Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский городской университет управления Правительства Москвы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matrix_i_opredeliteli

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2015

Размер:

118.19 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

1.Матрицы

Матрицей называется таблица состоящая из чисел вида

a11 a12	: : : a1j
0 a21 a22	: : : a2j
A = B . . ... .
B ai1 ai2	: : : aij
B	.	.. .
B . .		.. .
B	: : : amj
B am1 am2	: : : amj
B
@

: : : a1n			C	èëè A = aij ; (1.1)
...		.
: : :		a2n	1
.	..	.	C
			C
: : :		ain	C
			C
			C
			A
: : :		amn C

ãäå aij называются элементами матрицы,

i = 1; : : : ; m номер строки, j = 1; : : : ; n номер столбца.

Размером матрицы называется выражение (m n).

Равными матрицами называются матрицы

A	a11 a12 : : : a1j : : : a1n								C	(1.2)
A	= B . . ... .					...		.	C	(1.2)
	0 a21 a22		: : : a2j			: : : a2n			1
	B		.	.. .		.	..	.	C
	B . .			.. .			..	.	C
(m n)	B		: : : aij			: : : ain			C
(m n)	B ai1 ai2		: : : aij			: : : ain			C
	B								C
	@								A
	B am1 am2 : : : amj : : : amn C
B	b11 b12 : : : b1j				: : : b1l			C	;	(1.3)
B	= B . . ... .				... .			C	;	(1.3)
	0 b21 b22	: : : b2j			: : : b2l			1
	B	.	.. .		.	.. .		C
	B . .		.. .			.. .		C
(k l)	B	: : : bij			: : : bil			C
(k l)	B bi1 bi2	: : : bij			: : : bil			C
	B							C
	@							A
	B bk1 bk2 : : : bkj : : : bkl							C

если они одного размера и если они совпадают поэлементно, т.е.

(A = B) () (m = k; n = l; aij = bij) :

(1.4)

Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки:

A	= ( a11	a12	: : : a1j	: : : a1n	) :	(1.5)
(1 n)

Матрицей-столбцом называется матрица состоящая из одного столбца:

B	b11	C	:	(1.6)
B	= B .	C	:	(1.6)
	0 b21	1
	B	C
	B .	C
	B	C
(k 1)	B bk1	C
(k 1)	B bi1	C
	B	C
	@	A

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число ее строк равно числу ее столбцов и равно n, т.е.

A	a11 a12 : : : a1j : : : a1n					C	:	(1.7)
A	= B . . ... . ... .					C	:	(1.7)
	0 a21 a22	: : : a2j		: : : a2n		1
	B	.	.. .	.	.. .	C
	B . .		.. .		.. .	C
(n n)	B	: : : aij		: : : ain		C
(n n)	B ai1 ai2	: : : aij		: : : ain		C
	B					C
	@					A
	B an1 an2 : : : anj : : : ann					C

Элементы квадратной матрицы aij, у которых i = j называются

диагональными и образуют главную диагональ.

Симметричной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, симметричны относительно главной диагонали, равны, т.е. aij = aji.

A	a11 a12 : : : a1j : : : a1n					C	:	(1.8)
A	= B . . ... . ... .					C	:	(1.8)
	0 a12 a22	: : : a2j		: : : a2n		1
	B	.	.. .	.	.. .	C
	B . .		.. .		.. .	C
(n n)	B	: : : ajj : : : ajn				C
(n n)	B aj1 aj2	: : : ajj : : : ajn				C
	B					C
	@					A
	B a1n a2n : : : ajn : : : ann					C

Диагональной матрицей называется квадратная матрица вида:

(n n)			a11	0	: : :	0	C			{ aii	; i = j:
(n n)	=	B .		.	...	.	C	;	ò.å. aij =	{ aii	; i = j:
A	=	0	0	a22	: : :	0	1	;	ò.å. aij =	0;	i ̸= j;
		B					C
		@	0	0	: : : ann		A
			0	0	: : : ann

(1.9)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, все элементы которой равны единице:

		0	1	0	: : :	0	1		{
(n n)		B .		. ...		.	C		{	1;	i = j: (1.10)
E	=	@	0	1	: : :	0	A	;	ò.å. aij =	0;	i ̸= j;
		B	0	0	: : :	1	C

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны

íóëþ:	=	0	0	0	: : :	0	1	:	(1.11)
A	=	0	0	0	: : :	0	1	:	(1.11)
			0	0	: : :	0	C
(m n)		B .		. ...		.	C
		@					A
		B	0	0	: : :	0	C

На множестве матриц введем операции:

1. Алгебраическая сумма матриц. Суммой (разностью) двух матриц одинаковой размерности называется матрица, у которой элементы представляют сумму (разность) соответствующих элементов слагаемых матриц.

(mC n) = cij = (mA n)

(mB n) = aij bij

(1.12)

èëè

a11 a12 : : : a1j : : : a1n

b11 b12 : : : b1j : : : b1n

B . . ... .

... .

B . . ... .

...

0 a21

a22

: : : a2j

: : : a2n

0 b21

b22

: : : b2j

: : : b2n

.. .

B . .

ai2

: : : aij

: : : ain

bi2

: : : bij

: : : bin

B ai1

C B bi1

B am1 am2 : : : amj : : : amn C

B bm1 bm2 : : : bmj : : : bkn C

a11

b11

a12

b12 : : : a1j

b1j

: : : a1n

b1n

0 a21

b21

a22

b22 : : : a2j

b2j

: : : a2n

b2n

= B

...

(1.13)

B .

ai1

bi1

ai2

bi2

: : : aij

bij

: : : ain

bin

B am1

bm1 am2

bm2 : : : amj

bmj : : : amn

bmn C

Свойства операции сложения:

1: A + B = B + A;

2: (A + B) + C = A + (B + C); 3: 9O : A + O = A;

4: 9( A) : A + ( A) = ( A) + A = O:

Пример. Найдите матрицу C = A + B								D, ãäå

A = (	1	3	5	B = (	1	4	7	D = (	3	2	1
A = (	2	4	6 ) ;	B = (	2	5	8 ) ;	D = (	6	4	2 )

2. Умножение матриц на действительное число. Чтобы умножить матрицу A на действительное число нужно умножить все элемен-

ты матрицы A на это число , т.е.

			(mC n) = cij = (mA n) = aij
èëè
èëè							1
	a11 a12 : : : a1j : : : a1n
	0 a21 a22 : : : a2j : : : a2n
	B . . ... . ... .						C	=
	B ai1	ai2 : : : aij			: : : ain		C
	B		.	.. .	.	.. .	C
	B . .			.. .		.. .	C
	B						C
	B am1 am2 : : : amj : : : amn						C
	B						C
	@						A

0	a11 a12 : : : a1j : : : a1n
	a21 a22 : : : a2j : : : a2n
= B .		. ... . ... .
B	ai1	ai2 : : : aij			: : : ain
B		.	.	.. .	.	.. .
B .
B	am1 am2 : : : amj : : : amn
B
B
@

(1.14)

C : (1.15)

Свойства операции умножения на число:

1:	( A) = ( )A; ; 2 R;
2:	( + )A = A + A;

3: 9 = 1 : A = A 1 = 1 A = A; 4: (A + B) = A + B:

Пример. Найдите матрицу C = A, где

= 5; A = (	1	3	5
= 5; A = (	2	4	6 ) :

3.Умножение матриц. Две прямоугольные матрицы A и B можно перемножать, если количество столбцов первой матрицы A совпадает с количеством строк второй B, при этом нужно умножать строки первой матрицы на столбцы второй матрицы по правилу:

cik =

∑j

aijbjk;

ò.å.

cik = ai1bik + ai2b2k + : : : + aiibik + : : : + ainbnk:

(mC k) = cij =

(mA n)

(n B k)

(1.16)

Свойства операции умножения матриц:

1: A B ̸= B A;

2: (A B) C = A (B C);

3: (A B) = ( A) B = A ( B);

4: (A + B) C = A C + B C;

5: C (A + B) = C A + C B;

E : A

E = E

A = A;

6 9

7: A

= A A : : : A:

}

Пример. Найдите матрицу

= A

B, ãäå

(

)

A =

2 4 6

;

B = 0 4 6 1 :

Пример. Найдите матрицу A3, ãäå A = (

4 ) :

4. Транспонирование матриц. Транспонированием матрицы A называется переход от матрицы A к матрице AT , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица AT называется транспонированной относительно матрицы A :

A	a11 a12	: : : a1j		: : : a1n		C	;
A	= B . . ... . ... .					C	;
	0 a21 a22	: : : a2j		: : : a2n		1
	B	.	.. .	.	.. .	C
	B . .		.. .		.. .	C
(m n)	B	: : : aij		: : : ain		C
(m n)	B ai1 ai2	: : : aij		: : : ain		C
	B					C
	@					A
	B am1 am2	: : : amj		: : : amn		C

	AT	a11 a21 : : : ai1 : : : am1								C	: (1.17)
	AT	= B . . ... .					... .			C	: (1.17)
		0 a12	a22	: : : ai2			: : : am2			1
		B		.	.. .		.	.. .		C
		B . .			.. .			.. .		C
	(n m)	B	a2j	: : : aij			: : : amj			C
	(n m)	B a1j	a2j	: : : aij			: : : amj			C
		B								C
		@								A
		B a1n a2n : : : ain : : : amn C
Свойства операции транспонирования:
1: (AT )T = A;
2: (A + B)T = AT + BT ;
3: ( A)T = AT ;
4: (AT B)T = BT AT ;			симметричная матрица:
5: A = A; åñëè A			симметричная матрица:
Пример. Найдите матрицу AT , ãäå A = (						2	4		6 ) :
						1	3		5

2.Определители

Определитель это число, которое считается для квадратных матриц по правилам:

1. Определитель 1-ãî порядка.

	(1 A	1) = (a11) ) detA = 1 = a11:
			5 ) :
Пример. Вычислите определитель матрицы A = (

2. Определитель 2-ãî порядка.

(

a11

a12

)

a21

a22

a11

a12

èëè

detA = 2

= a11a22 a21a12;

a21

a22

= ~

~ ~ :

Пример.

Вычислите определитель матрицы A = (

4 ) :

3. Определитель 3-ãî порядка.

a11 a12 a13

a21

a22

a23

)

(3 3)

@ a31

a32

a33 A

a11

a12

a13

detA =

3 =

a21

a22

a23

a31

a32

a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

a31a22a13

a21a12a33

a11a32a23;

èëè

~ ~

		~ ~	~ ~			~			~		:

	~			~				~


							1	5	2
Пример. Вычислите определитель матрицы A =					0		2	3	4	1		:
					@		3	5	7	A
					@		3	5	7	A

4. Определитель n-го порядка.

Инверсия это нарушение порядка следования.

Подстановка четная, если сумма инверсий в ее столбцах четная.

Подстановка нечетная, если сумма инверсий в ее строках нечетная.

Определителем n-го порядка называется сумма n! членов, взя-

тых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку и со знаком минус, если его индексы составляют нечетную подстановку:

n			a11	a12
		.		.
			a21	a22
	=		a21	a22


			an1	an2
			an1	an2

:: : a1n

:: : a2n

... .

:: : ann

	∑
=	( 1) ( )a		a		: : :	a ;(2.18)
=	( 1) ( )a		a		: : :	a ;(2.18)

		1 1		2 2		n n
		1 1		2 2		n n

где ( ) число инверсий в перестановке из номера столбцов элементов матрицы.

Свойства определителей:

10: При трансформировании матрицы величина определителя не меня-

åòñÿ.

jAj = jAT j:

20: Если одна из строк или столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

a11

a12

: : : 0

a11

a12

...

a21

a22

: : : a2n

: : : 0

: : : a1n

. .

= 0

èëè

a21

a22

: : :

a2n

. .

an1 an2 : : : 0

: : : ann

an1

an2 : : : ann

= 0:

30: Если один из определителей получен из другого, перестановкой двух строк, то определители отличаются друг от друга только знаком.

			a11 a12 : : : a1n																a11 a12 : : : a1n
			a21 a22 : : : a2n																ai1 ai2 : : : ain
							.			..		.	.							.				.	..		. .
		.					.					.	.			=				.				.			. .
			ai1 ai2 : : : ain													=			a21 a22 : : : a2n												:
			ai1 ai2 : : : ain																a21 a22 : : : a2n
							.			.	..		.							.				.	.	.. .
		.					.				..		.							.				.		.. .
			an1 an2 : : : ann																an1 an2						: : : ann
			an1 an2 : : : ann																an1 an2						: : : ann



40: Определитель,					содержащий две одинаковые																		строки, равен									íóëþ.
														a11			a12		: : : a1n
														a21 a22 : : : a2n
																		.	..		. .
													.					.			. .
						i		строка						ai1 ai2 : : : ain
						i								ai1 ai2 : : : ain
																			.	.. .					= 0:
													.					.		.. .
						j	строка							ai1 ai2					: : : ain
														ai1 ai2					: : : ain
																		.	... .
													.					.	... .

														a	n1		a	n2	: : : a					nn
															n1			n2						nn


50: Если все элементы какой-нибудь																строки умножены												на число , то и
весь определитель умножится на .
		a11		a12 : : : a1n																			a11 a12 : : : a1n
		a21		a22 : : : a2n																			a21 a22 : : : a2n
						.	..		. .																		.	..		.		.
	.					.			. .					=								.					.			.		.	:
		ai1 ai2 : : : ain												=					=				ai1 ai2 : : : ain										:
		ai1 ai2 : : : ain																					ai1 ai2 : : : ain
						.	.	.. .																			.	.	..			.
	.					.		.. .														.					.		..			.
		an1		an2 : : : ann																			an1		an2 : : : ann
		an1		an2 : : : ann																			an1		an2 : : : ann



60: Определитель,				содержащий две											пропорциональные													строки, равен						íó-
ëþ.
	a11	a12 : : : a1n												a11 a12 : : : a1n
	a21	a22 : : : a2n												a21 a22 : : : a2n
		.		..		. .												.	..			. .
.		.				. .							.					.				. .									Â ñèëó
	ai1	ai2	: : : ain											ai1 ai2 : : : ain																	Â ñèëó
	ai1	ai2	: : : ain									=		ai1 ai2 : : : ain												=		{свойства					4		0	= 0:
	ai1	ai2	: : : ain											ai1			ai2		: : :				ain					{свойства					4			}

		.		.	.. .													.	.		.. .
.		.			.. .								.					.			.. .
	an1	an2	: : : ann											an1 an2					: : : ann
	an1	an2	: : : ann											an1 an2					: : : ann

70: Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде

суммы двух слагаемых, то и сам определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей,отличающихся друг от друга только элементами, стоящими в i-ой строке (это верно и

для суммы m слагаемых).

	a11
	.
	a21
	a21
	.
	.
	ai1 + bi1

an1

a12	: : :
a22	: : :
.		...
ai2 + bi2	: : :
.		...
an2	: : :
		a11
=	.
=		a21
		a21

	.
		ai1
		ai1



		an1
		an1

a1n

a2n

ain + bin

ann

a1n

a11

a12

a12 : : :

: : : a1n

. .

a22 : : : a2n

a21

a22

: : : a2n

.. .

ai2 : : : ain

bi1

bi2

: : : bin

an2

an2 : : : ann

an1

: : : ann

80: Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

	a11	a12	: : : a1n
	a21 a22 : : : a2n
	.	.	..		. .
	.	.			. .	= 0;
	ai1 ai2 : : : ain					= 0;
	ai1 ai2 : : : ain
	.	.	.	.. .
	.	.		.. .
	an1 an2 : : : ann
	an1 an2 : : : ann

åñëè
åñëè

A1 =	(a11;	a12;	: : : ;	a1n)
A2 =	(a21;	a22;	: : : ;	a2n)

		s
.		∑	Ak; k 2 R:
Ai = (ai1;	ai2	; : : : ; ain) ; ò.å. Ai =	Ak; k 2 R:
.		k=1
.
An = (an1; an2; : : : ; ann)
Следовательно,
∑	s = fВ силу свойства 60;		s = 0g = 0:
=	s = fВ силу свойства 60;		s = 0g = 0:
1 s n	1

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.04.2015441.68 Кб34lec6 ПРОИЗВОДНАЯ.pdf
#
19.04.2015528.84 Кб26lec7 ГРАФИКИ.pdf
#
19.04.2015188.01 Кб19line.pdf
#
19.04.201552.06 Кб17Marketing.docx
#
19.04.2015418.82 Кб54Marketing_Otvety_na_voprosy_docx.doc
#
19.04.2015118.19 Кб10Matrix_i_opredeliteli.pdf
#
23.09.201991.27 Кб5moi_otvety_na_voprosy.docx
#
11.11.2019333.31 Кб3New арт-менеджмент.doc
#
23.11.201935.04 Кб2Osnovnye_etapy_razvitia_ekonomiki_Yaponii.docx
#
24.09.2019261.12 Кб5otvety_ekonomanaliz.doc
#
23.09.2019112.22 Кб10otvety_ekzamen.docx