Понятие о выборочном исследовании.

Статистическое обследование может осуществляться по данным несплошного наблюдения, основная цель которого состоит в получении характеристик изучаемой совокупности по обследованию ее части. Одним из наиболее распространенных в статике методов, применяющим несплошное наблюдение, является выборочный метод

Под выборочным понимается метод статистического обследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При выборочном методе обследованию подлежат сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5-10%, реже до 15-25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью. Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследуемых единиц проведение обследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

Основные принципы выборочного наблюдения, соблюдение которых позволяет получить репрезентативную выборку:

• обеспечение случайности (при отборе каждая из единиц изучаемой совокупности имеет равные шансы попасть в выборку);

• обеспечение достаточного числа отобранных единиц.

Объективно возникающие расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупности составляет ошибку выборки. Она зависит от ряда факторов: степени вариации изучаемого признака, численности выборки, методов отбора единиц в выборочную совокупность, принятого уровня результата исследования.

2. Ошибка выборки

Ошибка выборочного наблюдения - это разность между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. Для среднего значения ошибка будет определяться так:

, где

Величина называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы законы больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М, Ляпунова.

Теорему П, Л, Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т. е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколько угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева доказано, что величина ошибка не должна превышать t. В свою очередь, величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности  и числа отобранных единиц n. Эта зависимость выражается формулой

где  зависит также от способа производства выборки, о чем будет сказано ниже.

Величину  называют средней ошибкой выборки.

На практике для определения средней ошибки выборки обычно используются дисперсии выборочной совокупности ². Эта замена основана на том, что при соблюдении принципа случайного отбора дисперсия достаточно большого объема выборки стремится отобразить дисперсию в генеральной совокупности.

В математической статистике доказывается следующее соотношение между дисперсиями в генеральной и выборочной совокупностях:

Из формулы видно, что дисперсия в выборочной совокупности меньше дисперсии в генеральной совокупности на величину

Поскольку величина при достаточно большихn близка к 1, можно приближенно считать, что выборочная дисперсия равна генеральной дисперсии, т. е.

Следовательно, средняя ошибка выборки показывает, какие возможны отклонения характеристик выборочной совокупности от соответствующих характеристик генеральной совокупности. Однако о величине этой ошибки можно судить с определенной вероятностью. На величину вероятности указывает множитель t.

А. М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (а следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически теорему Ляпунова можно записать так:

- предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при

t=1 Ф(t)=0,683 t=1,5 Ф(t)=0,866

t=2 Ф(t)=0,954 t=2,5 Ф(t)=0,988

t=3 Ф(t)=0,997 t=3,5 Ф(t)=0,999

Поскольку t указывает на вероятность расхождения , т. е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочитано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральными средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3 % случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает(т. е. в 95% случаев) и т. д.

Для различных способов отбора предельная ошибка рассчитывается при проведении выборки по разному.

Зная выборочную среднюю величину признака и предельную ошибку выборки, можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя: