Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

9x3 x2

9x3

lim

x 2x

x 1

x 2x

1 x

9 0 0

4,5.

Ответ: 4,5.

2 0 0

в) lim

x 9

Решение

Поскольку имеем неопределенность вида , а числитель и знаменатель

нельзя разложить на множители, то для раскрытия неопределенности нужно домножить и числитель, и знаменатель дроби на выражения, сопряженные имеющимся. Далее, используя формулы сокращенного умножения, преобразовать получившиеся выражения.

												lim				3					3x	3						0

																	2x						x 9
												x 9
												x 9																0
							3			3 3									2 33							9
	lim						3		3x	3 3						3x			2 33					3x		9				2x			x 9
	lim																															2 33				9
			x 9																									3
			x 9				2x					x 9								2x					x 9			3	3x					3x
			3		3			3
			3		3			3										x 9
				3x		3							2x					x 9														3 x 9					2x				x 9
lim																											lim					3 x 9					2x				x 9	.
lim															2												lim											2				.
x 9		2							2		3					3												x 9						3						3
x 9		2							2		3					3												x 9						3						3
	2x				x 9									3x		3 3x 9															x 9				3x				3 3x 9

Сократив выражение под знаком предела на общий множитель x 9 , кото-


рый обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, получим
lim	3 x 9										3
	3 x 9		2x				x 9			lim	3			2x				x 9
								9		lim									9
x 9 x 9 3				2 33						x 9	3				2 33
x 9 x 9 3		3x		2 33		3x				x 9	3		3x		2 33		3x

					3 2 18				18 2			2 2				.
					3 2 18				18 2			2 2
					9 9 9
					9 9 9					27	3

Ответ: 2 2 . 3

г) limcos2x cos3 2x .

x 0 3x2

Решение

Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности

преобразуем выражение, находящееся под знаком предела, а затем воспользуемся формулой первого замечательного предела

lim

sint

(6.1)

t 0

cos2x cos3 2x

cos2x1 cos2 2x

cos2x sin

2 2x

lim

x 0

cos2x sin2x sin2x

cos2x

sin2x

lim

3 x x

x 0

2 1 2 1

Ответ: 4 . 3

2x 3 4x 1

д) lim .

x 2x 1

Решение

При непосредственном вычислении предела получаем неопределенность вида1 , для раскрытия которой используем формулу второго замечательного предела,

	1		t	e
lim 1					(6.2)
		t
t

Сначала выделим целую часть, затем приведем выражение под знаком предела к виду (6.2) и вычислим предел

2x 3 4x 1

2x 1 1 3 4x 1

2x 1

4x 1

lim

2x 1

4x 1

2x 1 2x 1 1

lim 1

lim

2x 1

				16		4
	16x 4		lim
							x
					1
lim		e	x	2				e 8.

ex 2x 1					x

Ответ: e 8.

Задача 6.4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва (если они есть) и построить график заданной функции.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

x 4,

x 1,

1) f x

2 2, 1 x 1,

x 1;

2x,

x 1,

x 0,

2) f x

x 1 2, 0 x 2,

x 4,

x 2;

x 2,

x 1,

3) f x

2 1, 1 x 1,

x 1;

x 3,

ex,

x 1,

4) f x

2x, 1 x 2,

x 2;

2 x 1, x 1,

5) f x

1 x 0,

x 1 3,

x 0;

x 1,

6) f x

cosx,

x ,

x ;

x2 1,

x 1,

7) f x

1 x 3,

2x,

x 3;

x 2,

2x 1,

x 1,

f x log

1 x 2,

x 2;

x 3,

cos2x,

9) f x x 1,

x 0,

x3 1,

x 0;

x 1,

10)

2 1,

1 x 0,

f x x

ex,

x 0;

x2 4,

x 1,

f x

11)

x 1,

1 x 5,

x 5;

x 0,

12)

f x

0 x 2,

x 2;

x 1,

f x

x 1,

13)

lnx,

1 x e,

x e;

x 0,

14)

0 x 2,

f x x 1 2,

x 3,

x 2;

x 3,

x 0,

15)

f x

0 x 2,

x 1,

1 x,

x 2;

1 x,

x 0,

16)

f x

0 x 2,

x 2,

x 2;

2x2,

x 0,

17)

f x

0 x 1,

x 1;

2 x,

x 0,

18)

f x

0 x 1,

lnx,

x 1 3, x 1;

f x

x 1,

x 0,

19)

ex,

0 x 1,

x 1;

2x,

x 0,

20)

f x

0 x 1,

x 1,

x 1;

x 0,

3x,

21)

f x

2 x,

0 x 2,

x 2;

x 0,

22)

f x

sinx,

0 x

x 1,

;

Пример 6.4

	x2 3,					x 2,
		1

23)	f x				, 2 x 3,

	x 1					x 3;
	x,

	x2 2x,					x 0,

24)			x,			0 x 1,
	f x
	2,					x 1;

	x 2,					x 1,
25)						1 x 2,
	f x 2x,
		2		,		x 2;
	x

x2 1, x 0,

26)f x log2 x, 0 x 1,

x 1;

x 1,

x 0,

x2,

27)

f x

cos2x,

0 x

;

x 1

x 1,

28)

f x x,

1 x 1,

x 3,

x 1;

x 1,

29)

f x

1 x 2,

x 1 2,

2x 1,

x 2;

x 1,

30)

1 x e,

f x x2 1,

lnx,

x e.

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек раз-

				x 0,
	x 1,			x 0,

рыва (если они есть) и построить ее график: f x	cosx,			0 x		,
рыва (если они есть) и построить ее график: f x	cosx,			0 x		,
				2
				2
	x	2		x
			1,		.
		2	1,		.
				2

Решение

	Функция f x определена и непрерывна на интервалах		,0 ,		0,
							и
							и
						2

	,	, где она задана непрерывными элементарными функциями.		Следова-
2	,	, где она задана непрерывными элементарными функциями.		Следова-
2

тельно, разрыв возможен только в точках x1 0 и x2 .

По определению, функция f x непрерывна в точке x x0, если она опреде-

лена в этой точке и значение функции в заданной точке совпадает со значением левостороннего и правостороннего пределов функции при x, стремящимся к x0,

т.е.

lim0 f x lim0 f x f x0 .

x x0 x x0

Исследуем f x на непрерывность по определению в каждой из точек

x2. Исходя из задания функции, следует, что			f x определена в этих точках.
При x1 0 получаем	f x	lim x 1 1,
lim
x 0 0	f x	x 0 0	cosx 1,
lim		lim
x 0 0		x 0 0

(6.3)

x1 и

	f 0 0 1 1,
таким образом, равенство (6.3) выполняется
lim	f x lim f x f 0 1,
x 0 0	x 0 0

следовательно, функция f x непрерывна в точке x1 0.

При x2		получаем
	2			f x	lim cosx 0,
		lim
		x	0		x	0

		2			2

		f x					x2				5
lim					lim			1				,
lim					lim			1				,
x	0			x		0	2		4
x				x
2				2				5
					2			5
		f					1		,
		f			4 2		1	4	,
			2		4 2			4
таким образом, равенство (6.3.) не выполняется, а именно
lim		f x			lim		f x f 0 ,
x 0 0				x 0 0
следовательно, функция f x		имеет разрыв в точке								x			, а поскольку функ-
следовательно, функция f x		имеет разрыв в точке								x	2		, а поскольку функ-
											2	2

цию нельзя переопределить таким образом, чтобы устранить разрыв, и все значе-

ния пределов конечны, то x2				– неустранимый разрыв первого рода.
		2
					x 0,
	x 1,

График функции f x	cosx,				0 x		, изображен на рис. 21.

					2

	x	2			x
			1,			.
		2
					2

Ответ: функция			f x			непре-	y
рывна при							y
рывна при

x	,				, ,
x	,	2		2	, ,
		2		2
при x	функция			f x		имеет	1
при x	функция			f x		имеет	1
2									x
неустранимый разрыв первого ро-							0		x
да.						–1	0	/2

Рис. 21

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 470 с.

2. Клетеник, Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник; под ред. Н.В. Ефимова. – 17-е изд., стер. – СПб.: Профессия, 2004. – 199 с.

3.Красс, М.С., Чупрынов, Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 5-е изд., испр. и

доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 720 с.

4.Лексаченко, В.А. Логика. Множества. Вероятность / В.А. Лексаченко. – М.:

Вуз. кн., 2001. – 128 с.

5.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 176 с.

6.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 224 с.

7.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Задачи и упражнения / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 288 с.

8.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.

9. Малыхин, В.И. Математика в экономике: учебное пособие /

В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 351 с.

10.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис–пресс, 2004. – 602 с.

11.Практикум по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 422 с.

12.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 575 с.

13.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие. В 3 ч. Ч.1 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высшая школа., 1990. – 352 с.

14.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие. В 3 ч. Ч.2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск.: Высшая школа., 1990. – 352 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Южно-Уральский государственный университет

Международный факультет Кафедра «Общеобразовательные дисциплины»

Семестровая работа № 1 по курсу

«Математика»

Выполнил(а): студент(ка) гр. МН – ________

группа

_______________________________________

специальность

_______________________________________

ФИО

Вариант № _____________________________

Проверил(а):____________________________

Должность

_______________________________________

ФИО

Регистрационные данные: Дата_______ Дата_______ Дата_______

Номер _____ Номер _____ Номер _____

Челябинск 20____

Приложение 2

Результаты проверки семестровой работы студента(ки) гр. МН – _____________

______________________________________________________________________

Номер задачи	Проверка 1	Проверка 2	Проверка 3












Итог

Дата

Подпись
преподавателя

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………...…………… 3

Раздел I. Элементы теории множеств…………………………………….……….. 5

Раздел II. Комплексные числа……………………………………….…………….. 8

Раздел III. Элементы линейной алгебры………………………………….………. 15

Раздел IV. Векторная алгебра……………………………………………………… 47

Раздел V. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.………….. 55

Раздел VI. Введение в математический анализ…………………………...…….... 81

Библиографический список…………………………………..……………………. 96

Приложения…………………………………………………………………………. 97

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx