RGR_3semestr_Ekonomisty

т.е. становится уравнением относительно функции p p y . Очевидно, что p 0 является решением этого уравнения. Возвращаясь к исходным перемен-

ным, получим

y 0, y C.

Пусть p 0, тогда уравнение ypp p2 0 можно записать в виде

yp p 0

– уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

y C1y,

решением которого является функция

y eC1x C2 .

Окончательно общее решение исходного уравнения имеет вид y C или y eC1x C2 .

y 0 1, y 0 2, находим в каждом случае

C 1

1 eC1 0 C2 ,2 C1eC1 0 C2 ,

C2 0, C1 2.

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

y e2x, y 1.

Ответ: y e2x, y 1.

Решение

Составим характеристическое уравнение

2 4 4 0

и найдем его корни

50

2 2 0,

1 2, 2 2.

Поскольку корни характеристического уравнения действительные и совпавшие, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

y C1e 2x C2xe 2x.

Найдем производную полученного решения

y 2C1e 2x C2e 2x 2C2xe 2x .

Подставим начальные условия в два последних равенства

1 C1e 2 0 C2 0 e 2 0,

1 2C1e 2 0 C2e 2 0 2C2 0 e 2 0

и определим значения констант

C1 1, C2 1.

Таким образом, решение задачи Коши исходного уравнения

y e 2x xe 2x

Ответ: y e 2x xe 2x .

Задача 3.3. Найти общее решение дифференциальных уравнений высших порядков.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

51

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

Пример 3.3

Найти общее решение дифференциальных уравнений высших порядков.

а) y 4y 6y 4y 0.

Решение

Характеристическое уравнение

3 4 2 6 4 0

Подбором определяем 1 2 и раскладываем на множители левую часть уравнения

3 2 2 2 2 6 4 2 2 2 2 3 2

2 2 2 2 1 2 2 2 2 .

Приравниваем к нулю второй множитель и находим

2 1 i, 3 1 i.

Вданном случае характеристическое уравнение имеет один действительный корень и два комплексных, поэтому искомое общее решение данного дифференциального уравнения есть

y C1e2x ex C2 cosx C3 sin x . Ответ: y C1e2x ex C2 cosx C3 sin x .

52

б) y 4y 3sin2x.

Решение

Общее решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами равно сумме соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного однородного уравнения:

Найдем решение однородного уравнения

y 4y 0.

Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни

2 4 0,

1 2i, 2 2i.

Таким образом, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения примет вид

yo C1sin2x C2 cos2x.

Частное решение будем искать в виде, соответствующем правой части исходного уравнения

y xk Acos2x Bsin2x ,

где k – кратность числа i как корня характеристического многочлена решаемого уравнения, и – действительные числа, определяемые в соответствии с правой частью исходного уравнения.

i 0 2i 2i

–корень характеристического многочлена кратности k 1. Итак, общий вид частного решения

y x Acos2x Bsin2x

или

y Axcos2x Bxsin2x.

Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Найдем производную второго порядка от y

y Acos2x 2Axsin2x Bsin2x 2Bxcos2x

A 2Bx cos2x B 2Ax sin2x

y 2Bcos2x 2A 4Bx sin2x 2Asin2x 2B 4Ax cos2x

Подставляем функции y и y в исходное уравнение

4B 4Ax cos2x 4A 4Bx sin2x 4Axcos2x 4Bxsin2x 3sin2x.

Приводим подобные слагаемые

4Bcos2x 4Asin2x 3sin2x.

Полученное равенство выполняется при всех x, если

53

Тогда искомое частное решение

54

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие для вузов / Г.Н. Берман. – СПб.: Издательство «Лань», 2000. – 448 с.

2.Высшая математика для экономистов: учебник для вузов по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 470 с.

3.Данко, П.Е., Попов, А.Г., Кожевникова, Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: «Издательство Мир и Образование», 2005. – 416 с.

4.Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов: учебное пособие / А.Н. Колесников. – М.: ИНФРА-М, 1997. – 208 с.

5.Красс, М.С., Чупрынов, Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – 5-е изд., испр. и

доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 720 с.

6.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Задачи и упражнения / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 288 с.

7.Малугин, В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций / В.А. Малугин. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.

8. Малыхин, В.И. Математика в экономике: учебное пособие / В.И. Малыхин. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 351 с.

9.Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / под общ. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007. – 656 с.

10.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Айрис–пресс, 2004. – 602 с.

11.Практикум по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 422 с.

12.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие / под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 575 с.

13.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие. В 3 ч. Ч.2 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высшая школа., 1990. – 352 с.

14.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие. В 3 ч. Ч.3 / А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Высшая школа., 1991. – 288 с.

55

Приложение 1

Южно-Уральский государственный университет

Факультет Математики, механики и компьютерных наук Кафедра ______________________________________________

Расчетно-графическая работа № 3 (Часть ____ ) по дисциплине «Математика»

Выполнил(а): студент(ка) гр. _____________

группа

_______________________________________

ФИО

Вариант № _____________________________

Проверил(а):____________________________

Должность

_______________________________________

ФИО

Регистрационные данные: Дата_______ Дата_______ Дата_______

Подпись _____ Подпись _____ Подпись _____

Челябинск 20____

56

Приложение 2

Результаты проверки расчетно-графической работы студента(ки) гр. ___________

ФИО____________________________________________

57

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………..………… 3

Раздел I. Интегральное исчисление функции одной переменной……………. .. 5

Раздел II. Дифференциальные уравнения первого порядка……….………..…… 28

Раздел III. Дифференциальные уравнения высших порядков………………….. 45

Библиографический список……………………………………………………….. 55

Приложения…...……………………………………………………………………. 56

58