Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1 ая методичка МАТАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

2.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

cos CA,CB				1	5 7 5					3	,
cos CA,CB											,
				5 2 5		2			5			3
таким образом, cos ABC		5	, cos BAC				5	, cos ACB				3	.
таким образом, cos ABC	5		, cos BAC			5		, cos ACB					.
	5					5					5

Поскольку значения косинусов всех найденных углов положительны, то тре-

угольник ABC является остроугольным.
Ответ:		треугольник		ABC		остроугольный, cos ABC	5	,
Ответ:		треугольник		ABC		остроугольный, cos ABC		,
				3		5
cos BAC		5	, cos ACB	3	.
cos BAC	5		, cos ACB		.
	5			5

е) Длины сторон треугольника уже были найдены в предыдущем пункте как длины соответствующих векторов, т.е.

AB AB 210, AC AC 52, BC BC 52.

Стороны AC и BC треугольника ABC равны, значит треугольник является равнобедренным с основанием AB.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, AB 210,

AC BC 5	2.	– центр тяжести треугольника ABC,
ж) Пусть	M							тогда координаты
xM ;yM точки M можно найти, по формулам (5.6)
	xM		xA xB xC	, yM		yA yB yC	,	(5.6)

		3			3

где xA; yA , xB; yB и xC;yC – координаты соответственно точек A, B и C,

следовательно,	4 2 3	5		3 1 4		5
xM			, yM
					0	M		;0	.
	3	3		3			3

Пусть R – ортоцентр треугольника ABC. Найдем координаты точки R как координаты точки пересечения высот треугольника. Уравнение высоты CH было найдено в пункте б). Найдем уравнение высоты AH1:

BС 5; 5 AH1, A 4;3 AH1,

AH1 : 5 x 4 5 y 3 0, x y 1 0.

Поскольку R CH AH1, то решение системы

x y 1 0,

3x y 5 0

является координатами точки R, откуда находим R 1,5;0,5 .

5				3		1		ABC
Ответ: M		;0	– центр тяжести, R		;		– ортоцентр треугольника
	3			2		2

(рис. 9).		y
з) Расстояние d1 от точки пересечения се-		y	A
з) Расстояние d1 от точки пересечения се-			A
рединных перпендикуляров треугольника		3	H
ABC до каждой из его вершин одинаково, т.к.	B
точка пересечения серединных перпендикуля-	B	1	R
точка пересечения серединных перпендикуля-		1	R
ров – центр окружности описанной около дан-	–2	0	x
ного треугольника, а d1 – радиус этой окруж-	–2	0	M 3 4
ного треугольника, а d1 – радиус этой окруж-		H1

ности, тогда

d1	R	abc	,	(5.7)
		4S ABC
				ABC; a,
где S ABC – площадь треугольника

b, c – длины его сторон.

Найдем площадь треугольника, используя формулы (5.8)

Рис. 9

S ABC	1	AB CH , CH C, AB	axC byC c			,	(5.8)

	2			a2	b2

		– уравнение прямой AB, xC; yC
где ax by c 0		– уравнение прямой AB, xC; yC			– координаты точки C,

сC, AB – расстояние от точки C до прямой AB.

Впредыдущих пунктах было найдено

AB: x 3y 5 0, C(3; 4), AB 210, AC 52, BC 52 .

Подставив эти данные в формулы (5.8), получим

CH	3 3 4 5		20		, S ABC	1			20
	3 3 4 5		20			1	2	10	20		20,

						2
		12 3 2		10		2				10

Следовательно, по формуле (5.7)

d	2 10 5 2 5 2		5 10	.

1	4 20	4

Расстояние d2от точки пересечения биссектрис треугольника ABC до каж-

дой из его стороны одинаково, т.к. точка пересечения биссектрис – центр окружности вписанной в данный треугольник, а d2 – радиус этой окружности, тогда

d2 r	2S ABC	,	(5.9)

	a b c

где S ABC – площадь треугольника ABC; a, b, c – длины его сторон.

Все данные для вычислений найдены выше, следовательно, по формуле (5.9)

d		2					2 20					20			2 10	.
																.
					2 10 5 2 5 2						10 5 2			1 5
					2 10 5 2 5 2						10 5 2			1 5
Ответ: d	5			10		– расстояние от точки пересечения серединных перпенди-
Ответ: d						– расстояние от точки пересечения серединных перпенди-
1			4
			4							2
куляров треугольника до его вершин, d								2		2		10	– расстояние от точки пересе-
куляров треугольника до его вершин, d													– расстояние от точки пересе-
									1			5

чения биссектрис треугольника до его сторон.

Задача 5.2. Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некторой продукции составляют F руб. в месяц, переменные издержки – V0 руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет R0 руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

F 10000,

V0 35,

R0 50;

16)

F 2000,

V0 5,

R0 10;

F 4000,

15;

17)

F 15000,

50,

60;

F 12000,

V0 30,

R0 55;

18)

F 18000,

70,

90;

F 7000,

20,

R0 30;

19)

F 9000,

V0 30,

R0 55;

F 1000,

V0 5,

15;

20)

F 9500,

V0 25,

R0 35;

F 11500,

V0 45,

R0 55;

21)

F 6000,

V0 15,

R0 25;

F 3000,

10;

22)

F 18500,

65,

75;

F 7500,

30,

R0 45;

23)

F 8500,

V0 25,

R0 40;

F 16000,

V0 50,

R0 65;

24)

F 2500,

V0 15,

R0 20;

10)

F 13000,

V0 40,

R0 50;

25)

F 8000,

V0 30,

R0 45;

11)

F 11000,

V0 30,

R0 45;

26)

F 19500,

65,

85;

12)

F 13500,

V0 25,

R0 30;

27)

F 5000,

V0 15,

R0 25;

13)

F 4000,

V0 10,

R0 20;

28)

F 14000,

V0 45,

R0 50;

14)

F 6500,

V0 20,

R0 25;

29)

F 19000,

V0 70,

R0 75;

15)

F 10500,

V0 40,

R0 60;

30)

F 1500,

V0 5,

R0 25.

Пример 5.2

Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют F 1500 руб. в месяц, переменные издержки – V0 12

руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет R0 22 руб. за

единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные издержки на производстве при выпуске q единиц некоторой продукции

C q F V0q

C q 1500 12q.

Если будет продано q единиц продукции, то совокупный доход составит

R q R0q

R q 22q.

Исходя из полученных функций совокупного дохода и совокупных издержек,

найдем функцию прибыли

P q R q C q ,

P q 22q 1500 12q , P q 10q 1500.

Точка безубыточности – точка, в которой прибыль равна нулю, или точка, в которой совокупные издержки равны совокупному доходу

С q R q

1500 12q 22q,

откуда находим

q 150 – точка безубыточности.

Для построения графика (рис. 10) функции прибыли найдем еще одну точку

q 300, P(300) 1500.

Ответ: функция прибыли P q 10q 1500, точка безубыточности q 150.

150 P(q)=10q–1500

0 150 300

Рис. 10

Задача 5.3. Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно определяются уравнениями p=pD(q), p=pS(q), где p – цена на товар, q – количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке pС, а предложение – только ценой pS, получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия после введения налога, равного t. Определить увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж;

в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на q0 ед. относительно изначального (определенного в пункте а));

г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного N%;

д) определить, сколько денег будет израсходовано правительством на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной p0.

К каждому пункту решения сделать рисунок в системе координат. На рисунке обозначить соответствующие пункту задачи линии и точки.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

pD 2q 10,

pS q 4,

t 2,

q0 2,

N 10,

p0 8;

pD 3q 13,

pS q 1,

t 3,

q0 1,

N 25,

p0 9;

pD q 7,

pS q 1,

t 1,

2, N

15, p0

pD 2q 12,

pS 2q 4,

t 2,

q0 3,

N 20,

p0 10;

pD 3q 17,

pS 2q 2,

t 3,

q0 1,

N 25,

p0 8;

pD 3q 9,

pS 2q 4,

t 1,

q0 1,

N 15,

p0 7;

pD 2q 10,

pS q 1,

t 1,

q0 1,

N 10,

p0 8;

pD q 15,

pS 2q 3,

t 2,

q0 7,

N 5,

p0 5;

pD 2q 12,

pS 3q 2,

t 3,

q0 2,

N 20,

p0 3;

10)

pD 3q 18,

pS 2q 3,

t 1,

q0 2,

N 15,

p0 7;

11)

pD q 13,

pS 4q 3,

t 1,

q0 6,

N 30,

p0 9;

12)

pD q 15,

pS 2q 6,

t 1,

q0 3,

N 20,

p0 5;

13)

pD q 12,

pS q 8,

t 2,

q0 5,

N 5,

p0 6;

14)

pD 3q 18,

pS q 2,

t 3,

q0 1,

N 10,

p0 9;

15)

pD q 6,

pS q 2,

t 2,

q0 2,

N 15,

p0 5;

16)

pD q 7,

pS 2q 1,

t 1,

q0 2,

N 20,

p0 7;

17)

pD 4q 17,

pS q 2,

t 3,

q0 1,

N 15,

p0 6;

18)

pD q 8,

pS 2q 2,

t 1,

q0 1,

N 30,

p0 4;

19)

pD 2q 17,

pS 2q 1,

t 3,

q0 3,

N 5,

p0 8;

20)	pD 4q 20,	pS 4q 4,			t 3,		q0 2,	N 15,		p0 3;
21)	pD q 10,	pS 3q 2,			t 2,		q0 5,	N 10,		p0 7;
22)	pD 2q 19,	pS q 1,			t 4,		q0 2,	N 30,		p0 10;
23)	pD q 13,	pS 3q 1,			t 1,		q0 6,	N 10,		p0 6;
24)	pD q 14,	pS 2q 5,			t 3,		q0 6,	N 25,		p0 5;
25)	pD q 15,	pS 3q 7,			t 2,		q0 5,	N 5,	p0 4;
26)	pD 2q 19,	pS 3q 4,			t 3,		q0 3,	N 25,		p0 5;
27)	pD 2q 18,	pS q 6,			t 4,		q0 2,	N 5,		p0 6;
28)	pD q 9,	pS q 1,	t 1,			q0	3, N	10, p0		7;
29)	pD q 9,	pS 2q 3,		t 2,		q0 4,		N 25,		p0 3;
30)	pD 2q 11,	pS q 2,			t 3,		q0 1,	N 30,		p0 4.
	Пример 5.3
	Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно опре-
деляются уравнениями pD 2q 9,						pS q 3,		где p – цена на товар, q –

количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке pС, а предложение – только ценой pS, получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия после введения налога t 1. Определить увеличение

цены и уменьшение равновесного объема продаж;

в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на q0 2 ед. относительно изначального (определенного в пункте а));

г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного N 15%;

д) определить, сколько денег будет израсходовано правительством на скупку излишка при установлении минимальной цены, p0 6.

Решение

а) Находим точку рыночного равновесия из условия pD pS (рис. 11):

2q 9 q 3,3q 6, q 2; p 5.

Ответ: M 2;5 – точка рыночного равновесия.

б) Если введен налог t 1, то система уравнений для определения точки равновесия примет вид

D: pC 2q 9,

S : pS q 3,

pC pS 1.

Используя соотношение между ценой на рынке pC и ценой pS , получаемой

поставщиками, имеем следующие выражения для определения точки рыночного равновесия

2q 9 q 4,

pC q 4.

Откуда находим новую точку рыночного равновесия

										5			17
												;			(рис. 12).

										M	3
											3			3
		Следовательно,				после		введения					налога равновесная цена увеличилась на
	17	5	2	ден. ед.,		а равновесный объем уменьшился на 2											5			1	ед.
3		5		ден. ед.,		а равновесный объем уменьшился на 2															ед.
3		3		5		17										3			3
				5		17
		Ответ:			;		– точка равновесия после введения налога t 1,																равно-

				M		3
				3		3			2													1
весная цена увеличилась на									2	ден. ед., равновесный объем уменьшился на												1		ед.
весная цена увеличилась на									3	ден. ед., равновесный объем уменьшился на														ед.
									3													3
						p										17/3		p M ’
					5		M									17/3
					5
																t
						0	2			q						0			5/3				q
				S		0	2								S’	0			5/3
				S						D					S’	S					D
										D						S					D

Рис. 11

Рис. 12

в) Если предоставляется субсидия, то система для определения точки равновесия имеет вид

D: pC 2q 9,

S : pS q 3, pC pS s.

Новый объем продаж равен 2 2 4 единицы, подставляем q 4 в систему, находим

pC 1;

pS 7;

s 7 1 6.

Ответ: субсидия, которая приведет к увеличению объема продаж на 2 ед. относительно изначального, должна быть равна 6 ден. ед. (рис. 13).

г) Если налог составляет 15%, то вся рыночная цена составляет 115%, из них 100% получают поставщики товара, 15% – государство. Итак, поставщики получают

p	S		100	p	C		20	p	C	.

		115				23

Таким образом, система для определения новой точки рыночного равновесия

имеет вид

2q 9,

q 3.

Решая эту систему, находим новую точку рыночного равновесия

37 115

;

при этом доход правительства R будет равен

37 115

185

147

На рис. 14 доход правительства соответствует площади заштрихованного пря-

моугольника.

37 115

– точка равновесия, R 1

;

ден. ед. – доход прави-

Ответ: M

21 21

147

тельства при введении налога, пропорционального цене и равного 15%.

115/21

p M ”

s 1

S’

0 37/21

S’

Рис. 13

Рис. 14

д) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложения можно найти объемы спроса и предложения, соответствующие данной цене. Если минимальная цена выше равновесной цены, то объем предложения превышает объем спроса, тогда разницу между ними скупает правительство.

При p0 6 находим

qD p0 9 6 9 1,5 2 2

qS p0 3 6 3 3.

Таким образом, затраты правительства составят

qS qD p0 3 1,5 6 9.

На рис. 15 затраты правительства соответствуют площади заштрихованного прямоугольника.

Ответ: правительством будет израсходовано 9 ден. ед. на скупку излишка при установлении минимальной цены, равной 6.

p 0 p

S02

Рис. 15

Задача 5.4. Даны четыре точки A, B, С, D. Необходимо а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD;

б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:


1)	A(5; 2; 7),		B(7; 6; 9),				C( 7; 6;3),			D(1; 5; 2);
2)	A( 2; 5; 1),				B( 6; 7;9),			C(4; 5;1),		D(2;1; 4);
3)	A( 6; 3; 5),				B(5;1;7),		C(3;5; 1),		D(4; 2;9);
4)	A(7; 4; 2),		B( 5;3; 9),				C(1; 5;3),		D(7; 9;1);
5)	A( 8; 2; 7),		B(3; 5;9),				C(2; 4; 6),		D(4;6; 5);
6)	A(4;3;1),		B(2;7;5), C( 4; 2; 4),						D(2; 3; 5);
7)	A( 9; 7; 4),			B( 4;3; 1),				C(5; 4; 2),		D(3; 4; 4);
8)	A(3;5;3),		B( 3; 2;8),			C( 3; 2;6),			D(7;8; 2);
9)	A(4; 2;3),		B( 5; 4; 2),				C(5; 7; 4),			D(6; 4; 7);
10)		A( 4; 2;	3),		B(2;5;7),			C(6;3; 1),		D(6; 4;1);
11)		A(3; 4;5),	B(1; 2;3),			C( 2; 3;6),			D(3; 6; 3);
12)		A( 7; 5;6),			B( 2;5; 3),			C(3; 2; 4),		D(1; 2; 2);
13)		A(1;3;1),	B( 1; 4;6),			C( 2; 3; 4),			D(3; 4; 4);
14)		A(2; 4;1),	B( 3; 2; 4),				C(3;5; 2),		D(4; 2; 3);

15)	A( 5; 3; 4),		B(1; 4;6),		C(3; 2; 2),		D(8; 2; 4);
16)	A(3; 4; 2),	B( 2;3; 5),			C(4; 3; 6),		D(6; 5;3);
17)	A( 4;6;3),	B(3; 5;1),		C(2;6; 4),			D(2; 4; 5);
18)	A(7;5;8),	B( 4; 5;3),			C(2; 3;5),		D(5;1; 4);
19)	A(3; 2;6),	B( 6; 2;3),			C(1;1; 4),		D(4;6; 7);
20)	A( 5; 4; 3),		B(7;3; 1),			C(6; 2; 0),		D(3; 2; 7);
21)	A(3; 5; 2),		B( 4; 2;3),		C(1;5;7),		D( 2; 4;5);
22)	A(7; 4;9),	B(1; 2; 3),			C( 5; 3;0),		D(1; 3; 4);
23)	A( 4; 7; 3),		B( 4; 5;7),			C(2; 3;3),		D(3; 2;1);
24)	A( 4; 5; 3),		B(3;1; 2),		C(5; 7; 6),		D(6; 1;5);
25)	A(5; 2; 4),	B( 3;5; 7),			C(1; 5;8),		D(9; 3;5);
26)	A( 6; 4;5),	B(5; 7;3),			C(4; 2; 8),		D(2;8; 3);
27)	A(5;3;6), B( 3; 4; 4),				C(5; 6;8),		D(4;0; 3);
28)	A(5; 4; 4),	B( 4; 6;5),			C(3; 2; 7),			D(6; 2; 9);
29)	A( 7; 6; 5),		B(5;1; 3),			C(8; 4;0),		D(3; 4; 7);
30)	A(7; 1; 2),		B(1; 7;8),		C(3; 7;9), D( 3; 5; 2).
	Пример 5.4
	Даны четыре точки A( 6; 2; 5), B( 1;1; 0), C(3;0; 1),								D(1; 2; 2).

Необходимо а) написать уравнения плоскостей ABC и ВCD; б) написать уравнения прямых BC и AD;

в) найти расстояние от точки А до плоскости ВCD.

Решение

а) Для плоскостей, уравнения которых необходимо написать, известны координаты точек, принадлежащих этим плоскостям, значит, для составления уравнений воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки

		x x1	y y1	z z1
		x2 x1	y2 y1	z2 z1	0,	(5.10)
где x1;y1;z1 ,	x2;y2	x3 x1	y3 y1	z3 z1
где x1;y1;z1 ,	x2;y2	;z2 , x3; y3;z3 – координаты точек, принадлежащих ис-

комой плоскости.

Подставляя координаты соответствующих каждой плоскости точек в формулу (5.10), получаем

ABC :	x 6	y 2	z 5	0, BCD:	x 1	y 1	z 0
ABC :	1 6	1 2	0 5	0, BCD:	3 1	0 1	1 0	0.
	3 6	0 2	1 5		1 1	2 1	2 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.09.20191.69 Mб32073686_6F284_shpargalki_derevyannye_konstrukcii...doc
#
09.05.20151.14 Mб11109 - Задания по Excel.pdf
#
17.09.20192.6 Mб7209-02-2012_12_28_Logistika._Star_vordUchebnoe_p...doc
#
14.08.2019134.14 Кб509.курсовые работы-2.doc
#
08.05.201521.37 Кб10090104 - Вопросы.docx
#
09.05.20152.2 Mб211 ая методичка МАТАН.pdf
#
08.05.2015902.66 Кб351 Витамины водо.doc
#
16.03.2016232.96 Кб241 Грамматика в таблицах.doc
#
08.05.2015420.86 Кб151 задание РГР.doc
#
16.03.2016859.65 Кб231 лабы информатика.doc
#
20.11.201951.64 Кб41 Обязательства вследствие причинения вреда.docx