Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский городской университет управления Правительства Москвы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matrix_i_opredeliteli

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2015

Размер:

118.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

90: Определитель не меняется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и

тоже число.	n 1
	n 1
	∑
	bij = aij + k aik:
	k=1

Согласно свойству 70 разобъем определитель на сумму определителей:

∑i 1

i = + k = fВ силу свойства 60; k = 0g = :

k=1

100: A B = A B:

называется любой элемент определи-

3.Миноры и алгебраические дополнения.

Выделим в опреденителе n-го порядка какой-нибудь элемент aij .

a11

a12

: : : a1j

: : : a1n

n =

. .

a21

a22

: : : a2j : : : a2n

... . ... .

ai1

ai2

: : : aij

: : : ain

расположен

Вычеркнем i-строку и j-столбец, на пересечении которых

an2

an1

: : : anj : : : ann

элемент aij.

Полученный определитель (n

1)-го порядка называется дополни-

тельным минором Mij к элементу aij определителя n. Минором 1-го порядка M1

òåëÿ.

Минором n-го порядка Mn называется определитель данной матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя n-го порядка называется число:

Aij = ( 1)i+jMij:

	Пример. Найдите минор M32 и алгебраическое дополнение A32 ìàò-
		2	3	4 1 :
ðèöû A = 0		2	3	4 1 :
3			5	8
@				A
3			5	7
	Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой
строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
	n = ai1Ai1 + ai2Ai2 + : : : + ainAin; 1 i n:									1
	Пример. Вычислите определитель матрицы A =				0	0	4	0	3	1	:
					B	1	2	4	7	C
					B	6	3	1	1	C
					B					C
					@	2	4	3	2	A
						2	4	3	2

Способы вычисления определителя:

1.По правилам.

2.Способ понижения порядка, т. е. разложение по строчке или столб-

öó.

4.Обратная матрица.

Матрица порядка n называется вырожденной, если ее определитель

равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Матрица A 1 называется обратной к невырожденной матрице A,

åñëè

A A 1 = A 1 A = E; A ≠ 0:

Для каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Для вырожденных матриц обратной матрицы не существует.

a11

BB a21

B .

A = B B ai1 B @ .

an1

0 A11 A21

B A12 A22

B . .

=A2jBB A1j

@ . .

A1n A2n

a12 a22

ai2

an2

1 =

:: :

...

:: :

...

:: :

: : : a1j : : : a1n

C ; A =

(aij) ;

A = :

... .

...

: : : a2j

: : : a2n

... .

...

: : : aij

: : : ain

(n n)

: : : anj : : :

ann C

A11 A21 : : : Ai1 : : : An1

1 B .

. ... .

... .

0 A12

A22 : : : Ai2

: : : An2

.. .

B .

A2j : : : Aij

: : : Anj

B A1j

B A1n A2n : : : Ain : : : Ann C

Ai1 : : :

An1

Ai2 : : :

An2

. ...

C ;

ò.å.

A 1 =

) =

Aji

: : :

(

)

Aij

Anj

: : :Ain Ann

где определитель матрицы A;
	Aji алгебраическое дополнение элемента aji матрицы A.			2	4	1	:
	Пример. Найдите матрицу, обратную к матрице A =	0	1
		@	2	4	3	A
			3	1	5

5.Ранг матрицы.

Рангом матрицы называется порядок наибольшего минора, входящего в матрицу, отличного от нуля. Обозначают rang.

Для прямоугольных матриц максимальный ранг равен минимальному из значений строк и столбцов, т.е. max rang = min(m; n).

Для квадратных матриц размером (n n) максимальный ранг не может превышать n, ò.å. rang n.

Способы вычисления ранга матрицы:

1. Метод окаймляющего минора:

	a11	a12	: : : a1r		a1r+1	: : : a1n		C
B . . ... .					. ... .			C
0	a21	a22	: : : a2r		a2r+1	: : : a2n		1
B								C
B			.	.. .	.	.	.. .	C
B . .				.. .	.		.. .	C
A = B	ar1	ar2	: : : arr		arr+1	: : : arn		C
B		ar+12	: : : ar+1r		ar+1r+1	: : : ar+1n		C
B ar+11		ar+12	: : : ar+1r		ar+1r+1	: : : ar+1n		C
B								C
@								A
B am1		am2	: : : amr		amr+1	: : : amn		C

а) Если все элементы aij = 0 , òî rangA = 0.

б) Предположим, что a11 ≠ 0, ò.å. M1 ≠ 0, тогда rangA 1.

Ранг равен единице, если существует хотя бы один элемент отлич- ный от нуля, но все миноры второго порядка M2 равны нулю.

Отметим, что если Mr+1 = 0, òî Mr+2 = 0.

â) Åñëè M2 ≠ 0, òî rangA 2.

ã) Åñëè M3 ≠ 0, òî rangA 3. è ò. ä.

ä) Åñëè Mr ≠ 0, òî rangA r, íî Mr+1 = 0, поэтому rangA = r.

Метод удобен для прямоугольных матриц небольшого размера.
Пример. Найдите ранг матрицы A =	0	2	3	8	7	1	:
	@	1	2	3	0	A
		1	1	1	1
		1	1	1	1

2. Способ элементарных преобразований матрицы:

а) умножение строки или столбца на действительное число ≠ 0.

б) перемена строк или столбцов.

в) отбрасывание нулевой строки или нулевого столбца.

г) прибавление к каждому элементу одной строки или столбца соответствующих элементов другой строки илистолбца, умноженных на любое число.

д) транспонирование.

Теорема. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к каноническому виду, т.е. на главной диагонали стоят нули и единицы, а все остальные элементы матрицы равны нулю.

Число единиц на главной диагонали равно рангу матрицы.

0 1

1 3 5 4

Пример. Найдите ранг матрицы A = @ 2 1 3 1 A :

8 3 19 11

6.Задания для самостоятельной работы.

1.	Найдите матрицу C = AT						3 B, ãäå
					(					)						0		3
						1	2		3					@		0		1	A
			A =			0 1 2					;		B = 0 5 6 1 :
2.	Найдите матрицу C =					5 A + 2 B, ãäå
		A = 0 01					0	1		1 ;			B = 0			1		1	0	1 :
		A = 0 01					0 1			1 ;			B = 0			1	2		0	1 :
			@			0	2	1		A				@		0		0	1	A
3.	Найдите матрицу C = A B, где
			@		1		3	2		A				@		2		5	6	A
			@		2		5	3		A				@		1		3	2	A
		A = 0			3 4 1					1 ;			B = 0			1		2	5	1 :
4.	Найдите матрицу C = A B, где
			@	5		8	4		A					@	3			2	5		A
			@	4		7	3		A					@	9			6	5		A
	A = 0			6 9 5					1 ;			B = 0			4 1 3						1 :
5.	Найдите матрицу C = A B, где										1					0						1
		0									1							1	3		2
			2			3	4											3	2		1
	A =	@	1 2				3 45						;	B =				4 1 1					:
		@									A					B						C
																@						A
			1			2	3			1						B		2	0		1	C
6.	Найдите матрицу D = (A B)T										C2, ãäå								(			)
	(					)						0		5					(			)
		3	4	2								2		0							1	3
	A =	1 0 5									@			A			C =				0 4
	A =	1 0 5				;	B = 0					1 3 1 ;					C =				0 4		:
7.	Найдите матрицу A3, ãäå A =								0		3		1	2	1		:
									@		1	1		1	A
									@		2		1	0	A

8.	Найдите матрицу A5, ãäå A = (	5	2 ) :
		4	1	0				1
9.	Вычислите определитель матрицы A =			0	5	1	2	1	:
				@	1	2	0	A
				@	0	3	1	A

10. Вычислите определитель матрицы A =	0		3	75		11				4		1 :
	B	2		6		1				2		C
	B	4		6		1				2		C
	B											C
	@	5		9		2				7		A
11. Вычислите определитель матрицы A =	0	0	2	0	1	:
	@	5	6	3	A
	@	7	4	5	A		1
12. Вычислите определитель матрицы A =	0	2		3	1		1			:
	@	1	1		1		A
	@	4		1	5		A
13. Вычислите определитель матрицы A =	0	2	3	4	1	1			:
	B	1	2	3	4	C
	B	4	1	2	3	C
	B					C
	@	3	4	1	2	A
14. Вычислите определитель матрицы A =	0	7		6		3					7		1	:
	B	3		5		7					2		C
	@	55		46		35					54		A
	B	55		46		35		1			54		C
15. Вычислите определитель матрицы A =	0	4		2	3	2		1			:
	B	2		3	4	1		C
	@	a			c	d		A
	B	3	b1		4	3		C
16. Вычислите определитель матрицы A =	0 b		3	1	4		1		:
		a	1	2	0		C
	B d		1	1	0		C
	B						C
	@	c	0	1	2		A
		c	0	1	2

									0	03		6	3	5		1	1
									0	03		2	4	1		0	1
									B								C
17.	Вычислите определитель матрицы							A =	B	53		1	4	3		2	C		:
								A =	B	53		8	7	6		1	C		:
									B								C
									@								A
									B	1		0	3	4		0	C
18.	Вычислите определитель матрицы A =								0 x			x	1	2		1		:
									B	5x		1	2	3		C
									@	1		2	x	3		A
									B x			1	2	2x C
19.	Решите уравнение:		x	x2		1	= 0:
			9	9		x
			x			1

20.	Найдите определитель			матрицы			C = 2 A				B	, ãäå
							C = 2 A				B
	A = 0		2	1	1				0	2			0	1
	A = 0		1 0 2			1	; B =		0	3		11 1		1		:
	@		3	1	0	A			@	0		2	1	A
21.	Найдите определитель матрицы C = A B, где
	A = 0	2			1	1 ; B = 0				6		1	4
	A = 0	3 21			2	1 ; B = 0				1 1			1 1 :
	@	1		2	1	A		@		8	0	3	7	A
22.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0	5	2	4		1 :
											@	2	1		1
											@	7	3	4		A
23.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0	2	1	0	1		:
											@	1	0	0	A
											@	1	3	1	A
24.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0	2	3	5	1		:
											@	0	1	3	A
											@	3	5	7	A			1
25.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0	2	1			1		1		:
											@	1	2			1		A
											@	1	7			3		A

26.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0		3		8		01		4	1	:
											B		1		2		1		2	C
											B		3		8		1		6	C
											B									C
											@		2		2		4		3	A
27.	Найдите матрицу, обратную к матрице A =										0		1			2	4	1	:
											@		2			4	3	A
											@		3			1	5	A
28.	Вычислите матрицу B = 11(A 1)T + AT , ãäå
			@	1	2		3	A
	A =		@	1	0		4	A		:
	A =		0	0	1		2	1		:
29.	Найдите ранг матрицы A =	0		1	0	1	2	1		:
		@		2	1	4	5	A
		@		1	2	4	0	A
30.	Найдите ранг матрицы A =	0		1	2	1	2	1		:
		B		1	1	1	1	C
		B		0	1	1	0	C
		B						C
		@		3	1	3	1	A
		0		2		1		1		1
	Найдите ранг матрицы A = @			2		1		1
31.	Найдите ранг матрицы A = @			34		13		11 A :						1
32.	Найдите ранг матрицы A =	0		2		3		0			1		6	1		:
		B		0		5		1			1		5	C
		@				3		1			3		0	A
		B		31		1		0			4		6	C
33.	Найдите ранг матрицы A =	0		2	11		1	3	1			:
		B		1	6		1	6	C
		B		3	6		5	6	C
		B							C
		@		1	1		2	5	A
34.	Найдите ранг матрицы A =	0		4	3	1		7				5	1		:
		B		2	0	3		5				1	C
		@		0	3		5		3			3	A
		B		2	3		2	2				4	C

7.	Ответы
		@			1			3		A
1.	C =	@			13		17			A	:
1.	C =	0			13		17			1	:
		0			3			7		1
		0								1
	C = @			2		2			5
2.				7		4			5
				0		10			3 A :
		0		1		5		5	1
3.	C = @			3		10	0		A :
	C = @			2		9		7	A :
		0		11			22	29			1
4.	C =	0			9		27	32			1	:
		@		13			17	26			A
		0			12	19			2		1
5.	C = @				16		5			3	A :
	C = @				6		5		8		A :
6.	D =	(			9		13	)		:
					9		13
				22		9
				22		9		1
7.	A3 =		0		0	7	0	1		:
			@		7	0	0	A
			@		0	0	7	A		)
8.	A5 =		(		304		61			)	:
					304		61
					305		62
					305		62
9.	A =				15:
10. A =					9:
11. A = 8:
12. A = 40:
13. A = 160:
14. A =					10:
15. A = 8a + 15b + 12c												19d:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.04.2015441.68 Кб34lec6 ПРОИЗВОДНАЯ.pdf
#
19.04.2015528.84 Кб26lec7 ГРАФИКИ.pdf
#
19.04.2015188.01 Кб20line.pdf
#
19.04.201552.06 Кб17Marketing.docx
#
19.04.2015418.82 Кб54Marketing_Otvety_na_voprosy_docx.doc
#
19.04.2015118.19 Кб10Matrix_i_opredeliteli.pdf
#
23.09.201991.27 Кб5moi_otvety_na_voprosy.docx
#
11.11.2019333.31 Кб3New арт-менеджмент.doc
#
23.11.201935.04 Кб2Osnovnye_etapy_razvitia_ekonomiki_Yaponii.docx
#
24.09.2019261.12 Кб5otvety_ekonomanaliz.doc
#
23.09.2019112.22 Кб10otvety_ekzamen.docx