Конспект практик по алгебре
.pdf
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 21 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
5 |
|
|
|
4 10 12 12 4 10 0; |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
|
80 6 8 20 96 2 0; |
|
2 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
5 |
7 |
20 42 16 40 24 14 0 |
|||||
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
вычисляя их значения, убеждаемся, что все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, значит rang A 2.
Если при вычислении окаймляющих миноров не все они равны нулю, то необходимо взять другой минор низшего порядка и вычислить его окаймляющие миноры. В этом смысле вычисление ранга матрицы методом окаймления не всегда рационально.
Пример 2: Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований.
Найти базисный минор.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 22 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
A |
4 |
2 |
5 |
1 |
7 |
|
|
1 |
1 |
8 |
|
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Запишем наши преобразования подробно:
1)сложим вторую строку с первой, умноженной на ( 2);
2)сложим первую строку с третьей умноженной на ( 1);
|
2 |
1 3 |
2 |
4 |
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
4 |
|
A 4 |
2 5 |
1 |
7 ~ |
0 |
0 1 |
|
5 |
1 |
||||
|
|
1 1 |
8 |
|
|
|
0 2 |
10 |
|
|||
|
2 |
2 |
|
0 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) в |
полученной |
матрице |
сложим |
третью |
строку |
со |
второй, |
|||||
умноженной на ( 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
3 |
2 |
4 |
|
2 |
1 3 |
2 |
4 |
||
~ |
0 |
0 1 |
5 |
1 |
~ 0 |
0 1 |
5 |
1 |
||||
|
|
0 2 10 |
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
|||
|
0 |
2 |
|
0 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после последнего преобразования остались две линейно независимые строки,
следовательно, ранг матрицы равен двум Rg A 2. Говорят, что полученная матрица имеет трапецеидальную форму, поскольку совокупность её отличных от нуля элементов образует прямоугольную трапецию.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 23 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученной матрице всякий минор третьего порядка равен нулю, т.к.
содержит нулевую строку, а минор второго M2 |
|
1 |
3 |
отличен от нуля |
|
0 |
1 |
||||
|
|
|
и может быть выбран за базисный. Соответственно первая и вторая строки и второй и третий столбцы будут базисными.
Задание для самостоятельной работы студентов.
Вычислить ранг матрицы. Определить базисный минор.
2 |
1 |
1 |
3 |
2 |
4 |
0 |
1 |
7 |
3 |
A |
2 |
3 |
1 |
; |
0 |
1 |
|||
|
3 |
4 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
3 |
|
||
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
A |
|
1 |
2 |
1 |
4 |
; |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
3 |
2 |
2 |
7 |
|
|
1 |
|
|
|||||
7 |
5 |
2 |
4 |
|
8 |
||
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
A 2 |
|
1 . |
|||||
|
1 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 24 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИДЗ «Системы линейных алгебраических уравнений»
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 25 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 13.
Цель изучить понятия линейного и евклидова пространств, находит размерность и базис.
Пример 1. Являются ли векторы линейно независимыми, построить базис оболочки натянутой на данные векторы и дополнить его до базиса
пространства. |
f1 (3;1;5), |
f2 (2;1; 3) |
f3 (4; 2; 1), |
||
|
|
4 (1;0; 7) |
|
|
|
f |
|
|
|
||
Решение. Из элементов векторов составим матрицу и найдем ее ранг,
определяющий количество базисных строк.
3 1 |
5 |
|
3 1 |
5 |
|
3 1 |
5 |
|
|||
4 |
2 |
1 |
|
0 |
2/3 |
17/3 |
|
0 |
2/3 |
17/3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
1/3 |
1/3 |
|
|
0 |
1/3 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
||||||
|
0 |
7 |
|
|
1/3 |
16/3 |
|
|
0 |
16/3 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
||||||
rangA dimL 3, |
следовательно, |
векторы |
|
f1, f2, |
f3 |
линейно |
|||||||||||||||
независимы и их можем выбрать в качестве базисных, т.к. |
dimR3 3, |
||||||||||||||||||||
следовательно, базис |
оболочки |
будет и базисом |
пространства, |
поэтому |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
базис L: f1, f2, f3, базис R3 : f |
1, |
f2, f3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример: На плоскости заданы два |
вектора |
p |
(2; 3) |
и |
q |
(1; 2). |
|||||||||||||||
Найти разложение вектора |
a |
(9; 2) по базису |
p |
, |
q |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 26 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: В некотором базисе векторы заданы координатами: a (1;1; 2),
e1 (2; 2; 1), e2 (0; 4;8), e3 ( 1; 1;3). Убедится, что
e1, e2, e3 - образуют базис. Найти в нем координаты вектора a.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 27 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практика 14
Цель: изучить условия совместности СЛАУ и методы решения:
Крамера, Гаусса.
Пример: Проверить систему на совместность и в случае совместности решить ее:
1)по формулам Крамера;
2)Методом Гаусса;
2x |
4x |
2 |
x |
3 |
3 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
x1 |
5x2 3x3 1 |
|||||||
|
x |
x |
2 |
x |
3 |
1 |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Решение: Нам задана СЛАУ размерности 3 3. В случае квадратной системы ее совместность можно проверить, не прибегая к вычислению рангов основной и расширенной матрицы. Достаточно вычислить определитель основной матрицы системы. Если последний отличен от нуля,
то система совместна и имеет единственное решение.
Выпишем определитель основной матрицы системы и вычислим его:
|
2 |
4 |
1 |
|
|
1 |
5 |
3 |
8 0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1) Для нахождения решения системы по формулам Крамера, вычислим дополнительные определители 1, 2, 3 по формулам (2.3). Для этого в
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 28 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основном определителе системы |
j-ый столбец заменяем |
|
столбцом |
|||||||||||||
свободных членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
16, |
2 |
|
1 |
1 3 |
|
0, |
||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
1 |
5 |
1 |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь, пользуясь формулами Крамера (2.2), найдем:
x |
1 |
|
16 |
2; |
x |
|
|
2 |
|
0 |
0; |
x |
|
|
3 |
|
8 |
1. |
1 |
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
8 |
|
3 |
|
|
|
8 |
|||
Убеждаемся в правильности решения. Подставим найденные значения в исходную систему:
2 2 4 0 ( 1) 3
2 5 0 3 ( 1) 1
|
2 0 ( 1) 1 |
|
2
Получили три тождества, значит решение найдено верно. Ответ: X 0 .
1
2) Для решения системы методом Гаусса выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду (прямой ход метода Гаусса), используя элементарные преобразования строк.
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 29 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
3 |
|
Расширенная матрица системы имеет вид: A |
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
Для наглядности, мы отделили столбец свободных членов от основной матрицы вертикальной чертой. Приведем матрицу к нижнему треугольному виду. Для удобства поменяем местами первую и вторую строки, это не изменит решения системы:
|
|
|
1 |
5 |
3 |
1 |
|
A |
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
Обнулим элементы первого столбца. Для этого:
1)первую строку умножим на ( 2) и сложим ее со второй строкой;
2)первую строку умножим на ( 1) и сложим ее с третьей строкой.
|
2 10 |
6 |
2 |
1 5 |
3 1 |
||||||
1) |
2 |
4 1 |
3, |
2) 1 |
1 1 1 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
5 |
5 |
|
0 |
4 |
2 2 |
||
Запишем результаты вычислений в матрицу, при этом первую строку оставляем без изменения:
|
|
|
1 |
5 |
3 |
1 |
|
1 |
5 |
3 |
1 |
||
A |
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
2 |
|
~ |
0 6 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
||||||
Обнулим элементы второго столбца. Для этого:
ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра
Разработала: |
Идентификационный |
Контрольный экземпляр |
Лист |
|
номер: |
находится на кафедре |
стр. 30 из 58 |
|
|
Алгебры, геометрии и |
|
|
|
|
|
Дегтярева Н.Е. |
|
анализа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1) третью строку умножим на |
|
|
и прибавим к ней вторую строку. |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
5 |
5 |
|
|
|
0 |
6 |
3 |
3 |
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
2 |
2 |
|
|
|
Получили приведенную матрицу, эквивалентную исходной |
||||||||
расширенной: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
5 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
|
|
6 |
5 |
5 |
|
|
|
0 |
. |
||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
Найдем решение системы обратным ходом. Для этого по полученной приведенной матрице запишем систему эквивалентную начальной:
x 5x |
|
3x |
|
1 |
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
6x2 |
5x3 |
|
|
|||
|
|
|
|
2x3 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Из последнего уравнения получаем: x3 |
2 |
1. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Подставляем найденное значение во второе уравнение и определяем x2:
6x2 ( 5) ( 1) 5, |
6x2 0, |
x2 0 |
И, наконец, из первого уравнения находим переменную x1:
x1 5 0 3 ( 1) 1, |
x1 3 1, |
x1 2. |
Ответ полностью совпал с первым решение по методу Камера.
Решить самостоятельно: