lec6 ПРОИЗВОДНАЯ
.pdf
Производная обратной функции
Производная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции: 1
x′y = yx′
Здесь y = f (x) и x = g (y) – две взаимно-обратные дифференцируемые функции, y'x ≠ 0.
Доказательство. |
|
∆x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||
x′ = lim |
= lim |
|
= |
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
∆y→0 |
∆y |
∆y→0 ∆y |
lim |
|
∆y |
|
y′ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
∆x |
|
∆x |
|
||||||
|
|
|
|
|
∆x→0 |
|
||||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
21
Производная неявной функции
Если F (x, y) = 0, не разрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию x, то y называют неявной функцией
(implicit function) от x.
Чтобы найти производную y' этой неявной функции, нужно
уравнение продифференцировать по x, считая y как функцию от x. Из полученного уравнения выразить y'.
Пример. x2 + y2 − xy = 0 |
Ответ. |
2x − y |
|
2x +2 yy′−( y + xy′) = 0 |
y′ = |
||
|
|||
x −2 y |
|||
|
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
22
Производные высших порядков
Функция f '(x) есть производная первого порядка функции f (x).
Ее производная есть производная второго порядка:
( f '(x))' = f '' (x)
Производная n –го порядка обозначается f (n)(x) и находится как
производная от функции f (n-1)(x).
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
23
6-3.
Производные элементарных функций
Производные логарифмической функции Производная показательной функции
Производная степенной функции
Производные тригонометрических функций
Таблица производных
23 сентября 2007 г.
Производная логарифмической функции
Функция:
Производная:
Доказательство.
y = ln x
1 y′ = (ln x)′ = x
1. Для фиксированного значения x аргумента функции находим исходное значение функции:
f (x) = ln x
2. Аргументу x даем приращение ∆x и находим новое значение
функции: |
f (x +∆x) = ln(x +∆x) |
|
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
25
Производная логарифмической функции
3. Вычисляем приращение функции:
∆y = f (x +∆x) − f (x) = ln(x +∆x) −ln(x) =
x +∆x |
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
||||||||||||||
= ln |
|
|
|
|
|
|
|
= ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
4. Находим предел отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y′ = lim |
|
∆y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
ln 1 |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
∆x |
|
|
∆x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
∆x→0 |
|
|
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∆x |
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
ln e |
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
ln 1+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
∆x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
26
Производная логарифмической функции
|
|
|
|
|
|
|
Функция: |
y = loga x |
|
|
|
|
Производная: |
y′ = (loga x)′ = |
1 |
|
|
|
x ln a |
||||
|
|
|
|||
Доказательство: самостоятельно
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
27
Производная показательной функции
Функция: |
y = ex |
Производная: |
y′ = (ex )′ = ex |
Доказательство.
Обратная функция: x = ln y
Находим, как производную обратной функции:
y′ = (ex )′ |
1 |
|
1 |
1 |
|
||
x |
x′ |
|
(ln y)′ |
|
1 |
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 yx′ = x′y
y ex
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
28
Производная показательной функции
|
|
|
|
|
Функция: |
y = a x |
|
|
Производная: |
y′ = (a x )′ = a x ln a |
|
Доказательство. Самостоятельно.
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
29
Производная степенной функции
|
|
|
|
|
Функция: |
y = xn |
|
|
Производная: |
y = n xn−1 |
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
ln y = n ln x |
|||
Логарифмируем обе части равенства |
|||||||||
Дифференцируем: 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
y′ = n |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|||
|
y′ = y n |
1 |
= xn n |
1 |
= n xn−1 |
||||
|
x |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
© Иванов О.В., Кудряшова Л.В., 2005
30