line

èëè

уравнение (2.14) уравнение прямой, проходящей через одну точку с заданным угловым коэффициентом.

2.3.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точ- ки.

Возьмем произвольные две точки M1(x1; y1) è M2(x2; y2), тогда углавой коэффициент находится по формуле:

k = y2 y1 : x2 x1

Используя уравнение (2.14) получим

y y1 = y2 y1 (x x1); x2 x1

или, преобразуя, получим

уравнение (2.15) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

2.4. Уравнение пучка прямых с центорм в точке M(x0; y0).

Уравнение пучка прямых записывают в виде:

ãäå A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 уравнения двух прямых, пересекающихся в точке M(x0; y0).

Прямая x = x0 не входит в пучок.

11

2.5.Уравнение в отрезках.

Пусть дано уравнение (2.11) Ax + By + C = 0, где A 6= 0; B 6= 0; C 6= 0:

Преобразуем его:

Ax + By = C;

xy

+= 1:

CA CB

(2.17)

уравнение (2.17)

Геометрический смысл коэффициентов a и b это отрезки, которые отсекает прямая на осях координат соответственно.

2.6.Нормальное уравнение прямой.

Пусть дана прямая. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярно к данной. Эта прямая называется нормаль.

Точка P точка пересечения данной прямой с нормалью. Угол угол от оси OX до направления нормали. Обозначим через p расстояние от начало координат до прямой.

12

Тогда

Уравнение (2.18) нормальное уравнение прямой.

Знак + или знак выбирается так, чтобы p > 0.

В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицателен.

2.7.Каноническое уравнение прямой.

~

Пусть точка M0 принадлежит прямой L. Пусть S это направляющий вектор прямой L. Выберем текущую точку M.

Теперь выведем уравнение в координатной форме. Нам даны: M(x; y),

уравнение (2.20) каноническое уравнение прямой.

13

2.8.Параметрическое уравнение прямой.

уравнение (2.21) параметрическое уравнение прямой в вектор-

уравнение (2.22) параметрическое уравнение прямой.

2.9.Угол между двумя прямыми.

Рассмотрим две прямые с угловыми коэффициентами:

y = k1x + b1 è y = k2x + b2;

ãäå k1 = tg 1, k2 = tg 2.

Тогда угол между двумя прямыми ' будет равен:

14

уравнения (2.24) и (2.25) условие параллельности двух прямых.

Прямые перпендикулярны, если угол между ними 2 , ò.å.

уравнения (2.26) и (2.27)

2.10.Отклонение точки.

Отклонение точки M от данной прямой называется число +d, åñëè M лежит по ту сторону прямой, куда идет положительное направ-

найти отклонение какой-либо точки

нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M , ò.å.

= x cos + y sin p:

2.11.Расстояние от точки до прямой.

Приведем общее уравнение прямой (2.11) Ax + By + C = 0 к нормальному виду x cos + y sin p = 0:

Оба уравнения определяют одну и ту же прямую, следовательно, коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Умножим общее уравнение (2.11) на множитель :

Ax + By + C = 0;

A = cos ; + B = sin ; C = p:

15

Возведем первые два уравнения в квадрат и сложим:

где нормирующий множитель.

Из третьего уравнения C = p следует, что знак нормирующего

множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе части его умножают на нормирующий множитель, знак выбирают противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Расстояние от точки M(x0; y0) до прямой (2.11) равно:

2.12. Деление отрезка в данном отношении .

= M1M : MM2

p

Длина отрезка: d = (x2 x1)2 + (y2 y1)2:

16

Координаты (x; y) точки M, делящей отрезок M1M2 â îòíî- шении , находятся по формулам:

17

2.13.Задания для самостоятельной работы на тему Прямая на плоскости .

1.Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная

ååугловой коэффициент k и отрезок b отсекаемый ею на оси OY :

à) k = 2=3; b = 3;

ã) k = 3=4; b = 3.

2. Дана прямая 2x + 3y + 4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(2; 1) и:

а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно к данной прямой.

3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 2x 3y + 5 = 0, 3x+2y 7 = 0 и одна из его вершин A(2; 3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

4. Дано уравнение стороны прямоугольника x 2y = 0 и уравнение одной из его диагоналей 7x + y 15 = 0. Найти вершины прямоугольника.

5.Найти проекцию точки P ( 8; 12) на прямую, проходящую через точ- ки A(2; 3) и B( 5; 1).

6.Найти точку M1 симметричную точке M2(8; 9) относительно прямой проходящей через точки A(3; 4) и B( 1; 2).

7.Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3) è M3(3; 4). Составить уравнения его сторон.

8.Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2( 1; 1) è M3(3; 2). Составить уравнения его высот.

9.Даны вершины треугольника A(1; 1), B( 2; 1) и C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B.

10.Определить угол между двумя прямыми:

à) 5x y + 7 = 0 è 3x + 2y = 0;

á) 3x 2y + 7 = 0 è 2x + 3y 3 = 0;

18

а) имеют одну общую точку; б) параллельны; в) совпадают.

3x 4y 12 = 0 от координатного угла.

16. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P (2; 3)

и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

19