lec3 ПРЕДЕЛ

3-2.

Предел

последовательности

Понятие последовательности

Определение предела последовательности

Геометрический смысл

23 сентября 2007 г.

Предел числовой последовательности

Предел последовательности это число A, к которому члены

последовательности стремятся при неограниченном

возрастании номера n:

an → A при n → ∞

Это нестрогое определение. Что такое «стремятся»?

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

12

Предел числовой последовательности

Число А есть предел числовой последовательности {an}, если

для любого, даже сколь угодно малого числа ε > 0 найдется

такое число N (зависящее от ε), что для всех членов

последовательности с номерами n > N будет выполнено

неравенство: | an – А|< ε.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

13

Определение предела в кванторах

Число А есть предел числовой последовательности {an}, если

для любого, даже сколь угодно малого числа ε > 0 найдется

такой номер n0 (зависящий от ε), что для всех членов

последовательности с номерами n > n будет выполнено

0

неравенство: | an – А|< ε (строгое определение).

(определение, записанное при помощи кванторов)

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

14

Геометрический смысл

Определение предела означает, что начиная с некоторого

номера n0 все члены последовательности будут находиться в

полосе шириной 2ε.

an − A <ε

Все члены последовательности,

е о а е ос

начиная с некоторого, окажутся в «коридоре»:

A −ε < an < A +ε

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

15

Пример

Предел последовательности

равен 1.

Докажем это при помощи определения предела. Общий член такой последовательности записывается в следующем виде:

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

16

Решение примера

Можно заметить, что с ростом n число an приближается к единице, а разность |an – 1| к нулю. Докажем это.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

17

Решение примера - продолжение

Для ε > 0 выберем N = 1/ε.

Если n > N, тогда n > 1/ε и это означает, что 1/n < ε.

Разность |an – 1| = |1 + 1/n – 1| = 1/n < ε.

Тем самым, для любого ε > 0 мы указали такой номер N, для

которого при n > N выполняется неравенство |an – 1| < ε.

Доказали, что единица есть предел рассматриваемой последовательности.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

18

Пример

Имеет ли предел последовательность:

Решение. Члены последовательности: 2, 4, 6, 8, … не стремятся

ни к какому числу. Какое бы число A мы не рассматривали в качестве предела найдется бесконечно много членов

последовательности, для которых не выполнено условие:

Ответ. Предел не существует.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

19

Кому нужен такой «формализм»?

Строгость, применяемая при изучении пределов, не является

излишней. Формализм спасает в трудных случаях. Найдите,

например, предел последовательности:

an = (−1)n

Варианты ответа:

1)Предел равен 1

2)Предел равен -1

3)Последовательность имеет два предела: +1 и -1

4)Последовательность не имеет предела

5)Предел равен среднему значению, т.е. нулю

©Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

20