Конспект практик по алгебре
.pdf
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 41 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
8 |
2 |
1 |
1 5 2 |
16 3 |
1 5 2 16 3 |
||
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
A |
2 2 3 |
|
0 16 14 50 8 |
0 8 7 25 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 11 12 34 5 |
0 8 7 |
25 4 0 0 0 0 0 |
|
|||||
|
|
2 16 3 |
|
|
|
|
|||
|
1 5 |
|
0 0 0 |
0 0 |
0 0 0 0 0 |
|
|||
rangA 2, det M 0
Упрощенная система
x 5x |
|
2x |
|
|
16x |
|
|
3x |
|
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
8x2 7x3 25x4 4x5 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
В |
|
качестве базисного |
|
|
минора |
выбираем M |
1 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
8 |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
следовательно, свободные: x3, x4, x5, тогда |
|
|
|
||||||||||||||
x 5x |
|
|
2x |
|
16x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8x2 7x3 25x4 4x5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ищем фундаментальное решение однородной системы |
|
|
|
||||||||||||||
|
а) |
x3 1; x4 0; x5 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 42 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5x |
2 |
2 |
|
x 2 5 |
7 |
19 |
|
|
1 |
|
|
1 |
8 |
8 |
|
8x2 |
7 |
x2 87 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
б) x3 0; x4 1; x5 0
x 5x |
2 |
16 |
|
x 16 5 25 |
3 |
||
|
1 |
|
|
1 |
8 |
8 |
|
8x2 25 |
|
x2 258 |
|
||||
|
|
|
|
||||
в) x3 0; x4 0; x5 1
x 5x |
2 |
3 |
|
x 3 5 |
1 |
||
|
1 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
8x2 |
4 |
|
x2 12 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
x |
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x |
2 |
0 |
|||
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
. |
x |
3 |
0 |
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
г) Общее решение системы
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 43 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 c |
3 c |
2 |
1 c |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
8 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 c |
25 c |
2 |
1 c |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
8 |
2 |
|
|||||
x |
c |
x |
1 c |
2 |
x |
2 |
c |
3 |
x |
3 |
|
|
|
c |
|
|
|
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 44 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 16.
Цель: Изучить понятия собственных чисел и собственных векторов линейного оператора, научиться находить их.
0 3
Пример. Найти собственные числа и векторы матрицы A .
3 8
Решение.
|
0 |
|
3 |
|
2 8 9 0 9; |
|
2 |
1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 9; |
|
|
1 |
2 1, |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
x1 ; |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
Пример. Найти собственные числа и векторы матрицы A |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
Решение. |
1,2 1 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 1 2i, |
|
|
x1 |
2ix1 x2 0 |
|
|
|
|
|||||||
x1 |
x |
|
, тогда 4x 2ix |
2 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2ix |
|
|
|
|
|
|
|
1 2i, x |
|
, 0, x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 45 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, 0, решений бесконечно много. |
|
x1 |
|
|
||
|
2i |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
Пример. Найти базис, в котором A |
имеет диагональный вид. |
|||
|
|
|
3 |
8 |
Решение. Для симметричной матрицы – это базис состоит из ортонормированных собственных векторов.
|
9; |
x |
|
1 , e |
0 |
1/ |
10 |
|
0,316 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3/ |
|
|
|
0,948 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
|
3/ |
|
|
|
|
|
0,948 |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
10 |
||||||||||
2 2; |
x2 |
|
,e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
1/ |
10 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0,316 |
|
|||||
Каков геометрический смысл перехода базиса i, j к базису e10,e20?
0,948 
e20
-0,948 
0,316
Рис. 16.1
Поворот на угол 71,58 , cos 0,316 (рис. 11.1).
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 46 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
|
x |
Пример. Дана квадратичная форма (x) 6xy 8y |
|
x |
в |
|
|
|
|
|
y |
базисе i, j. Привести ее к каноническому виду.
Решение. Матрица квадратичной формы симметрична. Следовательно,
она имеет канонический вид в базисе из ортонормированных собственных векторов матрицы.
|
A 0 |
3 |
, |
|
|
9, |
|
1, |
|
|
x |
|
1 , |
|
0 0,316 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0,948 |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0,948 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,316i |
0,948j, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
, |
e2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,316 |
|
|
|
|
|
0 |
0,948i 0,316j. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
3/ |
|
|
|
|
|
|
|
1/ |
|
|
|
|
3/ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
10 |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
MT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 1;M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;M |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
10 |
1/ 10 |
|
|
10 |
|
1/ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ |
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||
|
1/ |
|
|
|
|
|
3/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3/ |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Согласно теории, |
|
A' 9 |
|
|
|
0 |
в базисе e 0 |
,e 0. Проверим это: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 47 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A' MT *A*M |
1 |
|
1 |
3 0 |
3 |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
1 9 |
27 1 |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
10 |
1 |
||||||||||||||||
10 |
10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
1 3 |
8 |
|
3 |
|
|
3 |
1 3 |
|
|
|||||||||
1 |
90 |
0 |
9 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
16 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, квадратичная форма в базисе e10,e20 имеет вид:
(x') 9x'2 y'2.
Пример. Найдем собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
2 |
2 |
4 |
|
|
A |
0 |
1 |
|
|
Запишем матрицу оператора в базисе из |
0 |
2 |
|
|||
|
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|||
собственных векторов и матрицу перехода к собственному базису.
Решение. Решим |
следующее |
характеристическое уравнение: |
||||
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
4 |
|
|
det |
0 |
0 |
1 |
2 |
0, |
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
1 2 2, 3 4 1 ,
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 48 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
систему A E x 0, найдем собственные векторы |
||||||
соответствующие найденным собственным числам. |
|||||||
1) 2, тогда система имеет вид |
|||||||
1 2 |
1 |
2 |
3 |
x1 |
|||
|
0 |
2 2 |
2 |
4 |
x |
2 |
|
|
|
0 |
1 2 |
|
|
0, решаем однородную систему и |
|
0 |
2 x3 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
2 2 x4 |
||||||
базисные векторы пространства решений однородной системы выбираем в
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
x2 |
|
. |
||||
качестве собственных векторов x1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
||||
2) Аналогично, 1, тогда x3 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
, x4 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверка Q |
1 |
2 |
-ортогональная матрица. |
||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 49 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИДЗ «Приведение кривой второго порядка к каноническому виду»
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 50 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 17.
Цель: изучить основные линии второго порядка и их характеристики.
Познакомиться с понятием сопряженных линий.
Пример 1. Дано уравнение эллипса |
x2 |
|
y |
2 |
1. Найти координаты |
|
|
|
|||
25 |
9 |
|
|||
фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис, сделать рисунок.
Решение: Из уравнения эллипса непосредственно определяем a2 25,
b2 9, следовательно a 5, b 3. Согласно формуле (17.7)
c |
25 9 |
16 4, 2с 8, F1( 4; 0), F2(4; 0). Эксцентриситет |
||||||||
|
c |
|
4 |
0,8 |
. Расстояние до директрис x |
a2 |
|
25 |
||
|
|
|
|
|
6,222. |
|||||
a |
5 |
с |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
y
F1 F2
d1 |
d2 |