Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект практик по алгебре

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

451.12 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 31 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 31 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

	4x 5x		2	x	3	1			x 2x			2	x		3	3
		1	2		3					1		2			3
1.		x1 3x2 x3 7					,	2.	x1 x2 3x3 7.
		2x x	2	x	3	7			4x x		2		x	3		7
		1	2		3					1	2			3

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 32 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 32 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

Практика 15

Цель: Изучить вычисление и свойства обратной матрицы, матричный метод, определять общие и частные решения неоднородных систем.

Пример: Решить систему матричным методом.

2x		4x		2	x	3	3
	1			2		3
x1	5x2 3x3 1
	x	x	2	x		1
	1		2		3

Решение: Выпишем определитель основной матрицы системы и

2 4 1

вычислим его: 1

3 8 0

1 1 1

Для решения системы определим обратную матрицу по формуле

	1	1 ~		~
A			A, где	A- присоединенная матрица системы, состоящая из

алгебраических дополнений основной транспонированной матрицы:

~	A11	A21	A31
~	A	A	A	.
A	A	A	A	.
	12	22	32
	A	A	A
	13	23	33

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 33 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 33 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

Напомним, алгебраическим дополнением называется выражение вида

Aij ( 1)i j Mij , где Mijминор, получаемый из основного определителя

удалением из него i-ой строки и												j-го столбца. Найдем Aij
A	1 1	5 3								2,								1 2			1 3					2;
	1 1	5 3																1 2			1 3
	( 1)													A ( 1)
11			1					1						12							1			1
			1					1													1			1
A	1 3		1 5							4,				A ( 1)					2 1			4 1						3;
	1 3		1 5																2 1			4 1
	( 1)
13			1					1						21									1 1
			1					1															1 1
A ( 1)2 2							2	1	1,			A ( 1)2 3						2		4					2;
A ( 1)2 2							2	1	1,			A ( 1)2 3						2		4					2;
22							1	1					23					1		1
							1	1										1		1
A ( 1)3 1				4					1		7,			A ( 1)3 2									2		1		5;
A ( 1)3 1				4					1		7,			A ( 1)3 2									2		1		5;
31					5			3						32									1	3
					5			3															1	3
A ( 1)3 3						2		4			6.
A ( 1)3 3						2		4			6.
33						1		5
						1		5
														1		2				3					7
	Обратная матрица имеет вид: A												1	1
																	2			1					5			. Убедимся
															8		2			1					5			. Убедимся
															8	4				6					6

в	правильности										ее	вычисления,					используя											формулу:
A 1 A A A 1 I:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 34 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 34 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

1			2		3 7		2	4 1		1	8		0	0
1				2	1 5		1	5	3	1		0	8	0

										8
				4 2			1	1	1
	8			4 2		6	1	1	1		0		0 8

1		0		0
0		1		0	I
		0
0		0		1

Матрица вычислена верно.

Используя формулу (15.3) найдем неизвестные:

				1		2		3	7	3
			1	1
X A				B			2	1 5			1
X A				B			2	1 5			1
					8			2
					8	4		2	6 1

1		2 3 3 ( 1) ( 7) 1								1		16		2
1										1
				2 3 1 ( 1) ( 5) 1									0		0	.
	8			2 3 1 ( 1) ( 5) 1						8			0		0	.
	8	4 3 ( 2) ( 1) ( 6) 1								8		8		1

Матричным методом система решена верно.

Пример. 1. Найти общее решение неоднородной системы уравнений

x1 x2 x3 x4 4

x1 x2 2x3 3x4 8

2x1 4x2 5x3 10x4 20.

2x1 4x2 x3 6x4 4

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 35 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 35 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

Решение: Для нахождения решения системы выпишем расширенную

матрицу:

1	1	1	1	4

A 1	1 2		3	8	.
2	4	5	10	20
	4	1	6	4
2	4	1	6	4
Приведем	ее	к нижнему			треугольному виду элементарными

преобразованиями со строками. Для этого:

1)умножаем первую строку на ( 1) и складываем со второй;

2)умножаем первую строку на ( 2) и складываем с третьей

строкой;

3)умножаем первую строку на ( 2) и складываем с

четвертой строкой.


		1	1	1	1	4
		1	1	2	3	8 ,
1)		1	1	2	3	8 ,	2)
		0	2	1	4	4
2		2	2 2			8
		4	5	10	20 ;
	2	4	5	10	20 ;
	0	6	3	12	12

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 36 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 36 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

2		2	2		2		8
		4	1		6		4 .
3) 2

	0	2	1		4		4
Полученные результаты записываем в матрицу эквивалентную
исходной:
1		1	1	1			4	1	1	1	1	4


A 1 1			2		3		8 ~ 0 2			1	4	4
2 4			5	10		20		0 6		3	12	12
		4	1	6					2	1	4
2							4	0				4

В данной приведенной матрице если все элементы третьей строки поделить на три, а элементы четвертой строки умножить на минус один, то они совпадут с элементами второй строки. Это означает, что три последние строки являются линейно зависимыми (выражаются одна через другую) и,

следовательно, две из них можно обнулить.

1	1	1	1	4

A 0 2		1	4	4 .
0	0	0	0	0
	0	0	0
0	0	0	0	0

Количество ненулевых строк (хотя бы один элемент не равен нулю) в

основной (до вертикальной черты), и в расширенной матрицах, равно двум,

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 37 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 37 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

следовательно, RgA RgA r 2, поэтому согласно теореме Кронеккера-Капелли система совместна т.е. имеет решение.

По приведенной матрице запишем неоднородную систему эквивалентную исходной системе:

x		x	2	x	3	x	4	4
	1		2		3		4	.
		2x2 x3 4x4 4

Определим количество базисных и свободных переменных. Общее число переменных системы равно четырем n 4 а r 2. Следовательно,

число базисных переменных равно двум (r 2), а число свободных переменных определим соотношением n r 4 2 2.

Согласно теореме о фундаментальном решении неоднородной системы: Xон Xoo Xчн.

Найдем общее решение однородной системы, которое зависит от значения двух свободных неизвестных: Xoo C1X1 C2X2.

По исходной приведенной системе запишем однородную:

x		x	2	x	3	x	4	0
	1		2		3		4	.
		2x2 x3 4x4 0

В качестве базисных неизвестных выберем х1, х2, т.к. минор,

полученный на пересечении первых двух столбцов и строк,

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 38 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 38 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

M2	1	1	2 отличен от нуля. Свободными являются оставшиеся
	0	2

неизвестные х3, х4.

Перенесем свободные неизвестные вправо:

x	x	2	x	3	x	4 .
1		2		3		4 .
	2x2 x3 4x4

Для определения частных решений X1, X2 выберем свободные

неизвестные произвольными константами.

1)Для определения Х1, например, возьмем х3 1, х4 0.

Получим систему

	x x				2		1 0				x x		2	1	.
		1			2			,				1	2		.
			2x2 1 4 0									2x2 1
Откуда x	2			1		,	x		3	.
Откуда x						,	x			.
			2				1	2
												T		3		1
Получили первое частное решение системы: X1																		1	0	.
Получили первое частное решение системы: X1															2			1	0	.
														2	2
	2)					Для определения					Х2 возьмем		х3 0, х4				1. Получим
систему

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 39 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 39 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

x	x	2	1	Откуда x2 2, x1 3.
1		2	.	Откуда x2 2, x1 3.
	2x2 4

Получили второе частное решение системы: X2T														3				2 0	1 .
	Запишем общее решение однородной системы:
										3					3		C 3C
												3			3
																				2
											2				2			1		2
											2				2
											1	2			1	C 2C
											1

Xоо C1X1 C2X2 C1 2 C2 0 2																		1		2	.
											1							C
											1	1						1
										0								C2

	Найдем				Хчн		-	некоторое частное решение неоднородной													системы
x x		2		x			x	4	4	.
	1	2			3			4		.
	2x2 x3 4x4 4
	Для этого выберем свободные переменные в виде																	х3 0, х4				0 и
подставим в систему. Получим:
	x		x		2	4				Откуда x2		2, x1		6.
	1				2		.			Откуда x2		2, x1		6.
				2x2		4
Частное решение имеет вид:										ХчнТ 6		2	0	0

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 40 из 58
		Алгебры, геометрии и	стр. 40 из 58
		Алгебры, геометрии и
Дегтярева Н.Е.		анализа
Дегтярева Н.Е.

Убедимся в правильности вычислений, сделаем проверку А Хчн В
1	1		1 1 6		1 6 ( 1) 2 1 0 ( 1) 0						4
1 1			2 3 2			1 6 1 2 2 0 3 0
1 1			2 3 2			1 6 1 2 2 0 3 0					8
						2 6 4 2 5 0 10 0					20 .
2 4			5 10	0		2 6 4 2 5 0 10 0					20 .

	4										4
2	4		1 6 0		2 6 ( 4) 2 1 0 ( 6) 0						4
	Вычислено верно. Окончательно имеем:
	Xон Xoo Xчн
	3					3		C 3C		6
			3	6		3			2

		2				2		1
		2				2
		1	2	2		1	C 2C			2
		1

C1 2			C2 0	0	2			1	2	.
		1						C
		1	1	0				1
	0							C2

Пример: Найти фундаментальное решение и общее решение

однородной системы.

3x1 x2 8x3 2x4 x5 0


	2x1 2x2 3x3 7x4								2x5 0

x 11x		2	12x		3		34x		4	5x		5	0
	1
	x 5x	2	2x	3		16x		4	3x		5	0
	1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.201528.45 Кб18Конспект лекции.docx
#
01.05.201542.3 Кб8Конспект лекции.docx
#
01.05.20151.08 Mб12Конспект лекций по алгебре.pdf
#
01.05.2015107.52 Кб14Конспект лекций по Модулю 1.doc
#
01.05.2015194.05 Кб15Конспект лекций по Политологии.doc
#
01.05.2015451.12 Кб17Конспект практик по алгебре.pdf
#
01.05.201513.31 Кб11Конституционное право.docx
#
01.05.2015104.45 Кб3КОНТРОЛЬНАЯ ПО РУССКОМУ 2. ПОСЛЕДНЯЯ ПОПЫТКА.doc
#
01.05.201551.07 Кб56Концепция функционального питания.docx
#
01.05.20151.1 Mб43корнюшин.численные методы.pdf
#
01.05.201534.76 Кб11Криминология семинар.docx