				2				1	3	0
A	1	3		4		,B			2 0 1						3				,C			2 0							2				1	3	0		;
A	1	3		4		,B			2 0 1						3				,C			2 0						,D		0			2	3	5		;
	2	5 6							0 2				2 1										1		4					0			2	3	5
	2	5 6							0 2				2 1										1		4
2) K 4AB 6CT D,
4		3				2		1			3		0						1 3					2					5 2					0 2
A	2	0	,B			2		1			3		0							0 5				4				,D		1 0				3 3			;
A	2	0	,B				0	2			3		5	,C						0 5				4				,D		1 0				3 3			;
	1	4					0	2			3		5							3 0				2						2 4				6 7
	1	4																		3 0				2						2 4				6 7
3) K 2AB 4CDT ,									3			5		1
2		3 4			0				3			5		1							2			3 4								3		1 4
2		3 4			0				0 3					5							2			3 4								3		1 4			;
A	4	0 5 6					,B			1 4					,C													,D					0	2 1			;
	4	0 5 6								1 4				3							6			0 1									1	5 2
4) K 4AB 6CD,										2		3		0
4) K 4AB 6CD,
2		4				3 1 2 4								0						1		0		2					1 0 2					4 2
1		3				3 1 2 4								0	,C					2 1				3					1 0 2					4 2			;
A	5	2	,B				0 1 3 5								,C						2 4			0	,D				2 1 0					5 0			;
	5	2					0 1 3 5							4							2 4			0					0 4 0					1 2
	6	0																			0 2			1
5) K 5AT B 2CD,
1		2 2					3 0 3							1							1			5					1			5		0	1
A	3	0 4			,B			1 2 0						1	,C 3									0					1			5		0	1	;
A	3	0 4			,B			1 2 0						1	,C 3									0		, D				2			0	4	1	;
	2	4 5						0 1 2														1		2						2			0	4	1
	2	4 5						0 1 2						1								1		2
6) K 5AT B 2CD,
1		2 0					1 3 6							7							1			3 2					5 2					0 2				;
A	1	3 4			,B			2 0 1						3			,C					0		5 4			,D				1 0			3 3				;
	2	5 6						0 2 4						5								3		0 1							2 4			6 7
	2	5 6						0 2 4						5								3		0 1							2 4			6 7
7) K 4AB 3CDT ,											3		2			1
2		3 4					0				3		2			1						2 1						4				3		1 2
2		3 4					0					0	1 4									2 1						4				3		1 2
A							,B												,C									,D 0						5	5 ;
1		2 6					1					2	5 3									2 4						3					1	4 0
1		2 6					1					2	5 3									2 4						3					1	4 0
8) K 4AT B 5CD,												2	1			4
8) K 4AT B 5CD,
4		2 1					2					3		5 0								2		3					1				3	4	5
A	1	0 3 , B						4 1						4 3				,C					3	4					1				3	4	5
A	1	0 3 , B						4 1						4 3				,C					3	4			, D				6 2 1 0					;
	6	5 1						1 3						2 1									0		1						6 2 1 0
	6	5 1						1 3						2 1									0		1

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx