Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

		1	3	1	2	1			1	~	3строка 4 2строка									~
	~ 0		7	4 2		4			4	~										~
			7	1 3		0					3строка 1 1строка
		0	7	1 3		0			2
			1							3
			1	4	0	1 1				3					1
			~ 0							12 ~					1
				21	0	11			4			2 строка				~
				21	0	11			4			2 строка				~
				7 1		3 0									4
			0	7 1		3 0				2					4
	1		4	0	1	1		3			1	5 4	0 7 4 0						0
	1		4	0	1	1		3			1	5 4	0 7 4 0						0
~	0	21		0 11		1		3		~	0	21 4	0 11 4					1	3 ~
			4		4	0						7	1	3				0
	0		7	1 3		0		2			0	7	1	3				0	2
																	0

		2строка и3строка							1		5 4	0	7 4	0
	~	2строка и3строка					~ 0				7	1	3			0	2 .

		поменяем местами								21 4 0			11 4			1
									0	21 4 0			11 4			1	3

rang A rang AB 3, значит, система совместна. Кроме того, ранг матриц

меньше количества переменных, поэтому система имеет бесконечно много решений. Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений, которую записываем на основе последней матрицы


x				5	x	2		7	x		4			0,
x					x				x					0,
	1		4				4
			4				4							2,
		7x2 x3 3x4												2,
		21					11
					x					x			x	3,
			4		x					x			x	3,
			4			2	4					4	5

x1, x3, x5 – базисные переменные, x2, x4 – свободные переменные.

Выразим из каждого уравнения базисные переменные через свободные


x			5		x	2			7	x	4	,

1	4						4

	7x2 3x4 2,
x3
		21						11
x5				x2						x4 3,

	4						4

Свободные переменные принимают произвольные значения, а значения базисных переменных вычисляются в соответствии с полученными выражениями.

Пусть x2 a, x4 b, тогда получим общее решение системы

	5	7		21	11
X		a	b;a;7a 3b 2;b;		a	b 3	, a R,b R.
				4
	4	4			4

Для проверки подставим найденное решение в исходную систему

	5				7					7a 3b 2 2b				21			11
		a				b 3a										a		b 3 1,
		a				b 3a										a		b 3 1,
	4		5		4		7							4			4		21		11
			5				7			a 2 7a 3b 2 3b 2									21		11
2					a				b											a		b 3	2,
2					a				b										4	a	4	b 3	2,
			4				4				21		11						4		4
			5				7				21		11
				a				b 4a b				a			b 3		3.
				a				b 4a b				a			b 3		3.
			4				4			4			4
			4				4			4			4

Упростив каждое уравнение в системе, получим

1 1,

2 2,

3 3.

Все равенства верные, значит, решение системы найдено верно.

	5		7		21	11
Ответ: X		a		b;a;7a 3b 2;b;		a	b 3	, a R,b R.
			4		4
	4					4

б) Для нахождения частного решения необходимо свободным переменным

придать какие–либо значения. Положив, x2 a 1,	x4 b 1, получим
частное решение системы

Ответ: Xчаст 2;1;2;

Xчаст 2;1;2;

1; .

в) Для нахождения базисного решения необходимо свободным переменным придать значение ноль. Положив, x2 a 0, x4 b 0, получим базисное решение системы

Xбазисное 0;0; 2;0; 3 . Ответ: Xбазисное 0;0; 2;0; 3 .

Задача 3.5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	4		2 1				;	3)	5		4	4	;	5)	4		5	2
		1	3 1							2 1		2				5	7	3	;
		1	2		2					2 0		3				6	9	4

2)	2		1	0		;		4)	3		2	2	;	6)	1		3		3	;
		1	2	0						2	1	2				2	6		13
		1	1	1						2	2	3				1	4		8

7)	3				1	1				;	15)	3		2		2			;			23)	4		1 1				;
7)		0			2	1				;	15)		0		3	0			;			23)		2	3		2		;
		0			1	2							0		2	1								1	1		2
		0			1	2							0		2	1								1	1		2
8)	5				1	1				;	16)	5		2		2			;			24)	2		1 1			;
8)		0			4	1				;	16)		0		5	0			;			24)		1	2	1		;
		0			1	4							0		2	3								0
		0			1	4							0		2	3								0	0 1
9)	6				2		1				17)	7		4		4			;			25)	3		0 0
9)		1			5		1 ;				17)		2		3	2			;			25)		1	2	1 ;
		1			2			4					2		0	5								1	1		2
		1			2			4					2		0	5								1	1		2
10)		3 1					1				18)	7		6		6			;			26)	5		0		0
10)			2		2		1 ;				18)		4	1		4			;			26)		1	4	1 ;
			2 1			4							4	2		5								1	1		4
			2 1			4							4	2		5								1	1		4
11)		2 0					1				19)	7		6		6			;			27)	6		1 1				;
11)			1		1		1 ;				19)		2		3	2			;			27)		2	5		2		;
			1 0			2							2		2	3								1	1		4
			1 0			2							2		2	3								1	1		4
12)		2 1					0		;		20)	13 2				2						28)	3			2	2				;
12)			1		2	0			;		20)		6		9	6				;		28)		2		5	2				;
			1 1			3							2 2				5							2		2		1
			1 1			3							2 2				5							2		2		1
13)		4 1					0		;		21)	0 1				0			;			29)	5			2	4				;
13)			1		4	0			;		21)		4		4	0			;			29)		0		1		0			;
			1 1			5							2 1			2								2		2		7
			1 1			5							2 1			2								2		2		7
14)		5 1					1				22)	1			4			8				30)	7			4	2
14)			2		4		1 ;				22)		4		7			4			;	30)		2		5	2			.
			2 1			6							8		4				1					0		0		9
			2 1			6							8		4				1					0		0		9
	Пример 3.5
	Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
													0			3			0
															1	2			0		.
															1	1			1
	Решение														1	1			1
	Решение
	Составим характеристическое уравнение
														A E				0,
														A E				0,
	где A – заданная матрица, Е – единичная матрица, – независимая
переменная.									0		3		0
				A E												разложим определитель по
																разложим определитель по
									1		2		0
										1	1	1				элементам тертьего столбца


1		3	1 2 1 3 1 2 2 3 0
1	1	2	1 2 1 3 1 2 2 3 0
Решая полученное уравнение, найдем его корни 1,				2, 3 – собственные

значения исходной матрицы

1 2 2 3 0,1 0, 2 2 3 0,

1 3, 2 1, 3 1.

Далее найдем собственные векторы матрицы, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть XT x1, x2, x3 – искомый собственный вектор.

Составим систему однородных уравнений A E X 0

		3	0				x1				0
1		2	0				x	2	0
								2
	1	1
	1	1	1				x3					0
или
x			3x								0,
		1			2						0,
	x1 2 x2					1 x					0,
		x	x	2		1 x				3	0.
		1		2						3

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как определитель ее матрицы коэффициентов равен нулю.

Пусть 1 3, тогда система примет вид

3x		3x					0,
	1		2				0,
	x1	x2			2x		0,
	x	x		2	2x	3	0.
	1			2		3

Найдем общее решение системы методом Жордана – Гаусса

		3		3	0	0		0	0	6	0		0	0	1	0		0	0	0	0
A	B		1	1			~		0			~		0			~		0			,

					0	0		0		2	0		0		1	0		0		1	0
			1	1					1					1					1
					2	0		1		2	0		1		2	0		1		0	0

откуда

x3 0,x1 x2 0,

x1, x3 – базисные переменные,	x2 – свободная переменная, следовательно, общее
решение системы имеет вид			0 , где x
XT x	x	2	0 , где x	2	– любое число.
2		2		2

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Положим x2 1, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу 1 3, будет равен

1 X 1 1 .

При 2 1 и 3 1 аналогично приведенному выше решению

составляем и находим решение соответствующей системы однородных уравнений.

Пусть 2 1, тогда система примет вид

x1x1

3x2 0,

x2 0,

x2 0.

Общее решение системы данной системы найдем методом Жордана – Гаусса, откуда получим,

x2 0,x1 0,

x1, x2 – базисные переменные, x3 – свободная переменная, таким образом,

общее решение системы имеет вид

XT 0 0	x , где x	3	– любое число.
	3	3

Положим x3 1, тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу 2 1, будет равен

0 X 2 0 .

Пусть 3 1, тогда система примет вид
x	3x					0,
1		2				0,
x1	3x2			2x		0,
x	x		2	2x	3	0.
1			2		3

Найдем общее решение системы методом Жордана – Гаусса

		1		3	0	0		0	4	2	0		0	2	1	0		0	0	0	0
A	B		1	3			~		4			~		2			~		2			,

					0	0		0		2	0		0		1	0		0		1	0
			1	1					1					1					3
					2	0		1		2	0		1		2	0		1		0	0

откуда

						2x2 x3 0,
						x	3x	2	0,
						1		2
x1, x3 – базисные переменные,						x2 – свободная переменная, следовательно, общее
решение системы имеет вид							2x2 , где x2 – любое число.
		XT 3x2				x2	2x2 , где x2 – любое число.
Положим	x2 1,		тогда собственный вектор,								соответствующий собственному
значению 1	1, будет равен								3
							X 3		3
							X 3			1	.
										2
										2
Ответ:		3,		1,		1; X 1			1		0			3
Ответ:	1	3,	2	1,	3	1; X 1				1	, X 2	0	, X 3		1	.
	1		2		3					0		1			2
										0		1			2

Задача 3.6. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	3x 2x				2				5x					3		2x							4			2x					5		0,		2x x			2			2x					3	x				4		2x							5				0,
		1			2									3									4								5					1		2								3					4									5
1)	2x1. x2 4x3 x4 x5 0,																																	6)	3x1. x2 7x3 x4 2x5 0,
	2x 3x					2				x 3x										4					3x 0;										x x				2			x			3		x			4		2x 0;
		1.				2						3								4									5							1.			2						3					4									5
	2x x		2					2x					3		x			4				2x 0,													x 2x			2			5x x									4		2x								5			0,
		1	2										3					4										5							1			2							3					4										5
2)	x1. x2 5x3 x4 2x5 0,																																	7)	2x1. x2 7x3 x4 2x5 0,
	3x x			2				x				3		3x				4				2x							5		0;				2x 5x						2		2x					3	x				4			x					5			0;
		1.		2								3						4											5							1.					2							3					4								5
	x 2x		2					5x x									4				2x							5		0,					x 2x			2			3x 2x											4				2x						5				0,
		1	2									3					4											5							1			2							3							4										5
3)	2x1. x2 4x3 x4 x5 0,																																	8)	4x1. x2 4x3 5x4 x5 0,
	x 3x								2		2x 3x															4	x					5	0;		2x 3x						2		x 2x										4			3x							5			0;
		1.							2							3										4						5				1.					2					3							4										5
	4x 2x						2			3x 2x														4		2x 0,									3x x			2		2x 2x												4				2x						5				0,
		1					2								3									4								5				1		2							3							4										5
4)	x1. 2x2 4x3 x4 x5 0,																																	9)	3x1. x2 2x3 x4 x5 0,
	2x 3x							2			x 2x											4			3x					5			0;		2x 2x						2		x 4x											4			3x							5		0;
		1.						2					3									4								5						1.					2					3								4										5
	3x 2x					2				3x 2x														4		2x 0,									x 2x								2	2x 5x														4	x							5	0,
		1				2									3									4								5				1							2						3									4								5
5)	x1. x2									2x3 x4 x5																				0,				10) x1.			3x2 x3												3x4 x5																	0,
	2x x			2				x 3x											4				3x						5		0;				x 3x					2			5x 3x												4		3x								5		0;
		1.		2								3							4										5							1.				2							3								4										5

1 2x2 2x3 x4 x5 0,

11)x1. 2x2 x3 3x4 x5 0,x1. 3x2 x3 3x4 3x5 0;2x1 x2 x3 2x4 3x5 0,

12)2x1. x2 x3 x4 3x5 0,x1. 3x2 x3 3x4 3x5 0;2x1 x2 4x3 2x4 2x5 0,

13)4x1. x2 x3 x4 x5 0,2x1. 3x2 x3 x4 3x5 0;2x1 x2 2x3 x4 2x5 0,

14)x1. x2 4x3 5x4 2x5 0,3x1. 2x2 x3 3x4 2x5 0;x1 2x2 3x3 x4 2x5 0,

15)2x1. x2 4x3 x4 x5 0,x1. 3x2 2x3 x4 3x5 0;4x1 2x2 x3 x4 x5 0,

16)4x1. 2x2 4x3 x4 x5 0,2x1. x2 x3 2x4 x5 0;3x1 x2 3x3 x4 2x5 0,

17)5x1. x2 2x3 x4 x5 0,2x1. x2 x3 3x4 3x5 0;x1 2x2 2x3 x4 2x5 0,

18)x1. 2x2 x3 3x4 x5 0,x1. 3x2 x3 4x4 3x5 0;2x1 x2 x3 2x4 x5 0,

19)2x1. 3x2 x3 x4 3x5 0,x1. 3x2 x3 3x4 3x5 0;3x1 2x2 6x3 2x4 4x5 0,

20)2x1. x2 4x3 x4 x5 0,2x1. 3x2 x3 5x4 3x5 0;x

2x1 x2 x3 2x4 3x5 0, 21) 2x1. x2 3x3 x4 x5 0,

x1. 3x2 x3 3x4 4x5 0;

x1 2x2 2x3 2x4 2x5 0, 22) 2x1. x2 4x3 x4 x5 0,

4x1. 3x2 x3 4x4 3x5 0;

2x1 x2 2x3 x4 2x5 0, 23) x1. x2 6x3 x4 2x5 0,

3x1. x2 x3 x4 x5 0;

x1 2x2 3x3 x4 2x5 0, 24) 2x1. x2 4x3 x4 x5 0,

x1. 3x2 5x3 x4 x5 0;

x1 2x2 3x3 2x4 2x5 0, 25) x1. 2x2 4x3 x4 5x5 0,

2x1. x2 3x3 2x4 3x5 0;

3x1 x2 4x3 2x4 2x5 0, 26) x1. x2 2x3 x4 x5 0,

2x1. x2 3x3 x4 3x5 0;

x1 2x2 2x3 x4 x5 0, 27) 2x1. 2x2 x3 x4 x5 0,

x1. 3x2 5x3 3x4 3x5 0;

2x1 x2 x3 2x4 4x5 0, 28) x1. x2 6x3 x4 3x5 0,

x1. 3x2 3x3 x4 x5 0;

5x1 2x2 5x3 x4 4x5 0, 29) 2x1. x2 4x3 x4 x5 0,

3x1. 3x2 x3 4x4 3x5 0;

x1 2x2 2x3 x4 2x5 0, 30) x1. x2 4x3 x4 2x5 0,

2x1. x2 x3 3x4 2x5 0.

Пример 3.6

Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных

x1 x2 x3 x4 2x5 0,

уравнений 2x1. x2 3x3 x4 x5 0,

x1. 3x2 x3 x4 x5 0.

Решение

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных, и преобразуем ее, используя метод Жордана – Гаусса

	1 1		1		1	2	0	4	0 2		1
A	B 2 1		3	1 1 ~ 0				5 1 3			3 ~
A	B 2 1		3	1 1 ~ 0				5 1 3			3 ~


			1	1			1	3	1 1		1
	1 3		1	1		1	1	3	1 1		1
	0	4	0		1	1	0	4	0	2	1
	~ 0	17	1		9 0 ~ 0			17 1		9	0 .
		7	1		3		1	24	0	12	0
	1	7	1		3	0

Исходная система эквивалентна системе уравнений, которую записываем на основе последней матрицы

4x2 2x4 x5 0,17x2 x3 9x4 0,

x1 24x2 12x4 0,

x1, x3, x5 – базисные переменные, x2, x4 – свободные переменные.

Выразив базисные переменные через свободные переменные, получим общее решение однородной системы линейных уравнений

X 24x2 12x4; x2;17x2 9x4; x4; 4x2 2x4 .

Запишем полученное решение в следующем виде

x		24			12
1		24			12
x2		1				0
x	3	17	x	2		9	x	4	.
	3	0		2		1		4
x4		0				1
		4				2
x5

Обозначим свободные переменные x2 и x4, которые могут принимать любые значения соответственно через с1 и с2. Общее решение однородной системы уравнений теперь запишется так

					x			24			12
						1		24			12
					x2			1				0
					x	3		17	с			9	с	2	,
						3		0		1		1		2
					x4			0				1
								4				2
где с1 R, с2 R.					x5
	24			12
		1			0
Столбцы		17	и		9		линейно			независимы, они по определению
		0			1
		4			2
		4			2

представляют набор из двух фундаментальных решений системы уравнений, через которые выражаются все остальные решения системы.

	24	12
	1		0
Ответ:	17	,	9	.
	0		1
	4		2
	4		2

Задача 3.7. Предприятие выпускает три вида изделий с использованием четырех типов сырья. Нормы затрат сырья на каждое изделие определены матрицей затрат А, себестоимость единицы сырья отражена в матрице С. Найти общие затраты на сырье при плане выпуска продукции, указанном в матрице В.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

	2	1	8	1	23	4 ;
1)	A 4	3	2	3 ; B 10 ; C 7 6 2		4 ;
	7	5	0	4	14

	3	1	7	1	20	7 ;
2)	A 2	3	1	3 ; B 13 ; C 7 5 2		7 ;
	7	5	0	4	14

	4	2	8	1	23	4 ;
3)	A 3	2 2 5 ; B 11 ; C 6 6 2				4 ;
	7	5	2	4	15

	2	3	1	1	32	4 ;
4)	A 4	3	7	2 ; B 10 ; C 8 3 2		4 ;
	7	5	8	4	20

	8		1		1	1		25			6 3 4 ;
5) A 4			3	2 5 ; B 9 ; C 8							6 3 4 ;
	2		5		0	6		14

	2		1		4	1		27			2 4 4 ;
6) A 5			3	2 7 ; B 13 ; C 9							2 4 4 ;
	7		5		1	4		6

	8		2		0	4		17				2 ;
7) A 4			1	2 3 ; B 15 ; C 6 7 4								2 ;
	3		5		2	4		13

	2	1		5	1		22		C 2 6		7 4 ;

8) A 1 3				2 3 ; B			11 ;
	6	5		9	4			4

	3		1		8	0		18			5 1 2 ;
9) A 9			7 2 3 ; B 11 ; C 3								5 1 2 ;
	7		5		2	4		10

	1		2		7	1		19			8	3	4 ;
10)	A 4		3		2	3 ;	B 10 ; C 1				8	3	4 ;
	6		5		1	4		10

	3		1		9	1		30		2	1	2	3 ;
11)	A 4		4		2	3 ;	B 10 ; C			2	1	2	3 ;
	6		5		2	4		20

	2		2		8	3		13		7	6	8	4 ;
12)	A 0		3		1	3 ;	B 24 ; C			7	6	8	4 ;
	7		6		5	4		14

	2		1		9	1		16			9	6	4 ;
13)	A 4		2		2	4 ;	B 21 ; C 3				9	6	4 ;
	9		5		0	3		15

	2		1		7	1		15		8	2	1	9 ;
14)	A 5		4		2	3 ;	B 25 ; C			8	2	1	9 ;
	7		5		2	0			5

	7		0		8	1		13			7	3	4 ;
15)	A 4		3		2	3 ;	B 23 ; C 6				7	3	4 ;
	6		5		0	2		11

Предприятие выпускает три вида изделий с использованием четырех типов сырья. Нормы затрат сырья на каждое изделие определены матрицей затрат А, стоимость доставки единицы сырья каждого типа отражена в матрице D. Найти общие затраты на транспортировку сырья при плане выпуска продукции, указанном в матрице В.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx

1)	4		2 1				;	3)	5		4	4	;	5)	4		5	2
		1	3 1							2 1		2				5	7	3	;
		1	2		2					2 0		3				6	9	4

2)	2		1	0		;		4)	3		2	2	;	6)	1		3		3	;
		1	2	0						2	1	2				2	6		13
		1	1	1						2	2	3				1	4		8

1)	4		2 1				;	3)	5		4	4	;	5)	4		5	2
		1	3 1							2 1		2				5	7	3	;
		1	2		2					2 0		3				6	9	4

2)	2		1	0		;		4)	3		2	2	;	6)	1		3		3	;
		1	2	0						2	1	2				2	6		13
		1	1	1						2	2	3				1	4		8

1)	4		2 1				;	3)	5		4	4	;	5)	4		5	2
		1	3 1							2 1		2				5	7	3	;
		1	2		2					2 0		3				6	9	4

2)	2		1	0		;		4)	3		2	2	;	6)	1		3		3	;
		1	2	0						2	1	2				2	6		13
		1	1	1						2	2	3				1	4		8