Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

7)	a ( 6; 3;2),	b (3;2; 6),	m 1, n 4;
8)	a (2;1; 2), b ( 1;0; 2),		m 4,	n 2;
9)	a ( 2;1; 2),	b (12;5;0),	m 3,	n 3;
10) a (8;7; 4),		b (2; 1;2),	m 3, n 1;

11)a (3;0;4), b (2;1; 2), m 2, n 5;

12)a (1; 1;6), b ( 6;3;2), m 1, n 5;

13)a (8;15;0), b ( 2; 2; 1), m 4, n 3;

14)a (4;19; 2), b (2; 1; 2), m 1, n 5;

15)a (6; 3; 2), b (2; 5; 2), m 2, n 3;

16)a (3;6; 2), b ( 2; 1;2), m 3, n 2;

17)a (5;7; 4), b (4;3;0), m 4, n 6;

18)a (1; 2; 2), b (3;5;2), m 3, n 6;

19)a (2; 2; 1), b (2;1; 2), m 4, n 2;

20)a (10; 4; 7), b (2;1; 2), m 1, n 7;

21)a ( 2; 6; 3), b (2; 4; 7), m 7, n 3;

22)a (0;7; 24), b (2; 12;1), m 5, n 7;

23)a (4;3; 13), b (5;0;7), m 3, n 8;

24)a (4;0; 3), b (5; 13;0), m 8, n 2;

25) a (7;0;12), b (3; 2;8), m 2, n 10;

26)a (9;13;0), b ( 1;1; 4), m 4, n 8;

27)a (10;7;4), b ( 1;2; 8), m 7, n 4;

28)a ( 2;8;3), b (0;12; 7), m 9, n 6;

29)a ( 7; 1;4), b ( 1;3; 2), m 5, n 9;

30)a (4; 1; 7), b (11; 3;0), m 2, n 5.

Пример 4.2

Даны векторы a ( 2;1;0) и b ( 1;2;7). Найти а) единичный вектор

a0; б) угол между векторами a и b; в) проекцию вектора b на ось вектора a; г) координаты вектора с 2a 6b.

Решение

а) Если задан вектор a a1, a2, a3 , то соответствующий ему единичный вектор имеет координаты

																										a								a
																				a						a		2						a
																				a	0			1	,			2		,		3								,																(4.3)

																							a				a							a
																							a				a							a

															– модуль вектора a a , a																															, a .
где			a				a2 a2				a2				– модуль вектора a a , a																													2		, a .
							1	2				3																												1				2			3
			Найдем модуль вектора a ( 2;1;0)
																			a																															.
																						2 2 12 02
																						2 2 12 02																									5
		Тогда, подставляя координаты и модуль вектора a в формулу (4.3), получим
																										2										1
																					a0										;										;0	.

																												5									5
																												5									5
											2			1
		Ответ: a0											;					;0		.

											5			5
											5			5
		б) Угол между двумя векторами можно вычислить по формуле
																				cos									a						b				,																	(4.4)
																												a

																																			b
где a b – скалярное произведение данных																																						векторов,											a		и		b	– их модули.


		Координаты векторов a и b																						даны,							поэтому сразу подставим их в формулу
(4.4.) и определим косинус искомого угла
				cos										2 1 1 2 0 7																																						4			4		,
				cos																																																					,
										2 2 12 02 1 2 22 72																																										5 54 3 30
откуда получаем																																								4
																					arccos																			4			.

												4																								3				30
																																				3				30
		Ответ: arccos														.

											3	30																																												b
											3	30
		в) По рис. 4 определяем, что																								a b
				пр b					b

										cos или пр b																							.																								a
										cos или пр b																		a					.																								a
							a														a																																прab
							a														a
		В предыдущем пункте было найдено
	b	3				, cos						4
					6							4					, следовательно,																																					Рис. 4

											3	30
											3	30																									4								4

																			прab 3 6																													.

																																					30
																															3						30									5

Ответ: 4 .

г) Найдем координаты вектора с в соответствии с правилами сложения и умножения вектора на число и порядком арифметических действий

с2a 6b 2 2;1;0 6 1;2;7

4; 2;0 6;12;42 2;10;42 .

Ответ: 2;10;42 .

Задача 4.3. Даны векторы a, b и с . Необходимо

а) найти векторное произведение векторов a, b и вычислить его модуль;

б) вычислить смешанное произведение векторов a, b, с и определить,

будут ли векторы компланарны;

в) определить, будут ли векторы a и с

коллинеарны, векторы b и с

ортогональны.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) a 2i 3 j k,

b 6 j 4k,

c 5i 2 j 3k ;

2) a 3i 4 j k,

b i 2 j 7 k,

c 1,5i 2 j 0,5k ;

3) a 2i 4 j 2k,

b 7 i 3 j,

c i 2 j k ;

4) a 2i 6 j 4k,

b 7i 2k,

c i 3 j 2 k ;

5) a 4i 2 j k,

b 10i 5 j 2k,

c i 5k ;

6) a 3i 2 j k,

b 2 j 3k,

c 3i 2 j k ;

7) a 4i j 3k,

b 2i 3 j 5k,

c 7i 2 j 4k ;

8) a 4i 2 j 3k,

b 2i k,

c 12i 6 j 9k ;

9) a i 5k,

b 3i 2 j 2k,

c 2i 4 j k ;

10)

a 6i 4

j 6k,

b i 8k,

c 9i 6 j 9k ;

11)

a 5i 3

j 4 k,

b 2i 4 j 2k,

c 3i 5 j 7 k ;

12)

a 4i 6

j 2k,

b 4i 3

j 7 k,

c 6i 9 j 3k ;

13)

a 7i 5k,

b 5i 2 j 2k,

c 2i 3

j 2 k ;

14)

a 4i 6

j 2k,

b i 5

j 3k,

c 2i 3 j k ;

15)

a 3

j 5k,

b 4i 2

j 3k,

c 6i 6 j 4 k ;

16)

a 2i

j 2k,

b 3i

8 j,

c 8i 12

j 8k ;

17)

a 9i 2 k,

b 2i 4 j

2k,

c 3i 5

j 7 k ;

18)

a 3i 15

j 21k,

b 9i

j k,

c i 5 j 7 k ;

19)

a 5i

j 2 k,

b 2 i 4

j 2 k,

c 7 i 4

j k ;

20)

a i 2

j 4k,

b 9i 4

j 5k,

c 5i 10

j 20k ;

21)

a i 2

j 6 k,

b 2i 7

j 5k,

c 3i 2 j 4 k ;

22)

a i 11 j

3k,

b 7i 4 j 5k,

c 5i 5 j 3k ;

23)

a 4i 6

j 2k,

b 3i 5

j 7 k,

c 2i 3

j k ;

24)

a 3i j 2k,

b i 5 j

4k,

c 6i 2 j 4k ;

25)

a 3i j 5k,

b 2i 4

j 22k,

c 3i 7

j k ;

26)

a 3i 2 j 7 k,

b i 6k,

c 6i 4 j k ;

27)

a 2i 4

j 6k,

b 3i j 5k,

c i 2 j 3k ;

28)

a 5i k,

b 4i 5 j 4k,

c 2i 4 j 3k ;

29)

a 2i 4

j 6 k,

b 9i 4 k,

c 3i 6 j 9 k ;

30)

a 5i 6 j 4k,

b 4i 8

j 6k,

c 3 j 4k ;

Пример 4.3

a 2i k ,

b i

j 7 k

c 5i 2

j k .

Даны

векторы

Необходимо а) найти векторное произведение векторов a, b и вычислить его

модуль; б) вычислить смешанное произведение векторов a, b, с и

определить, будут ли векторы компланарны; в) определить, будут ли

векторы a и с коллинеарны, векторы b и с ортогональны.

Решение

а) Векторным произведением двух векторов является вектор, найдем его координаты

	i	j	k	0	1		2	1		2	0
	i	j	k	0	1		2	1		2	0
a b	2	0	1	1	7	i	1	7	j	1	1	k i 13j 2k
	1	1	7
	1	1	7

и модуль

a b 1 169 4 174.

Ответ: a b i 13j 2k , a b 174.

б) Смешанным произведением трех векторов является число, которое можно вычислить как определитель, составленный из координат данных векторов

a		2	0	1	2 2 0 5 28 0 23.
a	b c	1	1	7	2 2 0 5 28 0 23.
		5	2	1

Если смешанное произведение векторов равно нулю, то эти векторы компланарны, т.к. a b c 23 0, то векторы a , b и с не являются компланарными.

Ответ: a b c 23, a , b, с – не компланарны.

в) Координаты векторов пропорциональны тогда и только тогда, когда векторы являются коллинеарными. Проверим пропорциональность координат векторов a и с

2 0 1,

5 2 1

поскольку равенства не верны, то векторы a и с не коллинеарны.

Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора являются ортогональными. Вычислим скалярное произведение векторов

b и с

b c 1 5 1 2 7 1 5 2 7 0,

т.к. b c 0, то вектора b и с ортогональны.

Ответ: a и с не коллинеарны; b и с ортогональны.

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ИВ ПРОСТРАНСТВЕ

Враздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»: составление различных уравнений прямых на плоскости и в пространстве; определение взаимного расположения прямых на плоскости, прямых, прямой и плоскости, плоскостей в пространстве; изображение кривых второго порядка. Необходимо отметить, что в данном разделе представлены задачи экономического содержания, при решении которых применяются сведения из аналитической геометрии на плоскости.

При решении задач аналитической геометрии целесообразно воспользоваться учебными пособиями следующих авторов: Д.В. Клетеника, Н. Ш. Кремера, Д.Т. Письменного В.И. Малыхина, т.к. в данной литературе рассматривается более широкий круг задач, которые можно использовать для самостоятельной подготовки по данной теме. Применение аналитической геометрии к решению экономических задач изложено в учебных изданиях М.С. Красса и В.И. Ермакова.

Задача 5.1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника;

б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ;

в) написать уравнение внутренней биссектрисы угла BAC треугольника; г) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины

В к стороне АС; д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, ост-

роугольный, тупоугольный); е) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторон-

ний, равнобедренный, равносторонний); ж) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) и коор-

динаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника; з) найти расстояние от точки пересечения серединных перпендикуляров

треугольника до его вершин и расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон.

К пунктам а) – г), ж) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	A(3; 4), B(2; 1),C( 5; 0);	6)	A( 3; 4), B( 6;7),C( 1;1);
2)	A( 4; 5), B(3;3),C(5; 2);	7)	A(4; 5), B(2; 2),C(7; 4);
3)	A( 3;3), B(4; 1),C( 2; 4);	8)	A( 3; 4), B( 2; 1),C(7;1);
4)	A(3; 2), B( 5; 4),C( 1; 6);	9)	A(4; 5), B( 3;3),C( 5; 2);
5)	A(2;5), B( 3; 4),C( 2; 3);	10) A(3;5), B( 4; 3),C(2; 4);

11)A( 3; 2), B( 2; 5),C(6; 1);

12)A(6; 4), B( 3; 7),C( 1; 2);

13)A( 2; 1), B(7;3),C(4; 3);

14)A(3; 4), B(6; 2),C(1;1);

15)A( 4; 5), B( 2; 2),C(2; 2);

16)A(3; 4), B(2;1),C( 1; 3);

17)A( 4;5), B(3; 3),C(5; 2);

18)A( 6; 4), B(3; 7),C(1; 2);

19)A(3; 2), B(2; 5),C( 6; 1);

20)A(2;1), B( 7;3),C( 4; 3);

21)A( 3; 2), B(5; 4),C(1; 6);

22)A( 2;5), B(3; 4),C(4; 4);

23)A( 3; 5), B(4; 2),C( 2; 4);

24)A(3; 2), B( 5; 4),C( 1; 6);

25)A(2; 5), B( 3; 4),C(2; 4);

26)A( 3; 2), B( 2;5),C(6;1);

27)A( 6; 4), B(3;7),C(1; 2);

28)A(2;1), B( 7; 3),C( 4;3);

29)A( 3; 4), B( 6; 7),C(1; 1);

30)A(4;5), B(2; 2),C(7; 4).

Пример 5.1

Даны координаты вершин треугольника АВС: A(4;3), B( 2;1),C(3; 4).

Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника; б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ; в) написать уравнение внутренней биссектрисы угла BAC треугольника; г) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС; д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный); е) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний); ж) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) и координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника; з) найти расстояние от точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника до его вершин и расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его сторон.

Решение

а) Для каждой стороны треугольника известны координаты двух точек, которые лежат на искомых линиях, значит уравнения сторон треугольника – уравнения прямых, проходящих через две заданные точки

x x1	y y1	,	(5.1)
x2 x1
	y2 y1

где x1; y1 и x2;y2 соответствующие координаты точек.

Таким образом, подставляя в формулу (5.1) координаты соответствующих прямым точек получаем

AB:

x 4

y 3

, AC :

x 4

y 3

, BC :

x 2

y 1

3 4

4 3

3 2

2 4

1 3

4 1

откуда после преобразований записываем уравнения сторон

x y 1 0.

AB: x 3y 5 0, AC :

7x y 25 0, BC :

На рис. 5 изобразим соответствующие сторонам треугольника ABC прямые.

Ответ: AB:

x 3y 5 0,

AC :

7x y 25 0, BC :

x y 1 0.

б) Пусть CH – высота, проведенная из вершины C к стороне AB. Поскольку

CH проходит через точку C перпендикулярно вектору AB, то составим уравнение прямой по следующей формуле

a(x x0) b y y0 0,

(5.2)

где a;b – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, x0; y0 –

координаты точки, принадлежащей этой прямой. Найдем координаты вектора, перпендикулярного прямой CH , и подставим в формулу (5.2)

AB 6; 2 CH , C 3; 4 CH ,

CH : 6 x 3 2 y 4 0,

3 x 3 y 4 0, 3x y 5 0.

На рис. 6 изобразим треугольник и найденную высоту.
Ответ: CH :	3x y 5 0.
	y				y	A
				3		A
	3	A		3		H
	3			B
B				B	1
B	1			x	1		x
	1			x			x
–2	0	3	4	–2	0	3	4
–4		C				C
–4				–4


	Рис. 5					Рис. 6

в) Обозначим AK – внутреннюю биссектрису угла BAC треугольника ABC. По свойству биссектрисы угла треугольника: точка K делит сторону BC заданного треугольника соответственно в отношении BA: AC, т.е

BK		BA	.	(5.3)

KC AC

Найдем длины отрезков BA и AC как длины векторов соответственно BA и

BA 6;2 BA BA 62 22 40 210,

AC 1; 7 AC AC 1 2 7 2 52,

следовательно, по формуле (5.3)

																	BK				2								10			2			5					2							2				.
																																																			.
																	KC					5				2							52					2						5
Для нахождения координат xK ;yK точки K воспользуемся формулами
										xK						xB xC														,	yK					yB yC																,												(5.4)
										xK																				,	yK																					,												(5.4)
																		1																					1																								2
где x		B		; y		B	и x			;y		C		– координаты соответственно точек B и C,																																									, т.е.								2
где x				; y			и x			;y				– координаты соответственно точек B и C,																																									, т.е.
									C																																																			5
подставив их в выражения (5.4) получим координаты точки K																																																												5
подставив их в выражения (5.4) получим координаты точки K
								2				2				3																									1							2					4
					xK									5						2								5 6					, yK											5																5	8	,
													2																																									2
																								5 2
									1															5 2																						1														5 2

														5																																								5				BAC треугольника
														5																																								5
таким образом, уравнение внутренней																																	биссектрисы угла
ABC				составим					как				уравнение												прямой, проходящей																															через точки A(4;3) и

					5 6				5 8
	2				5 6				5 8
							;								по формуле (5.1)
K							;		5 2						по формуле (5.1)
			5 2						5 2																	x 4																		y 3
													AK :													x 4																		y 3													,
													AK :																																												,
																				2							5 6						4										5		8					3


																									5 2																	5 2
																		x 4																										y 3															,

											2 5 6 4 5 8
											2 5 6 4 5 8																											5 8 3 5 6
																				x 4																	y 3												,
																			6															2

																							5 2																5 14

после преобразований получим

5 7 x 35 1 y 55 25 0.

Ответ: AK : 5 7 x 35 1 y 55 25 0 (рис. 7).

г) медиана BB1			треугольника ABC делит сторону AC на две равные части,
т.е. точка B1	является серединой отрезка					AC. Исходя из этого, можно найти ко-
ординаты xB 1		;yB 1	точки B1
			xB1	xA xC	, yB1		yA yC	,	(5.5)

где xA; yA			2			2
	и xC;yC – координаты соответственно точек								A и C, подставив

которые в формулы (5.5) получим

x	B1		4 3	3,5; y	B1		3 4	0,5.
	B1	2			B1	2
		2				2

Уравнение медианы BB1 треугольника ABC составим как уравнение прямой,

проходящей через точки B( 2;1) и B1 3,5; 0,5 по формуле (5.1)

		BB :		x 2	y 1	,
		BB :		3,5 2	0,5 1	,
		1		3,5 2	0,5 1
			3x 11y 5 0.
Ответ: BB1 :3x 11y 5 0 (рис. 8).
	y	A				y	A
	3	A				3	A
	3					3
B	1				B	1
	1			x		1	x
–2		3	4	x	–2		x
–2	0	3	4		–2	0	3 В 4
	K
		C					C
	Рис. 7					Рис. 8

д) Углы треугольника ABC найдем как углы между векторами, исходящими из соответствующих вершин данного треугольника, т.е

ABC BA,BC , BAC AB,AC , ACB CA,CB .

Углы между векторами вычислим по формуле (4.4), для которой потребуются

скалярные произведения векторов BA BC, AB AC, CA CB.

Найдем координаты и модули векторов, необходимых для вычисления углов

BA6;2,
BA6;2,	BA			2 10, BС 5, 5 ,											BС				5							2		;
AB BA,		AB			BA			, AC 1, 7 ,									AC				5								;
AB BA,		AB			BA			, AC 1, 7 ,									AC				5						2		;
						AC				, CB BC,						CB								BC
CA AC,			CA			AC				, CB BC,						CB								BC				.

Подставляя найденные данные в формулу (4.4), получим
cos BA,BC									6 5			2 5
									6 5			2 5								5		,
																		5

										2 10 5 2
cos AB,AC							6				1		2	7
							6				1		2	7									5		,
																									,
										2 10 5 2								5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx