lec3 ПРЕДЕЛ
.pdf
Лекция 3. Последовательности
3-1 Определение последовательности
3-2 Предел последовательности
3-3 Теоремы о пределах
23 сентября 2007 г.
Эпиграф
Работайте, работайте, -
полное понимание придет
потOм.
Даламбер
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
2
3-1.
Последовательности
Понятие последовательности
Примеры
Графики
23 сентября 2007 г.
Последовательность (sequence)
Числовой последовательностью
{an} называется числовая функция:
an = f (n),
заданная на множестве
натуральных чисел n N.
Члены последовательности:
a1 a2 a3 a4 … an …
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
4
Примеры последовательностей
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
;... |
||||
1. |
Последовательность: |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
|||
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
Общий член: |
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
n |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n +1 |
|
||||||||
2. |
Последовательность: |
- 3; 4; |
- 5; 6;... |
||||||||||
|
Общий член: |
an |
= {(−1)n (n +2)} |
||||||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
5
Графики последовательностей
График последовательности состоит из отдельных точек.
Пример. Построим график
последовательности:
= 1 an
n +1
1 |
; |
1 |
; |
1 |
; |
1 |
;... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
6
Графики последовательностей
Иногда точки соединяют сглаживающими линиями для удобства
и наглядности.
Пример. Построим график последовательности:
(−1)n an = n
-1; |
1 |
; |
- |
1 |
; |
1 |
; |
- |
1 |
;... |
|
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
4 |
5 |
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
7
Ограниченная последовательность
Последовательность ограничена, если найдется такое
положительное число M, что для любого значения n
выполняется условие | an | ≤ M.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
8
Пример ограниченной последовательности
Ограниченная последовательность умещается в некотором
«коридоре».
Пример. Построим график последовательности:
(−1)n n an = n +1
|
|
- |
1 |
; |
2 |
; |
- |
3 |
; |
4 |
;... |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
||||||
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
9
Монотонные последовательности
•Последовательность возрастает, если каждый последующий
член не меньше предыдущего.
•Последовательность монотонная, если она возрастающая или убывающая.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005
10