RGR_3semestr_Ekonomisty

Решение

Дифференцируем заданную функцию по переменной x, учитывая, что

y y x

y3 Cx3 3xy ,

3y2y 3Cx2 3y 3xy ,

откуда

Cx2 y2 y y xy .

Подставляем выражение для Cx2 из последнего равенства в функцию

y3 Cx3 3xy

y3 x y2y y xy 3xy.

Полученное уравнение равносильно исходному. Действительно,

y3 xy2y xy x2y 3xy, y3 xy2 x2 y 2xy,

xy2 x2 y y3 2xy.

Ответ: функция y3 Cx3 3xy является решением дифференциального уравнения xy2 x2 y y3 2xy.

Задача 2.2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

30

23) xy ln x y 1; 27) y cos(x y) cos(x y);

б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

31

в) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)xy2 x (y x2y)y 0;

2)3x2 y 4xy2 dx x3 4x2 y 12y3 dy 0;

1 x

3)x y dx y y2 dy 0;

4)2xydy x2 y2 dx;

5)ln ydx x dy 0;

y

6) (1 y ) (1 x )y 0; y x2 x y2

7)e ydx 2y xe y dy 0;

8)x2 y2 xdx ydy xdy ydx;

9)x yex y ex y 0;

10)2xcos2 ydx 2y x2 sin2y dy 0;

11)3x2 2y dx 2x 3 dy 0;

13)ydx 2y x dy 0;

14)2xdx 3xy2dx 3x2 ydy;

15)x2 y 4 dx x y ey dy 0;

16)y y 3x2 ;

4y x

17)y sin x dx ln y x dy 0;

18)y sin y dx x xcos y dy 0;

19)xdx 2xy2dx 2ydy 2x2 ydy;

20)cos2 ydx 2y xsin2y dy 0;

21)(x2 2y) (2x y3 ey)y 0;

22)1 dx x dy 0;

yy2

23)ex y sin y dx ey x xcos y dy 0;

32

24)y4 x y y 2x3;

25)1 xx2 y2 dx 1 x2 y2 y dy 0;

26)2xy xey dy x2 y2 ey dx;

27)eydx xey 2y dy 0;

30) 3x2 ydx x3 12y3 dy 0.

Пример 2.2

Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка.

а)x2 2yy 1 1.

Решение

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим обе его части на x2 (x 0, т.к. при подстановке x 0 в уравнение получаем неверное равенство 0 1) и перенесем единицу в правую часть уравнения

Учитывая, что y dy, получаем

dx

2y dy 1 1.

Таким образом, имеем уравнение с разделенными переменными. Вычисляем интегралы каждой части

откуда

33

2y2 x 1 x C, y2 1 x C.

Ответ: y2 1 x C.

x

б) xdy ydx x2 y2dx.

Решение

Перепишем уравнение в следующем виде (x 0)

x

цией по переменным xи y, т.к.

f x, y x 2 y 2 y x2 y2 y f x, y .x x

Вследствие этого, само уравнение – однородное. Для решения однородных дифференциальных уравнений применяется замена

Таким образом, замена позволяет перейти от однородного уравнения к урав-

Выполняя почленное интегрирование последнего равенства, получаем

ln t 1 t2 ln x ln C

t 1 t2 Cx,

34

возвращаемся к исходной переменной

y1 y2 Cx, x x2

откуда после преобразований имеем

в) yxy 1dx xy ln xdy 0.

Решение

Заданное уравнение относится к уравнениям в полных дифференциалах. Здесь

P x, y xy 1 yxy 1 ln x,

y

Q x, y yxy 1 ln x xy 1 yxy 1 ln x xy 1.x x

Значит, существует функция U x,y C такая, что

dU x, y yxy 1dy xy ln x dx.

Вычислим интегралы от функций P x,y и Q x,y по переменным x и y

соответственно

Таким образом, решение исходного уравнения запишется в виде

xy C.

Ответ: xy C.

35

Задача 2.3. Найти решение задачи Коши заданного дифференциального уравнения.

а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

36

Пример 2.3

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения

xy y y2 ln x, y 1 1.

Решение

Запишем исходное уравнение следующим образом (x 0)

y y y2 ln x. x x

Это уравнение Бернулли. Будем искать его решение в виде

y u x v x ,

тогда

y u x v x u x v x .

Перейдем в уравнении к новым переменным

Решение последнего уравнения найдем из системы

x

Первое уравнение системы – уравнение с разделяющимися переменными

v v , dv dx, v 1. x v x x

Подставим значение v во второе уравнение системы и решим его

37

Таким образом, общим интегралом уравнения является функция

Ответ: y 1 .

ln x 1

Задача 2.4. Найти функцию спроса qD q p , если известна эластич-

ность ED и объем продаж q q0 при цене p p0 ден.ед.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

38

Найти функцию предложения qS q p , если известна эластичность ES

и объем продаж q q0 при цене p p0 ден.ед.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 16 по 30:

39