line

1.Плоскость в пространстве R3.

Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнени-

åì:

которое называют общим уравнением плоскости.

Z

6

X

Пусть в пространстве R3 задана плоскость P . Выберем на плоско-

сти P точку M0(x0; y0; z0) и в некоторой точке плоскости P построим ненулевой вектор ~n = fA; B; Cg, перпендикулярный плоскости P .

Для того, чтобы произвольная точка M(x; y; z) пространства принад-

!

лежала плоскости P , необходимо и достаточно, чтобы M0M ? ~n, ò.å.

Уравнение (1.2) называется векторным уравнением плоскости. Т.к. ~n = fA; B; Cg и ~r ~r0 = fx x0; y y0; z z0g, то векторное

уравнение плоскости примет вид:

Уравнение (1.3) называют уравнением плоскости, проходящей че- рез заданную точку M0(x0; y0; z0).

Вектор ~n = fA; B; Cg называют нормальным вектором плоскости и в качестве ~n может быть взят лубой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости.

1

Пусть даны три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) è M3(x3; y3; z3) принадлежащие плоскости и не лежащие на одной прямой.

Введем текущую точку M(x; y; z) плоскости и организуем три векто-

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е.

Уравнение (1.4) это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M1; M2; M3.

Пусть в общем уравнении плоскости (1.1):

Ax + By + Cz + D = 0; A 6= B 6= C 6= D 6= 0;

перенесем D в правую часть равенства

Ax + By + Cz = D:

Разделим обе части уравнения на D:

Уравнение (1.5) это уравнение плоскости в отрезках на осях, где числа a; b; c имеют простой геометрический смысл:

a абсцисса точки пересечения плоскости с осью OX; b ордината точки пересечения плоскости с осью OY ; c аппликата точки пересечения плоскости с осью OZ.

Рассмотрим особенность расположения плоскости, заданной общим уравнением, если некоторые коэффициенты этого уравнения обращаются в ноль:

A = 0; By + Cz + D = 0 плоскость параллельна оси OX.

2

Çíàê 00+00 èëè 00 00 знак выбирается так, чтобы p > 0.

Углы ; ; это углы, между вектором нормали ~n и осями коор-

динат соответственно.

В нормальном уравнении плоскости сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицательным.

Умножим общее уравнение плоскости (1.1) на множитель :

Ax + By + Cz + D = 0;

тогда

A = cos ; B = cos ; C = cos ; D = p:

Возведем выражения cos ; cos ; cos в квадрат и сложим:

2 A2 + B2 + C2 = 1;

отсюда получим нормирующий множитель

Из уравнения D = p, следует, что знак нормирующего множителя

противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если D = 0, то знак выбирается произвольно.

Отклонением точки M от данной плоскости называется чис- ëî +d, åñëè M лежит по ту сторону от плоскости, куда идет положительное направление нормали, и d, если M лежит см другой стороны от данной плоскости, т.е.

4

Расстояние d от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости Ax + By +

Cz + D = 0 определяется по формуле:

Пример. Дана плоскость 3x 4y + 12z + 14 = 0 и точка M(4; 3; 1).

Найдите отклонение точки от плоскости.

Линейный угол, являющейся мерой двугранного угла между плоскостями, равен углумежду перпендикулярами к этим плоскостям.

Для двух плоскостей 1 è 2 заданных уравнениями:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0;

A2x + B2y + C2z + D2 = 0;

направления перпендикуляров к ним совпадают с направлениями векторов ~n1 = fA1; B1; C1g è ~n2 = fA2; B2; C2g.

Угол ' между плоскостями 1 è 2 это угол между их нор- мальными векторами ~n1 è ~n2, ò. å.

Условие параллельности двух плоскостей:

5

Данные плоскости перпендикулярны, когда их нормальные векторы ~n1 = fA1; B1; C1g è ~n2 = fA2; B2; C2g перпендикулярны, т.е.

6

1.1.Задания для самостоятельной работы на тему Плоскость в пространстве R3 .

1. Построить плоскости:

à) 5x 2y + 3z 10 = 0; á) 2z 7 = 0;

â) 3x + 2y z = 0; ã) 3x + 2y 6 = 0.

2. Построить плоскость 2x + 3y + 6z 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

3. Даны точки M1(0; 1; 3) è M2(1; 3; 5). Написать уравнение плоскости,

!

проходящей через точку M1 и перепендикулярной к вектору M1M2.

4.Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек A(3; 3=2; 3) и B(0; 3=2; 0).

5.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX и точку

M1(0; 2; 3).

6.Найти угол между плоскостями:

à) x 2y + 2z 8 = 0 è x + z 6 = 0; á) x + 2z 6 = 0 è x + 2y 4 = 0;

â) x 3z + 8 = 0 è 2x 6z 7 = 0;

ã) 2x + 3y z 3 = 0 è x y z + 5 = 0.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1( 1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскостям x 2y + 2z 4 = 0 и

x + 2y 2z + 4 = 0.

8.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1( 1; 2; 0)

èM2(1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости x + 2y + 2z 4 = 0.

9.Найти расстояние от точки M(5; 1; 1) до плоскости x 2y 2z+4 = 0.

10.Найти расстояние от точки M(4; 3; 0) до плоскости, проходящей че- рез точки M1(1; 3; 0), M2(4; 1; 2) è M3(3; 0; 1).

11.Найти расстояние между параллельными плоскостями

4x + 3y 5z 12 = 0 è 4x + 3y 5z 8 = 0.

7

8

2. Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой имеет вид:

2.1.Уравнение прямой с углавым коэффициентом

Угловой коэффициент прямой тангенс угла наклона прямой к оси OX, угол отсчитывается от оси OX к прямой против часовой стрел-

êè: k = tg .

Если = 0, то k = 0 прямая параллельна оси OX.

Если ! =2, то k ! 1 прямая перпендикулярна оси OX, не

имеет углавого коэффициента.

Возьмем произвольные две точки M1(x1; y1) è M2(x2; y2), тогда углавой коэффициент находится по формуле:

k = y2 y1 : x2 x1

9

Каждая прямая, не перпендикулярная к оси OX, определяется уравнением:

уравнение (2.13) уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если b = 0, то y = kx прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k.

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и b:

ò.ê. ~n S = A ( B) + B A = 0.

Вектор ~

S называют направляющим вектором прямой.

Найдем точку M0, пересечения прямой с осью ординат. Так как x = 0, то из уравнения (2.13) следует, что y = b, т.е. M0(0; b).

Т.е. k тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс; b

ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно описать любые прямые, кроме прямых параллельных оси ординат, которые описываются уравнением

x = a; a = const:

2.2. Уравнение прямой, проходящей через одну точку с угловым коэффициентом

Пусть точка M(x; y) лежит на прямой, которая проходит через точку

M1(x1; y1), тогда

k = y y1 x x1

10