Тема 4. Введение в математический анализ

1. Числовая последовательность и ее предел.

Функция, областью определения которой является множество натуральных чисел называется последовтельностью.

Если то последовательность называется числовой.

Число А называется пределом числовой последовательности , еслиможно указать, что для всех членов этой последовательностивыполняется неравенство

2. Определение функции. Способы задания функции.

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х - независимая переменная или аргумент и переменная у - зависимая переменная.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

3. Обратная функция. Сложная функция.

Если поменять ролями аргумент и функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

4. Определение предела функции в точке на языке «». Понятие односторонних пределов. Формулировка теоремыo существовании предела функции f(х) в точке .

называется предел функции f(x) при , если для любого, что при всехи

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Для того чтобы функция f : E → R имела в точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла в точке x0 условию Коши.

Будем говорить, что функция f : E → R удовлетворяет в точке x0 (x0 — предельная точка множества E) условию Коши, если

5. Определение предела функции на бесконечности.

называется предел функции f(x) при , если для любогонайдётся, что для всехвыполняется неравенство

6. Теорема о сумме, разности, произведении и частном двух функций, имеющих пределы в точке.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе  B:

Тогда функция h(x)=f(x)+g(x) также имеет предел при базе B, и этот предел L равен сумме пределов слагаемых:

Разность функций

Пусть функции f(x) и g(x) имеют пределы при одной и той же базе B:

Тогда функция h(x)=f(x) g(x)  также имеет предел при базе B, и этот предел L равен произведению пределов сомножителей:

Пусть при одной и той же базе B существуют пределы и , причём . Тогда функция определена на некотором окончании базы B, существует предел , и , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.

7. Теорема о пределе функции, заключенной между двумя функциями, имеющими один и тот же предел.

Если функция f(x) заключена между двумя функциями g(x) и p(x), имеющими один и тот же предел, то она стремится к этому же пределу.

8. Определение бесконечно малой функции. Теорема о сумме и произведении конечного числа бесконечно малых функций, а также о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

Функция называется бесконечно малой при, если

Сумма и произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.

9. Теорема о необходимом и достаточном условиях выполнения равенства с использованием понятия бесконечно малой функции. Бесконечно большие функциии их свойства.

Если f(x) имеет предел, то её можно представить как сумму постоянной и бесконечно малой функции.

Функция называется бесконечно большой при, если предел этой функции

Сумма и произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Сумма бесконечно большой функции и ограниченой есть функция бесконечно большая

Произведение бесконечно большой функции на есть функция бесконечно большая.

10. Правила сравнения бесконечно малых функций.

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величиныи

Если , то— бесконечно малаявысшего порядка малости, чем . Обозначают.

Если , то— бесконечно малаянизшего порядка малости, чем . Соответственно.

Если (предел конечен и не равен 0), тоиявляются бесконечно малыми величинамиодного порядка малости.

Это обозначается как или(в силу симметричности данного отношения).

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величинаимеет-й порядок малости относительно бесконечно малой .

11. Первый замечательный предел.

Предел отношения sinx к x при равен 1.

12. Второй замечательный предел.

 или 

13. Определения непрерывности функции.

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

14. Точки разрыва функции и их классификация.

Точка называетсяточкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке или не является непрерывной в этой точке.

Точка называется точкой разрыва1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. (скачок)

Точка называется точкой разрыва2–го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.