Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RGR_3semestr_Ekonomisty

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.05.2015

Размер:

794.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

ln x		lnx t,
ln x
	dx	lnx dx dt,			tdt,
x	dx	lnx dx dt,			tdt,
x			dx	dt
			dx

			x

таким образом, полученный интеграл – табличный, вычислим его и осуществим обратную замену

tdt t2 C ln2 x C.

2 2

Возвращаясь к выражению (*), вычислим первый интеграл, а вместо второго подставим его значение

3 x

ln x

dx x

ln2 x

C 33

ln x

lnx

Ответ: 33

в) sin2xsin3xdx.

Решение

Под знаком интеграла произведение синусов. Преобразуем произведение в сумму с помощью формулы (1.1)

					sin sin				1		cos cos .											(1.1)
					sin sin						cos cos .											(1.1)
							2							1
					sin2xsin3xdx									1		cos x cos 5x dx.
					sin2xsin3xdx									2		cos x cos 5x dx.
	Распишем последний интеграл на сумму интегралов и вычислим их как таб-
личные, учитывая cos x cos( x) и формулу (1.2)
							f kx b dx						1		F kx b C							(1.2)
							f kx b dx								F kx b C							(1.2)
													k
	1	cos x cos 5x dx								1		sin x			1			1	sin5x C	1	sinx		1	sin5x C.
	2	cos x cos 5x dx										sin x							sin5x C	2	sinx	10		sin5x C.
	2			1		1	2							2			5			2		10
	Ответ:			1	sinx	1		sin5x C.
	Ответ:			2	sinx			sin5x C.
				2	10
			2x5 x3 3x 4
	г)		x2 1 x 1					dx.

Решение

Степень числителя подынтегральной функции больше степени знаменателя, поэтому необходимо выделить целую часть, путем деления столбиком числителя на знаменатель, предварительно раскрыв скобки в знаменателе.

2x5 0x4 x3 0x2 3x 4		x3 x2 x 1
2x5 2x4 2x3 2x2		2x2 2x 1
2x4 x3 2x2	3x 4

2x4 2x3 2x2 2x

x3 0x2 5x 4

x3 x2 x 1

x2 4x 3

Согласно проведенному делению, получим


2x5 x3 3x 4	2x2		2x 1	x2 4x 3
x2 1 x 1	2x2		2x 1	x2 1 x 1	.	(**)
Поскольку знаменатель дроби		x2 4x 3		разложен на множители, то ее
Поскольку знаменатель дроби		x2	1 x 1	разложен на множители, то ее
		x2	1 x 1

можно разложить на сумму простейших дробей, т.е.

x2 4x 3	Ax B C
x2 1 x 1			.	(***)
	x2 1	x 1

Найдем коэффициенты A, B и C методом неопределенных коэффициентов. Приведем дроби справа от знака равенства к общему знаменателю

x2 4x 3		Ax B x 1 C x2 1		.

x2	1 x 1	x2	1 x 1

Дроби равны, их знаменатели также равны, значит, должны быть равны и их числители. Выпишем числители, раскрыв все скобки

x2 4x 3 Ax2 Bx Ax B Cx2 C.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

x2 : 1 A C, x1 : 4 B A, x0 : 3 B C.

Решив данную систему, получим

A 0, B 4, C 1.

Подставим в выражение (***) найденные значения A, B и C

x2 4x 3	4		1
x2 1 x 1					,
		x2 1		x 1

исходя из этого, выражение (**) можно записать в виде

2x5 x3 3x 4

2x2

x2 1 x 1

2x 1

x2 1

x 1

Возвращаясь к исходному интегралу, получим

2x5 x3 3x 4

2x2 2x 1

x2 1 x 1

x2 1

x 1

x 4arctgx ln

x 1

2x3

Ответ:

x2 x 4arctgx ln

x 1

д) 1 x 1dx. x x 1

Решение

Для нахождения данного интеграла воспользуемся методом замены перемен-

ной, заменим на новую переменную корень, выразим x и найдем dx

x 1

1 t2

4tdt

t2dt

1 t2 1 t2

x 1

1 t2

4tdt

1 t2 2

Выпишем подынтегральное выражение и разложим дробь на простейшие аналогично рассмотренному выше примеру

t	2	At B		C	D
						.
1 t2 1 t 1 t		1 t2	1 t
					1 t

Найдем коэффициенты A, B, C и D.

t2 At B 1 t2 C 1 t 1 t2 D 1 t 1 t2 ,

раскрыв скобки, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

t3 : 0 A C D, t2 : 1 B C D, t1 : 0 A C D, t0 : 0 B C D,

откуда,

A 0, B 1, C 1, D 1.

2 4 4

Тогда,

1 t2 1 t 1 t

1 t2

1 t

Искомый интеграл распишем на сумму интегралов

t2dt

1 t

1 t2

1 t

2arctgt ln

1 t

C 2arctgt ln

1 t2

выполнив обратную замену, получим

x 1

dx 2arctg

x 1

2arctg

x 1

C 2arctg

x 1

Ответ: 2arctg

x 1

е) lnxxdx.

Решение

Подобного типа интегралы вычисляются методом интегрирования по частям

udv uv vdu.

(1.4)

Согласно формуле, один из множителей под знаком интеграла обозначают за u, остальные за dv, далее находят du и v, затем расписывают по формуле (1.4), вновь получившийся интеграл вычисляют. Таким образом,

u ln x du ln x dx

ln x 2

ln x 4

Ответ: 2xlnx 4x C.

Задача 1.2. Вычислить определенные интегралы.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

2			3
	dx			4	dx		3 3	dx
1) 0		;	2) 0			;	3) 3		;
	16 x2							9 x2

					9 4x2

8					3
8					3				x
4)		2 5							x					dx;
4)		3												dx;
1						x
1

	3		2									dx
5)			2															;



	0						81 9x 2
	3		2										dx
			2			2							dx
6)																	;

								1 2x2
	1							1 2x2
	0		2
	0
					sin2
7)									x							dx;
7)									x							dx;
			4									4
			4
								5x
8)					sin			5x							dx;
8)					sin										dx;
4												4
2	5
2										1
9)	e2x													dx;
9)	e2x													dx;
1											x
			4
			4
10)		tg2x dx;
	0
	3					dx
11)						dx						;
11)				x2 1								;
	2			x2 1
	2

4dx

12)0 1 cosx;

												dx							12				sin x
	3											dx							12				sin x
13)																	;	22)									dx;
13)					sin2 x sin4 x												;	22)								3	dx;
	6																		1				cos x
	6																		1				cos x
																									2
	3
									2 dx										2
									2 dx										2
14)													;										dx
14)						9 2x2							;					23)					dx	;
		2				9 2x2												23)			4 x2			;
																			0		4 x2
	6																		1
15)	sin5xcos7x dx;																	24)	e x tg2x dx;
	0																		0
	2						dx												0
	2						dx												1,5				dx
16)	1											;						25)							;
			9 x2
			9 x2																			9 4x2
																			0

	3						cos2x
	3						cos2x
17)															dx;			26)		sinxsin4x dx;
17)															dx;			26)		sinxsin4x dx;
					cos2 xsin2 x														5
	6																			6
																				2
	10											dx								2
18)												dx				;		27)	ctg2x dx;


	0							2				25x2								3
	5																			3
	5			3							dx								1
19)														;				28)	sin x ex dx;
19)							25 x2							;				28)	sin x ex dx;
	5																		0

	2									2										3			3
20)	cos									2	x dx;									3			3
																		29)	sin					x dx;
																		29)	sin					x dx;
	0																			4			2
	e						e dx													4
21)							e dx							;						4
21)														;						4
	2 e4 e4x2																	30)	sin2 xdx.
																			0

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

e		2 2xlnx				1		exdx
1)					dx;	4)				;		7)	12sin x cosx dx;
1)					dx;	4)				;		7)	12sin x cosx dx;
1			x2			0	1 e2x					5
	3					0,5						9	6
						0,5									dx
						5) x			1 x2 dx;
2) ecos x sinx dx;												8)								;
														1				2
																		2
0						13						4					x
2			2xdx			3			x2dx			9
2			2xdx			3			x2dx			9
3) 1				;		6) 2					;	9) 4		x			x		dx;
			1 4x

														x
									x6 4
									x6 4							x

0,5

10) x41 x2dx;

11) ;

e x1 ln2 x

9dx

12) ;

4 xcos2 x

	0				4x
13)							dx;


	1	2		1 16x
	e	2

			lnx
14)			lnx			dx;
14)						dx;
	1			x
				sinx dx
	3			sinx dx
15)							;
15)							;
	0	1 cos2 x
	0

2x2

16)dx;

1x6 25

1 ex		ex 1
17)			dx;
17)			dx;
0	ex 3
0

18) ;

e x cos2 lnx

2 exdx

19)1 e2x 1;

			sinx dx
	4		sinx dx
20)						;
20)						;
	0	1 cos2 x
	0
	0			e2x dx
21)					;
21)					;
	0,5		1 e4x
	0,5

4x 1 dx

22);

1 x 1

23)xx2 1dx;

	2			x2dx
24)										;
24)		1 4x						3		;
	1	1 4x
	1
				3			x
25)				3			x					dx;
25)												dx;
		0			cos2 x2
		0
	0				x dx
26)	2										;
26)	2		x2			1 2					;
	5
			6 cos x dx
27)													;
27)													;
				16 sin2 x
		2
	e21
	e21						lnx				dx;
28)
28)						x
	e					x
	1			exdx
29)									;
29)									;
	0	1 e2x
	0

2cosx

30)sin3 xdx.

в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	1				0						3
	2			6)	3 2x e 3xdx;					11) arctg x 1 dx;
1)	arcsinx dx;			6)	3 2x e 3xdx;					11) arctg x 1 dx;
	1			13							2
	3
	e				3						4
	e			7)	x arctg x dx;					12)	x cos2x dx;
2) 3		x	lnx dx;	7)	x arctg x dx;					12)	x cos2x dx;
	1				1						0
	1				3						e3
					3						e3
					0						x3 lnx dx;
	4				0					13)
3)	4			8)	xe	x	dx;			13)
3)	xsin2x dx;			8)	xe		dx;				1
	0			1
	1			3							4
	1			3						14)	x 1 sin2x dx;
	2			9) arctg x 1 dx;						14)	x 1 sin2x dx;
4)	1 x sin x dx;			2							0
	1										0
	1				3			2		15)	2x 3 e xdx;
	1			10)	x tg			2	x dx;	15)	2x 3 e xdx;
5) arcctg x 1 dx;				10)	x tg				x dx;		1
	0				0

					e2
	2			21)	x2 1 lnxdx;
16)	(2x 1)cosx dx;			21)	x2 1 lnxdx;
					1
	3				0
	e4			22)	x 1 e xdx;
	e4			22)	x 1 e xdx;
17)	ln		xdx;		1
	e2
	14			23)	3xsin x dx;
18)	arccos x dx;
18)	arccos x dx;				2
	1				e
	2			24)	x 1 lnx dx;
	1			24)	x 1 lnx dx;
19)	e2x(2x 1) dx;				1
	0				1
	0			25)	xe3xdx;
	1			25)	xe3xdx;
20)	e	xdx;			0
	0

		0
26)		x 1 cos4x dx;

		4
	1
27)	3 x exdx;
	0
	e2
28)	xlnx dx;
	e
	0
29)	3 2x exdx;
	1
	3
30)	x arcctg x dx.
	1

г) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

	2 3x			4 3x2 1															1x3 2x								2 x
1)												dx;							9)											dx;
1)				x x2 1								dx;							9)											dx;
	1			x x2 1															2		x2 3x 2
	1 2x4 4x3 3																			2 3x				4 x2 x
2)															dx;				10)												dx;
2)						x x 1 2									dx;				10)			x2 x 1									dx;
	2					x x 1 2														1		x2 x 1
	0,5							x4 1												3	4x4 8x3 1
3)																		dx;	11)																dx;
3)																		dx;	11)																dx;
	0,5				x 1 x2 1															2	x2 x x 1
	1		x		4	2x			2	2x										4		x	4		1
4)																	dx;		12)			x			1			dx;


	2						x3 x2													2	x3 x2
	0				x		3	x		2										2 x5 4x2 2x																dx;
5)													dx;						13)
																									x	3	x		2
																										3			2
	1 x 2 x 1																			3
	3 4x4 8x3 3																			1				x3 x2									dx;
6)	1													dx;					14)	0
																					x 2 x 1
		x3				2x2				x											x 2 x 1
	2 x3 2x 1																			3	2x5 2x 1
7)											dx;								15)													dx;
			4x				2	1
							2																	1 x4
	1																			2				1 x4
	2 4x4 8x3 2																			4 x3 2x2 x
8)	3															dx;			16)	3														dx;
						x x 1 2
						x x 1 2															2x2 5x 2

	1 x4					x3 1
17)												dx;
17)												dx;
	2		x3 2x2
	1 x5 2x3 x
18)																dx;
18)					x x2 x											dx;
	2				x x2 x
	3	x4					2x 1
19)															dx;
19)															dx;
	2	x 1 x2 1
	1		x4 2x3 1
20)																	dx;
20)				3		3x		2									dx;
	2 x					3x				2x
	2	3x x4 2
21)											dx;
21)			x x						2		dx;
	1		x x				1
	3 x4 x3 2x													dx;
22)
22)					x	3	x		2
	1				x		x
	6 x3 2x2 x												dx;
23)
23)			x		2	x 7
	4		x			x 7

4 3x4 5x3 2x

24)2 x2 x x 1 dx;

	1 2x3				2x 1						1,5		x4 x2				0 2x5 3x2 1
25)	2							dx;		27)	1				dx;	29)	1 2 x 3 x		dx;
25)	2			x2 x				dx;		27)	1		x 2 x 1 x		dx;	29)	1 2 x 3 x		dx;
	4			x5 5							3	x4 3x2 1					2 x3 2x2 x
26)									dx;	28)				dx;		30)	0			dx.
																		x 3 x 1
		x 1 x2 1											x x2 1					x 3 x 1
	2										2
	Пример 1.2
	Вычислить определенные интегралы.
			1		dx
	а)				dx		.
	а)					3	.
				11 5x
			2

Решение

Методы вычисления определенных интегралов аналогичны методам вычисления неопределенных интегралов. При нахождении значения определенного интеграла применяется формула Ньютона – Лейбница

b	b
b	b
f x dx F x	F b F a ,	(1.5)
a	a
a	a

где f x непрерывная на отрезке a;b функция, первообразная которой F x . Преобразовав выражение под знаком интеграла, получим табличный интеграл,

при вычислении которого необходимо применить формулу (1.2)

1	dx		1	3		1 11 5x 4			1

			11 5x dx
	3
2 11 5x			2			5	4		2

		1	11 5 4	1	11 10 4			323
				20
	20						20

Ответ: 323.

	20
2	1
	e		dx
		x
б)				.

1		x2

Решение

При вычислении определенных интегралов методом замены переменной следует обратить внимание на необходимость изменения пределов интегрирования в соответствии с введенной переменной.

Если границы интегрирования были заменены, то не нужно выполнять обратную замену, т.е. согласно формуле (1.5) подставляем границы изменения новой переменной. Таким образом,

dt,

x 2,

Ответ: e e.

1			1		1
2			1		1
2		t	2			1
t	dt e	t	2		2	1	e	e.
e	dt e		1	e		e	e	e.
1			1

в) x cosx dx.

Решение

Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой (1.4) интегрирования по частям

cosx dx	u x du dx,
	dv cosxdx v


	xsin x		2	2

sin x				sin xdx
		0		0


					sin		0 sin0 cosx	2		cos		cos0		1.
					sin		0 sin0 cosx	2		cos		cos0		1.
		2				2		0	2		2		2
Ответ:				1.
Ответ:		2		1.
1 2		2
1 2			x3dx
г)						.
г)	x2	3x 2				.
0	x2	3x 2
0

Решение

Степень числителя подынтегральной функции больше степени знаменателя, поэтому необходимо выделить целую часть

x3		x2 3x 2
x3 3x2 2x		x 3

3x2 2x

3x2 9x 6

7x 6

Следовательно, рациональное выражение под знаком интеграла запишем в следующем виде

x3		7x 6
	x 3		.

x2 3x 2		x2 3x 2

Знаменатель оставшейся дроби раскладывается на множители, поэтому разложим ее на простейшие

7x 6	A	B	A(x 2) B(x 1)
				.
x 1 x 2	x 1	x 2	x 1 x 2

Найдем коэффициенты A и B

x1 : 7 A B, x0 : 6 2A B,

A 1, B 8.

Таким образом, в исходном интеграле подынтегральное выражение запишем в виде суммы целой части и простейших дробей и вычислим интегралы от каждого слагаемого

							1								x3dx								1								1					8
							2								x3dx								2								1					8
																										x 3													dx
													x2 3x 2													x 3					x 1								dx
							0						x2 3x 2										0								x 1					x 2
							0																0														12
																x2


																				3x ln							x 1		8ln					x 2
																		2		3x ln							x 1		8ln					x 2
																																					0
																																					0
										1					3		ln				1	8ln				3		8ln2				13			ln2 8ln							3		.
																	ln					8ln				2		8ln2							ln2 8ln									.
							8							2							2					2					8											4
	Ответ:				13			ln2 8ln											3	.
	Ответ:							ln2 8ln												.
						8												4
	Задача 1.3. Вычислить несобственные интегралы.
	а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
				x2dx																	arctg2xdx																										dx
1)									;									5)												;						9)																		;
1)									;									5)						1 4x2						;						9)																		;
	0		3 x3 8 4																		0			1 4x2														2 4 x2										arctg					x
	0		3 x3 8 4																		0																	2 4 x2										arctg					2
				dx																							16dx
				dx														6)			1						16dx							;
2)	1										;																																			dx
																							4x2 4x 5
			9x2 9x 2																																	10)														;
			9x2 9x 2																																	10)					x2									;
																					2																				x2				2x ln3
				xdx																					x3dx													1
3)				xdx							;							7)												;
			4x	2																																						3x
																																				11)			xe							dx;
																								16x4 1
	0			4x 5																	0			16x4 1
						dx																			x 2 dx													0
4)						dx										;			8)														;					0		x2									x
		1 9x				2	arctg					2																										0


	1													3x							0			3 x2 4x 1 4												12)																dx;
	1													3x							0			3 x2 4x 1 4												12)							3						1 x		2	dx;
	3																																							x					1				1 x

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.2019730.5 Кб3Referat_Umanskaya_Anna.docx
#
29.08.2019186.88 Кб2reglament_2012-chast_S.doc
#
10.09.2019261.63 Кб1reklama.doc
#
19.11.2019160.26 Кб1REShENIE_ZADANIYa.doc
#
17.09.2019192 Кб1rg.doc
#
08.05.2015794.91 Кб9RGR_3semestr_Ekonomisty.pdf
#
09.05.20151.3 Mб22RLE_P2002.pdf
#
08.05.2015353.42 Кб5RPD_zaochka.rtf
#
19.09.20191.2 Mб4RPP_43_52.doc
#
19.09.2019169.98 Кб2RPP_53_61.doc
#
16.03.20161.26 Mб270russkaya_model_effektivnogo_soblazneniya.rtf