lec6 ПРОИЗВОДНАЯ
.pdf
Ньютон Исаак
Ньютон Исаак (1643-1727) –
английский физик и математик, член
Лондонского королевского общества (с
1672) и его президент (с 1703).
Им начато построение
математического анализа на основе
учения о пределе, подготовлены
основы для дифференциального и интегрального исчисления. В физике обосновал справедливость закона всемирного тяготения, законы движения, теорию света и др.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
11
Непрерывность и дифференцируемость
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке x Df, то в этой точке функция непрерывна.
Доказательство. Если существует производная, тогда
lim ∆y |
|
|
∆y |
∆x |
|
|
lim |
|
|||||
∆x→0 |
∆x→0 ∆x |
|
|
|||
|
∆y |
lim(∆x) = y′0 = 0 |
||||
= lim |
|
|
||||
∆x |
||||||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
|||
Это означает, что функция в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
12
6-2.
Нахождение производных
Схема нахождения производной Правила дифференцирования
Производная сложной и обратной функций Производная неявной функции
23 сентября 2007 г.
Нахождение производной по определению
1.Для фиксированного значения x аргумента функции находится исходное значение функции y = f (x).
2.Аргументу x дается приращение ∆x и находится новое
значение функции f (x + ∆x).
3. Вычисляется приращение функции ∆y = f (x + ∆x) f (x).
4. Находится предел отношения:
∆y
∆x→0
lim ∆x = y′(x)
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
14
Производная постоянной
Функция: y = C
1.Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции y = f (x) = C.
2.Аргументу x даем приращение ∆x и находим новое значение
функции f (x + ∆x)= C.
3.Вычисляем приращение функции:
∆y = f (x + ∆x) f (x) = C C = 0.
–
4. Находим предел отношения:
C′ = lim |
∆y |
= lim |
0 |
= 0 |
|
∆x |
∆x |
||||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
15
Производная x2
Функция: y = x2
1.Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции y = f (x) = x2.
2.Аргументу x даем приращение ∆x и находим новое значение
функции f (x + ∆x)= (x + ∆x)2.
3.Вычисляем приращение функции:
|
∆y = f (x + ∆x) – f (x) = x2 + 2x∆x + ∆x2 |
– x2. |
||||
4. Находим предел отношения: |
|
|
||||
lim |
∆y |
= lim |
2x∆x +∆x2 |
= lim (2x +∆x) = 2x |
||
|
|
|||||
∆x |
∆x |
|||||
∆x→0 |
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
16
Производная суммы
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна
сумме производных:
(u +v)′ = u′+v′
Доказательство. |
|
u(x +∆x) +v(x +∆x) −(u(x) +v(x)) |
|
|||||||||
(u(x) +v(x))′ = lim |
|
= |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
u(x +∆x) −u(x) |
|
v(x +∆x) −v(x) |
= |
|
||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||
|
∆x |
|
|
∆x |
|
|
||||||
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
∆u |
+ lim |
∆v |
= u′(x) +v′(x) |
|
|
|
|||||
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
17
Производная произведения
Производная произведения двух дифференцируемых функций
находится по формуле:
(uv)′ = u′v +uv′
Доказательство.
(u(x) v(x))′ |
= lim |
u(x +∆x) v(x +∆x) −u(x) v(x) |
= |
||||||
|
|
|
|
∆x |
|||||
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
||
|
∆v |
+v |
∆u |
+ |
∆u |
∆v |
|
= uv′+vu′+u′ lim ∆v = |
|
= lim u |
∆x |
∆x |
∆x |
|
|||||
∆x→0 |
|
|
|
∆x→0 |
|
||||
= u′v +uv′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
18
Производная частного
Производная частного двух дифференцируемых функций
находится по формуле:
u ′ |
= |
u′v −uv′ |
||
|
|
|
|
|
|
v2 |
|||
v |
|
|||
Доказательство. Самостоятельно.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
19
Производная сложной функции
Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть
дифференцируемая функция от x, то производная сложной
функции существует и равна производной внешней функции,
умноженной на производную внутренней функции:
y′ |
y′(u) u′(x) |
|
x |
u |
x |
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = lim ∆y |
= lim |
∆y |
∆u |
= lim |
∆y |
lim |
∆u = y′u′ |
||
|
|
||||||||
x |
∆x→0 ∆x |
∆x→0 |
∆u ∆x |
∆u→0 ∆u ∆x→0 ∆x |
u x |
||||
|
|
∆u→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
20