Клевчихин - Матан II семестр
.pdf
|
|
|
cos 2x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
2A |
|
|
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin x |
dx |
|
ln 2 |
|
|
1 |
|
cos 2x |
dx |
ln 2 |
|
ln 2 |
|
ln 2 |
. |
|
x |
2 |
|
2 |
|
2 |
4 |
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
f x dx
a
f x dx
a
f x dx
a
f x dx
a
f 0
A a |
f g |
a; A |
x a; |
0 f x |
g x , |
sin x
x
dx
1
g x dx
a
f x dx
a
f x dx
a
g x dx
a
|
|
|
g x dx |
|
|
|
a |
|
|
|
A |
ε 0 A0 |
A , A |
A0 |
g x dx ε. |
|
|
|
A |
0 f x |
g x |
|
|
|
A |
|
|
|
f x |
dx |
ε, |
|
A |
|
|
f |
|
|
f x dx |
|
|
|
a |
|
f x dx |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
A |
ε 0 A0 |
A , A |
A0 : |
f x dx ε. |
|
|
|
A |
0 f x |
g x |
A
g x dx ε,
A
g
g x dx
a
|
A |
a |
f g |
a; A f ; g 0 |
|
|
|
f x |
O g x |
x |
; |
f x dx |
g x dx |
|
|
a |
a |
|
|
A a |
f x dx |
A
f x dx
a
lim |
f x |
|
g x |
||
x |
||
|
|
|
|
|
C |
0 C |
0 |
C |
|
ε |
0 |
A |
x |
A |
|
f x |
|
|
|
|
|
C ε |
|
C ε |
C ε g x |
f x |
C ε g x . |
|
|
|
|||||
|
g x |
|
|
|
|
|
f x |
O g x |
x |
lim |
f x |
|
g x |
|||||
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
C |
C 0 |
C
α 1
α 1
f x O |
1 |
xα |
3
x2
1 x2
1 |
α 1 |
|
|
xα |
|
|
A |
a f R a; A f 0 |
lim xαf x |
, |
|
C |
||
x |
0, |
|
f x dx
a
f x dx
a
dx
xα
1
|
3 |
|
|
|
dx |
|||
1 |
|
x 2 |
|
2 |
|
|||
|
|
dx, |
|
|
|
. |
||
|
1 x2 |
|
|
|||||
|
|
x 1 x2 |
||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
, |
|
1 |
|
|
1 |
, |
x |
, |
||
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|||||
x |
1 x2 |
||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
x lnα x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin x2 dx |
|
0 |
|
|
cos x2 dx |
|
sin x |
dx |
|
|
||
0 |
0 x |
||
A a |
f, g R a; A |
|
|
A |
|
M |
A |
g x dx |
M |
|
a; |
a |
a; |
f |
f |
||
lim f x |
0 |
|
|
x |
|
|
|
f x g x dx
a
A , A a
A |
a |
A |
g x dx |
g x dx |
g x dx |
A |
A |
a |
A |
A |
|
g x dx |
g x dx 2M. |
|
a |
a |
|
A
ε 0 A0 |
A , A |
A0 |
f x g x dx ε, |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
ε |
0 |
A0 |
A A0 |
|
f A |
ε |
|
|
f x |
0 |
4M |
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
f |
g R A , A A |
ξ A |
||||
A |
ξ |
A |
||||
f x g x dx |
f A g x dx f A |
g x dx |
||||
A |
A |
ξ |
||||
|
|
ε |
|
|
ε |
|
|
|
4M |
|
4M |
||
ξ |
A |
|
|
|
||
f A g x dx f A |
g x dx f A 2M f A 2M ε. |
|||||
A |
ξ |
|
|
|
||
ε
2M
|
|
A |
a |
f, g |
R a; A |
|
g x dx |
|
|
|
|
|
|
a |
a; |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
a; |
|
|
|
|
|
|
f x g x dx |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
ε 0 A0 A , A |
A0 |
f x g x dx ε. |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
f x |
M |
|
|
ε |
0 |
A0 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
A , A |
A0 |
|
|
g x dx |
|
|
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
|
ξ |
|
|
A |
f x g x dx |
|
f A |
g x dx f A |
|
g x dx |
||
A |
|
|
|
A |
|
|
ξ |
M |
|
ε |
|
M |
|
ε |
|
|
2M |
|
2M |
||||
|
ξ |
|
A |
|
|
||
f A |
g x dx |
f A |
g x dx ε. |
||||
|
A |
|
ξ |
|
|
||
g x |
F x |
f x f |
f |
lim f x |
x
sin x2 dx
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
sin t dx |
|
sin t dx. |
||||||||
|
sin x2 dx |
lim |
sin x2 dx |
|
2 t lim |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
|
A |
0 2 t |
0 2 t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t dt |
cos t |
1 |
cos A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sin x2 dx
0
sin x2 dx
0
sin x dx
0x
sin x2 dx
0
|
cos x2 dx |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
1 |
|
|
|
x |
dx |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
F x |
f |
|
f x |
|
cos |
x |
1 |
|
cos x cos 1 |
sin x sin 1 |
|
|
|
|
x |
dx |
x |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
x |
|
1 |
|
x |
|
|
cos x cos 1 |
|
sin x sin 1 |
||
|
x |
dx |
|
x |
dx |
|
|
|
|
||
1 |
x |
1 |
x |
||
|
|
|
|
||
|
cos x |
dx |
|
|
1 |
|
|
||
|
x |
|
|
|
cos 1 |
|
1; |
cos |
|
x |
1 |
|
|
|
cos |
1 |
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
f |
|
ε |
0 |
a; b ε |
f |
1 |
1 |
sin 1 |
0 |
2 |
|||
x |
x |
x |
|
a; b
b
b |
ε; b |
|
|
|
f x dx |
|
|
|
|
|
a |
|
b |
ε |
|
|
|
• |
ε |
f x |
dx 0 |
ε b a |
|
|
a |
|
|
b |
ε |
|
|
|
|
||
• |
|
lim |
|
f x dx |
|
|
|
ε |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
a; b |
|
b |
|
|
|
b
f x dx |
b |
a
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
ε |
|
|
f x |
dx, |
0 |
|
|
ε b a, |
|
||
f x dx |
|
|
a |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f x dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ε |
|
0 a |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
f x dx |
|
|
|
|
|
|
|||
ε |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0; 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 dx
0 1 x2
bdx
a b x α
lim |
|
1 ε |
|
dx |
lim arcsin x |
1 |
|
ε |
lim arcsin 1 |
|
ε |
π . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ε 0 |
0 |
|
1 x2 |
ε |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x α |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
b |
x |
1 α b |
ε |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
b |
ε |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
α |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
0 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
ε |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
b x α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
|
|
|
lim |
|
|
ln b |
|
|
x |
, |
|
α |
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ε |
1 |
α |
|
b a |
1 |
|
α |
|
|
|
|
b |
a α |
1 |
, α |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
α |
|
|
1 |
α |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
lim |
ln b |
|
a |
|
|
|
ln ε |
|
|
|
|
|
, |
|
α |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b |
dx |
α |
1 |
|
|||
|
|
|
|
a b x α |
α |
1 |
|
b |
|
b |
ε |
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x dx |
lim |
|
f x dx |
b |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x b |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ε 0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
a |
|
dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim |
|
1 |
f |
b |
1 |
|
dt |
|
|
f b |
1 |
|
dt. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ε |
0 |
|
|
1 |
|
|
t |
|
t2 |
|
1 |
|
t |
|
t2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
f x dx |
lim |
f x dx |
|
|
|
x |
||||
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
1 |
|||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
a |
a |
|
|
|
|
|
dx |
dt |
||
|
|
|
|
|
|
t2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
|
|
f |
dt |
|
|||
|
|
|
|
t |
|
t2 |
|
|||
|
|
A |
1 |
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
||
b
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
a |
|||
f |
|
dt |
|||
t |
2 |
||||
|
|
t |
0 |
1 1
f t t2 dt
f x dx
a
b
f x dx
a
|
|
f, g 0 |
a; b |
ε 0 |
a; b ε |
x a; b |
f x |
g x |