lec6 ПРОИЗВОДНАЯ
.pdf
Производные тригонометрических функций
Функция:
Производная:
y = sin x
y′ = cos x
Доказательство. |
|
|
∆y |
|
|
|
|
|
sin(x +∆x) −sin x |
|
|||||||
|
|
|
y′ = lim |
= lim |
= |
||||||||||||
|
|
|
∆x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
|
∆x |
|
|
||||||
|
2 sin |
∆x |
|
∆x |
|
|
|
sin ∆x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∆x |
|
|
||
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
lim cos x + |
|
|
= cos x |
|||||
|
|
∆x |
|
∆x |
|
2 |
|||||||||||
∆x→0 |
|
|
|
∆x→0 |
|
∆x→0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
31
Производные тригонометрических функций
|
|
|
|
|
|
|
Функция: |
y = cos x |
|||
|
Производная: |
y′ = −sin x |
|||
|
Функция: |
y = tg x |
|||
|
Производная: |
y = |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
cos x |
||
Доказательство. Самостоятельно.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
32
Таблица производных
Функция Производная
y = C y = xn
y ln x y = sin x
y= cos x
Итак далее…
y′ = 0
y′ = n xn−1
y′ = 1 x
y′ = cos x y′ = −sin x
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
33
6-4.
Дифференциал
Определение Геометрический смысл
Свойства
23 сентября 2007 г.
Приращение функции
Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой окрестности точки x X. Тогда
существует конечная производная:
∆y y′ = lim ∆
∆x→0 x
На основании теоремы о связи предела и б.м. можно записать:
∆y
∆x = f ′(x) +α(∆x)
∆y = f ′(x) ∆x +α(∆x) ∆x
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
35
Дифференциал
Дифференциал функции (differential) есть главная (линейная)
часть приращения функции, равная произведению производной
на приращение аргумента:
dy = f ′(x) ∆x
Или |
dy = f ′(x) dx |
|
Если x – независимая переменная, то ∆x = dx
Дифференциал
∆y = f ′(x) ∆x +α(∆x) ∆x
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
36
Пример нахождения дифференциала
Найти дифференциал для функции:
y = 3x2 −4x
Решение.
Находим производную:
y′ = 6x −4
А затем дифференциал:
dy = y′dx = (6x −4)dx
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
37
Геометрический смысл
Геометрически дифференциал есть приращение функции до
касательной.
dy = y′dx = tgα ∆x
y=f (x)
f (x+∆ x)
|
|
f (x) |
|
α |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
x+∆ x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
38
Свойства
1.Дифференциал постоянной:
2.Дифференциал суммы:
dC = 0
d (u +v) = du +dv
3. |
Дифференциал произведения: d (uv) = u′dv +v′du |
|||||
4. |
Дифференциал частного: |
u |
|
u′dv −v′du |
||
|
|
d |
|
|
= |
|
|
|
|
v |
|
|
v2 |
Свойства дифференциала связаны со свойствами производной.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
39
Дифференциал истории
Л. Н. Толстой
«Война и мир»
Обещанное продолжение …
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать
его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а
всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в
деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
40