- •Кафедра высшей математики
- •§ 2. Исследование формы эллипса
- •§ 3. Эксцентриситет эллипса
- •§ 4. Фокальные радиусы эллипса
- •§ 5. Параметрические уравнения эллипса
- •§ 6. Гипербола. Вывод её канонического уравнения
- •2A (24).
- •§ 7. Исследование формы гиперболы
- •§ 8. Эксцентриситет гиперболы
- •§ 9. Фокальные радиусы гиперболы
- •§ 10. Равносторонняя гипербола как график обратной
- •§ 11. Директрисы эллипса и гиперболы
- •§ 12. Парабола
- •§ 13. Общее уравнение для эллипса, параболы и гиперболы
§ 8. Эксцентриситет гиперболы
Определение: Эксцентриситетом ε гиперболы называется отноше-ние её фокусного расстояния к расстоянию между её вершинами.
Если действительной осью гиперболы является ось ОХ, то её эксцентриситет выражается формулой
ε = (32).
Т. к. для гиперболы с а, то
ε 1 (33).
Приняв во внимание соотношение (26), получим
(34),
(35).
§ 9. Фокальные радиусы гиперболы
Определение: Фокальными радиусами точки М гиперболы называются отрезки, соединяющие эту точку с фокусами F1 и F2 гиперболы.
Их длины выражаются формулами (36) и (37) для правой ветви гиперболы
r1 = F1M = +a = ε + a (36),
r2 = F2M = –a = ε – a (37).
и формулами (38) и (39) – для левой ветви
r1 = F1M = – – a = – ε – a (38),
r2 = F2M = – +a = – ε + a (39).
§ 10. Равносторонняя гипербола как график обратной
пропорциональной зависимости
В школьной программе гипербола определяется уравнением
(40).
Это уравнение выражает обратную пропорциональную зависи-мость переменных величин х и у. В выражении (40) нелегко распо-знать (увидеть) связь с каноническим уравнением (25) гиперболы.
При 0 график гиперболы имеет вид
у = х
у = - х
Рис. 5
Для параболы (38) центр координатной системы является центром симметрии. А прямые у = х и у = – х являются осями симметрии.
Совершим поворот осей ОХ и ОУ на 450 против часовой стрелки. В матричной форме этот переход будет иметь вид
= (41)
или
(42).
Представим уравнение (38) в виде
(43).
Подставим в левую часть этого уравнения выражения для х и у из системы (40)
[()2 – ()2] = или ()2 – ()2 = 2
Тогда
Т. е. получаем уравнение той же гиперболы (но повёрнутой на 450 против часовой стрелки) в каноническом виде (Рис. 6).
Рис. 6
§ 11. Директрисы эллипса и гиперболы
Определение: Директрисами эллипса называются две прямые,
перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные
симметрично относительно центра на расстоянии от него.
Если эллипс задан каноническим уравнением (8), причём ab, то в выбранной системе координат его директрисы определяются уравнениями и(44).
Рис. 8
Т. к. для эллипса 0 ε 1, тоa. Это означает, что директрисы эллипса не имеют с ним общих точек.
Определение: Директрисами гиперболы называются две прямые, перпендикулярные к большой оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии
от него.
Если гипербола задана каноническим уравнением (25), то в данной системе координат её директрисы определяются уравнениями (44).
Поскольку для гиперболы ε 1, тоa. Это означает, что директрисы гиперболы не имеют с ней общих точек.
Рис. 9
Важное свойство директрис эллипса и гиперболы выражает следующая теорема.
Теорема. Отношение расстояния r произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная
Доказательство. Рассмотрим, например, левый фокус и левую директрису эллипса. Пусть ()М(х;у) – произвольная точка эллипса (рис. 8). Здесь
r = a + εx, d = – (– ) =x + .
Если ()М(х;у) – произвольная точка левой ветви гиперболы
(Рис. 9), то
r = – εx – a, d = – x – .
.
Свойство, выраженное вышеприведённой теоремой, может быть положено в основу определения эллипса и гиперболы.
Множество всех точек плоскости, для которых отношение расстояния r до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию d до фиксированной прямой (директрисы) есть – величина постоянная. Причём фигура оказывается эллипсом при 1 и – гиперболой при 1.
Вопрос о том, что представляет собой это множество точек в случае 1, рассматривается в следующем параграфе.