§ 2. Исследование формы эллипса

Из уравнения (6) следует, что , т. е. – a x , и

, т. е. – b y b.

Это означает, что эллипс целиком расположен в прямоугольнике с основанием 2а и высотой 2b, а его центр находится в начале координат.

Поскольку в уравнение (8) х и у входят только во второй степени, то эллипс симметричен относительно координатных осей ОУ и ОХ. Для эллипса, описываемого уравнением (8), начало координат является центром симметрии.

Разрешив уравнение (8) относительно у, получим

(9)

и (10).

Уравнение (9) определяет верхнюю (выше оси ОХ) половину эллипса, а уравнение (10) определяет его нижнюю (ниже оси ОХ) половину.

Точки пересечения эллипса с координатными осями называются его вершинами: верхней – ()В₁(0;b), нижней – ()В₂(0;–b), левой –()А₁(– a;0) и правой – ()А₂(+a;0).

Отрезки А₁А₂ и В₁В₂ называются осями, а отрезки А₁О, ОВ₁, ОА₂, В₂О – полуосями эллипса. В случае, когда фокусы расположены на оси ОХ и ab, отрезок ОА = a называют большой полуосью, а отрезок ОВ = b – малой полуосью.

При a = b = r уравнение (8) принимает вид

х² + у² = r² (11).

Это соответствует окружности радиуса r с центром в начале координат.

Если параллельным переносом центр эллипса (8) переместить в ()М₀(х₀;у₀), то его уравнение примет вид

(12).

Уравнение окружности радиуса r с центром в ()М₀(х₀;у₀) будет иметь вид

+ =r² (13)

§ 3. Эксцентриситет эллипса

Определение: Эксцентриситетом⁴ε эллипса называется отно-шение фокусного расстояния к длине большой оси. В случае ab

эксцентриситет эллипса выражается формулой

ε = (14).

Для эллипса c a. Именно этим и объясняется использование термина «недостаток», упомянутого в сноске 2. Для эллипса

0 или 0. Эксцентриситет можно понимать как мерило сжатости эллипса.

Для окружности = 0, т. к. с = 0.

§ 4. Фокальные радиусы эллипса

Определение: Фокальными радиусами точки М, принадлежа-щей эллипсу, называются отрезки, соединяющие эту точку с фокусами.

Из соотношения (7) имеем .

Тогда ε = =(15).

Откуда (16).

Из уравнения (8) найдём у²

у² = (1 –)

Тогда F₁M = =

…

с учётом =и=_{получаем}

… =

Здесь надо выбирать знак таким образом, чтобы правая часть была положительной.

Таким образом, формула для фокального радиуса F₁M имеет вид

F₁M = (17).

Аналогично выводится формула для фокального радиуса F₂M

F₂M = (18).

Иногда фокальные радиусы F₁M и F₂M обозначаются соответст-венно r₁ и r₂.

§ 5. Параметрические уравнения эллипса

Пусть параметр⁵t – угол, образуемый отрезком ОМ с осью ОХ (Рис. 2). Тогда параметрические уравнения эллипса можно предста-вить в виде системы

(19).

В справедливости такого представления проще всего убедиться следующим образом:

= cos t (20).

= sin t (21).

Возводя обе части каждого из уравнений (20) и (21) в квадрат и почленно складывая, получим уравнение эллипса

(22).