lec3 ПРЕДЕЛ

3-3.

Основные теоремы о пределах

Единственность предела

Предел суммы, произведения, частного

Признаки существования предела

23 сентября 2007 г.

Единственность предела

Теорема. Последовательность не может иметь больше одного

предела.

Доказательство. Следует из того, что последовательность не

может одновременно приближаться к двум разным числам

одновременно.

Выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.

Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N,

начиная с которого одновременно будут выполнены два условия:

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

22

Предел суммы

Теорема. Предел суммы двух последовательностей равен

сумме пределов этих последовательностей:

Доказательство. Теорема будет доказана для функций.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

23

Вынесение постоянной за знак предела

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак

предела.

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

24

Пределы произведения и частного

Теорема. Предел произведения двух последовательностей

равен произведению пределов:

Теорема. Предел частного двух последовательностей равен частному пределов:

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

25

Монотонность и ограниченность

Теорема (признак существования предела). Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Последовательность ограничена и возрастает. Следовательно, она

имеет предел.

a 1

1

n 1 2n

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

26

Теорема о «двух милиционерах»

Теорема (признак существования предела). Если одна

последовательность заключена между двумя другими,

имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.

an ≤bn ≤ cn

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

27

Вычисление пределов

Пример

23 сентября 2007 г.

Пример

Вычислить пределы последовательностей:

© Иванов О.В., Кудряшова Л.В. 2005

29