Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RGR_3semestr_Ekonomisty

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.05.2015

Размер:

794.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

													xdx																				3 x2 dx																										dx
13)																				;					19)																	;								25)																;
13)																				;					19)																	;								25)																;
				1						16x4 1																	0								x2 4																0		2x2 2x 1
													dx														0										xdx																		xdx
14)													dx						;						20)												xdx						;							26)											;
										2
										2																																													4
				1					x			x 1																							x2 4 3																0	16x 1
													xdx																								4dx																				dx
15)																						;			21)																			;						27)													;

																			5																																										2
																			5									1					x1 ln2 x																												2
				0				4 16 x2																				1					x1 ln2 x																		e2		x lnx 1
														xdx																																														dx
16)																							;		22)			xsinxdx;																						28)										dx									;
																																																				6x				2


				4							x2 4x 1																0																								1							5x 1 ln0,75
														dx													1												7dx														16xdx
17)																								;	23)																							;		29)			16xdx								;
																																																					2
								x2						4x 5
																																	x2
			1																														x2						4x ln5												1	16x							1
																																																										dx
													xdx																						2					arctg2x
18)																					;				24)																								dx;	30)														.
																																																					x	2		3x 2
									x2 4x 5

			1																								0								1 4x2																3
		б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
	1										dx															1													dx															cos3xdx
		2									dx																3												dx												6			cos3xdx
1)																	;								7)																				;					13)																		;
						2x						1			2
															2
		0																								0				9x2 9x 2																					0	6 1 sin3x 5
	1																									2									xdx																1		xdx
		4							dx																8)										xdx											;					1
2)																;																																		14)									;

																																x				3
																																			2																		4
					3
					3			1 4x																																		ln2
		0						1 4x																		1											1					ln2									01 x
									tg x																		0								dx																2
																											0																								2
		2																																																	3 3 ln 2 3x
3) 0							e							dx;											9)	3																;								15)	0														dx;

																																			4x 3
																																																							2 3x
						cos						2 x																	4																										2 3x
	3																																sinxdx																		1								ln2
		2											dx																				sinxdx																										ln2
																																																			1 1 x ln2 1 x dx;
4)																					;				10)		7														;									16)
																									10)										cos2 x															16)

									3x x2									2
		1							3x x2									2											2																						2
	5								x			2	dx														2												dx												1								dx
5)									x			2	dx						;						11)														dx								;			17)									dx								;
																															5																										2
							31 x3 1																								5																					20x					2
	1						31 x3 1																				1							4x x2 4																	1	20x							9x 1
		1							dx																													2													4	ln 3x 1
		1																									1 2e											2		arcsinx											1
6)	1															;											1 2e													arcsinx
																									12)																								dx;	18)												dx;
					9
									1 2x
																																																						3x 1

																																							1 x2
		2																									0												1 x2												13

	2			x2dx								1						dx							3		dx
19)									;		23)										;			27)							;
														5												3
														5
	0		64 x6									3	4					3 4x							1		3 x 5
	1		x4dx									1	4															1
20)	1		x4dx				;					1		2xdx											13 e3			1
	0										24) 0									;								x
		3 1 x5
																								28)					dx;
																1 x4
																1 x4
	3																										x2
21)	3	3 9xdx						;					0						dx						0		x2
																									3
	0										25)		1									;					dx

		3 9 x2																						29)
																	3															;
																			1 3x

																											x2 6x 9
												4	3												1		x2 6x 9
	2 3sin3 xdx											4						10xdx							1
22)										;	26)														1		dx


					cosx																		;	30)	0					.




	0											0	4		16 x2 3											3	2 4x
	Пример 1.3
	Вычислить несобственные интегралы.
						3dx
	а)					3dx					.
	а)			3x2		6x 5					.
			2	3x2		6x 5
			2

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственный интеграл первого рода).

f x dx

lim f x dx,

(1.6)

где функция f x интегрируема на произвольном отрезке a;B .

Согласно определению (1.6), получаем

3dx

lim

2 6x 5

3x2

6x 5

Вычислим интеграл под знаком предела (выделим в знаменателе полный квадрат), а затем найдем значение предела

		B						3dx							B					dx							B			dx
lim								3dx				lim								dx				lim						dx
lim												lim										5		lim									2
B					3x2			6x 5				B											B							2
B					3x2			6x 5				B											B							2
		2													2	x2 2x												2 x 1
		2													2	x2 2x						3						2 x 1					3
										x 1			B									3				B 1							3
				3					3								3								3
				3					3								3								3

lim						arctg													lim										arctg				3
lim						arctg													lim		arctg								arctg				3
B				2					2								2 B										2
B				2					2					2			2 B										2

3											3 B 1							3										3				6
3			lim								3 B 1							3										3				6

							arctg					2			3							2									12		.
	2 B											2			3			2				2	3				2 6				12

Ответ: .

1	12
		xdx
б)			.


0	1 x2

Решение

Подынтегральная функция не ограничена вблизи точки x 1, поэтому данный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода).

b	f x dx		b
	f x dx	lim		f x dx,	(1.7)
		0
a			a

где функция f x непрерывная, но неограниченная на полуинтервале a;b . Исходя из определения (2.7), получаем

1		xdx		1		xdx
			lim				.

	1 x2
0			0	0	1 x2

Вычислим интеграл под знаком предела методом замены переменной (при этом границы интегрирования также необходимо заменить), а затем найдем значение предела

				1 x2	t,
	1			2xdx dt,							1		2 2				1		2 2
	1												2 2						2 2
lim			xdx	xdx				dt	,			lim		dt				lim 2 t
	0												1

0		1 x2			2						2 0				t		2 0		1
		1 x2			2						2 0				t		2 0		1
				0 x 1 ,
				1 t 2 2
								2 2

			lim			t				lim			2 2			1 1.
			lim			t				lim			2 2			1 1.
				0			1			0
Ответ: 1.

Задача 1.4. Функция предельного дохода некоторого предприятия имеет вид Rпред q R q . Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию

данного предприятия.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

						q								2
	9 q e						;	3)	R q 45 0,02q 0,001q ;
													2
1) R q					9			4)					2
					9
				q2					R q 25 0,3q 0,04q ;
				q2				;			q


2) R q		q		400
		q		400				5)				;
			3							5

6)						11)
6)	R q 30 0,03q;					11)	R q 40 0,04q;
7)				2		12)				2
7)	R q 25 0,4q 0,06q ;					12)	R q 55 0,05q 0,002q ;
			q					q2
								q2
	R q 7 q e 7 ;
8)						13)		;
8)						13)	R q	;
9)					2			q3 1600
					2
	R q 45 0,04q 0,003q ;					14)			2
									2
		q2					R q 30 0,2q 0,05q ;
		q2					R q 20 0,02q.

		;				15)
10) R q		;				15)
		q3 900

Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид Спред q С q . Найти функцию издержек, если фиксированные издержки

составляют F ден. ед. в месяц, и определить издержки производства K из-

делий в месяц.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 16 по 30:

16)		F 2500,	K 250;
	C q 50 0,02q,
17)		2	F 200,	K 250;
	C q 60 0,04q 0,003q ,
18)		F 1800,	K 150;
	C q 60 0,04q,
19)		F 2000,	K 230;
	C q 60 0,03q,
20)		2	F 250,	K 200;
	C q 75 0,03q 0,001q ,
21)		F 2000,	K 150;
	C q 50 0,05q,
22)		F 3500,	K 300;
	C q 80 0,05q,
23)		2	F 300,	K 150;
	C q 65 0,04q 0,002q ,
24)		F 2500,	K 250;
	C q 90 0,06q,
25)		F 1500,	K 150;
	C q 65 0,02q,
26)		2	F 250,	K 200;
	C q 70 0,02q 0,002q ,
27)		F 2000,	K 350;
	C q 75 0,02q,
28)		F 3000,	K 350;
	C q 70 0,04q,
29)		2	F 150,	K 100;
	C q 80 0,03q 0,002q ,
30)		F 3000,	K 400.
	C q 95 0,08q,

Пример 1.4

Задана функция предельного дохода R q 20 0,04q. Найти функцию

дохода и закон спроса на продукцию.

Решение

Известно, что функция предельного дохода является производной функции дохода, следовательно, для нахождения уравнения функции дохода следует вы-

числить интеграл от выражения, определяющего предельную функцию дохода, т.е.

R q R q dq 20 0,04q dq 20q 0,02q2 C.

Найдем константу C из условия, что при производстве нуля единиц продукции значение функции дохода равно нулю

R 0 20 0 0,02 02 C,

С 0,

таким образом,

R q 20q 0,02q2.

Если каждая единица продукции продается по цене p, то доход определяется

формулой

R qp.

Следовательно, деля на q функцию дохода, находим закон спроса p q

p q 20 0,02q

или

qD p 50q 1000.

Ответ: R q 20q 0,02q2 – функция дохода, qD p 50q 1000 – за-

кон спроса на продукцию.

Замечание. При нахождении функции издержек C q следует учитывать, что ее значение равно значению фиксированных издержек, при условии, что ничего не производится (в точке q 0).

Задача 1.5. Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца y f x , где y – доля совокупного дохода, получаемая частью x

наиболее низко оплачиваемого населения. Определить часть дохода, которую получают N % наиболее низко оплачиваемого населения. Посчитать коэф-

фициент неравномерности распределения совокупного дохода. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:


1)	y		9	x2		1	x,	N 10;		7)	y	14			x2			1			x,		N 15;

	10				10						15						15
2)	y 0,87x2				0,13x,				N 8;	8)	y 0,77x2						0,23x,							N 8;
3)	y		9	x2		3	x,	N 4;		9)	y		6		x2				4		x,		N 5;

	12				12						10						10
4)	y 0,96x2				0,04x,				N 8;	10)	y 0,82x2 0,18x,													N 10;
5)	y	13		x2		1	x,	N 14;		11)	y			8		x2				6		x,	N 14;
					14
	14										14						14
6)	y 0,78x2				0,22x,				N 10;	12)	y 0,95x2 0,05x,													N 12;

13)	y	11				x2		4	x,	N 15;
							15
	15
14)	y		10			x2		2	x,	N 6;
							12
	12
15)	y 0,85x2						0,15x,				N 15;
16)	y	11				x2		3	x,	N 14;
							14
	14
17)	y			8		x2		2	x,	N 5;
							10
	10
18)	y 0,75x2						0,25x,				N 12;
19)	y			8		x2		4	x,	N 3;
							12
	12
20)	y 0,89x2						0,11x,				N 15;
21)	y		12		x2			2	x,	N 7;
							14
	14


22)	y 0,74x2					0,26x,				N 10;
23)	y		7		x2		5	x,	N 12;
						12
	12
24)	y 0,92x2					0,08x,				N 10;
25)	y		10		x2		4	x,	N 7;
						14
	14
26)	y		7		x2		3	x,	N 10;
						10
	10
27)	y 0,88x2					0,12x,				N 5;
28)	y	13		x2			2	x,	N 15;
						15
	15
29)	y 0,76x2					0,24x,				N 15;
30)	y		9		x2		5	x,	N 14.
						14
	14

Пример 1.5

Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца

y	11	x2		1	x, где y – доля совокупного дохода, получаемая частью x

12			12

наиболее низко оплачиваемого населения. Определить часть дохода, которую получают 12% наиболее низко оплачиваемого населения. Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.

Решение

По условию наиболее низко оплачиваемого населения 12%, следовательно, для того, чтобы найти его часть дохода, необходимо вычислить значение совокупного дохода в точке x 0,12

y 0,1 11 0,122 1 0,12 0,0232. 12 12

Таким образом, 12% наиболее низко оплачиваемого населения получают 2,32% совокупного дохода.

Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L и называется коэффициентом неравномерности распределения совокупного дохода

1
L 2 x f x dx,	(1.8)
0

где y f x – уравнение кривой Лоренца.

По формуле (1.8) находим коэффициент L неравномерности распределения совокупного дохода


1	11		1					1		11				11			11		1
L 2 x		x2				x	dx 2						x		x2	dx 2			x x2 dx
L 2 x	12	x2				x	dx 2					12	x		x2	dx 2			x x2 dx
0	12		12					0				12		12			12		0
0								0											0
				11 x2					x3		1		11 1		1		11
				11 x2					x3		1		11 1		1		11
																		.
													6					.
					6 2				3		0		6	2	3		36

Ответ: 12% наиболее низко оплачиваемого населения получают 2,32% совокупного дохода; коэффициент неравномерности распределения совокупного до-

хода равен 1136.

Задача 1.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

y x2

3x 1, y x2

x 2;

16)

y 4 x2, y x2 2x;

y x2, y 3 x;

y 1;

17)

x 1, y x 1 3;

1 x2

y x2

2x 2, y x 4;

18)

y x 1 2 , y x 3;

y x 1 2 , y

;

19)

y x 1 2 , y 2x 5;

x 1

, y

;

20)

y x 1 2 , y2 x 1;

1 x2

21)

y 2x2 4x 7, y 1 x2

y x2, y x 6;

22)

y x2, y 3x;

y x 2 3 , y 4x 8;

23)

y 2x2 6x 2, y 4 x2

y x 2 2

, y 5x 6;

24)

y x 1 2 , y 2x 5;

10)

y x2

6x 2, y x 2x2

25)

y x3, y 3x;

11)

y x 1 2 , y2

x 1;

26)

y 4x2, y x4;

12)

y 2x2 5x, y x2 x;

27)

y 2x x2

3, y x2

4x 3;

13)

y x2

6x 2, y x 2x2

28)

y 2x2 6x, y 3 x2;

14)

y 6x 2, y 4 x2 x;

29)

y x 3 2 , y 3x 9;

15)

y x 1 3 , y x 1;

30)

x y 2 3 , x 4y 8.

Пример 1.6

y x 1 2

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

y2 x 1.

Решение

Изобразим в системе координат графики заданных функций (рис. 1):

y x 1 2	– графиком является парабола, ветви которой направлены вдоль
оси Oy вверх, вершина в точке 1,0 ;
y2 x 1 –	графиком является парабола, ветви которой направлены вдоль оси

Ox вправо, вершина в точке 1,0 .

1 0 1

Рис. 1

Найдем точки пересечения графиков функций, решив систему уравнений:

y x 1 2 ,

y2 x 1;

x 1,

y 0;

x 2,

y 1.

В соответствии с формулой (1.5) получим

2			x 1	3		x 1	2	2
2				2			2	2
S		x 1 2 dx							1	.
	x 1								1
	x 1		3						6
			3		2				6
1			2					1
1			2					1
1

Ответ: .

Раздел II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В данный раздел включены основные типы уравнений, которые рассматриваются в теме «Дифференциальные уравнения первого порядка»: дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах, задача Коши для дифференциальных уравнений. Задачи экономической теории, при решении которых требуется найти решения дифференциальных уравнений первого порядка также представлены в разделе.

Прежде чем приступить к решению задач рекомендуется повторить теоретический материал, рассмотренный на лекциях не только по данной теме, но также и по темам предыдущего семестра, а именно «Дифференциальное и интегральное исчисления». Материал по применению дифференциальных уравнений к задачам экономики можно найти в учебной литературе следующих авторов: Н. Ш. Кремер, А.Н. Колесников, В.И. Малыхин, М.С. Красс и Б.П. Чупрынов. В сборниках задач и практикумах А.П. Рябушко, В.И. Ермакова, П.Е. Данко и Н. Ш. Кремера рассмотрена кратко теория и приведены решения некоторых уравнений, что поможет в самостоятельной работе студентов при подготовке к практическим и лекционным занятиям.

Задача 2.1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

x y xy 0, y

;

2) 3x 1 y y2 0,

y ln 1 3

;

3x 1

x xy y C ;

3) x 2y y 2x y,

4) ex y yy 0,

ex e y y 1 C;

x2,

;

x 2y 3ln

2x 3y 7

2x 3y 1 5 4x 6y y ,

7) xy x2 y y2 0,

y Ce

;

y e2x 2y,

y Ce2x xe2x;

y 0,

y Ce

;

9) 3x2 y 2

4 x3

10) xy2 y x3 y3,

y3 3x3 ln

11)

y y 0,

12)

x y 1 y 1,

y x Cey;

13)

x 2xy y 2y 0,

x2y e2y 0;

14)

xy yln

y xeCx 1;

15)

x y 1,

x Cey

2y2

4y 4;

1 2x

2y3

2x 1

1 y

16)

;

Cx2

xy y

x2 y2 ,

17)

;

22C

18)y y3 2xy 1, 2x ey2 1 y2 ;

19)

x2 2yy 1 1,

xy2 x2 1;

20)

1 3x 3y

3x y 2ln

x y 1

1 x y

xy y x2e2 ,

21)

y x

;

y x

x4 ln2

;

22)

y 2

x y 1 ;

23)

y 2 2x y 4 y

24)

xy y x2y2,

y x2

3x 1;

25)

y x y 2 ,

y tg x C x;

26)

xy 2y x5y3ex 0,

y 2 2x2ex ;

27)

y 2

y 2x

y x 1 arcsin x 1 2x;

x 1

x 2 C;

28)

x 1,

y e

2xyy y2

29)

x 0,

xln

;

x y ln

2x.

30)

2x2 y x2

y2,

Пример 2.1

Проверить, что функция y3 Cx3 3xy является решением дифферен-

циального уравнения xy2 x2 y y3 2xy.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.11.2019730.5 Кб3Referat_Umanskaya_Anna.docx
#
29.08.2019186.88 Кб2reglament_2012-chast_S.doc
#
10.09.2019261.63 Кб1reklama.doc
#
19.11.2019160.26 Кб1REShENIE_ZADANIYa.doc
#
17.09.2019192 Кб1rg.doc
#
08.05.2015794.91 Кб9RGR_3semestr_Ekonomisty.pdf
#
09.05.20151.3 Mб22RLE_P2002.pdf
#
08.05.2015353.42 Кб5RPD_zaochka.rtf
#
19.09.20191.2 Mб4RPP_43_52.doc
#
19.09.2019169.98 Кб2RPP_53_61.doc
#
16.03.20161.26 Mб270russkaya_model_effektivnogo_soblazneniya.rtf