§ 6. Гипербола. Вывод её канонического уравнения

Определение: Гиперболой⁶называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек (фокусов⁷), лежащих в этой же плоскости, есть величина постоянная.

Обозначим эту постоянную как 2а, а расстояние между фокусами F₁ и F₂ как 2с (фокусное расстояние), причём a c.

Построим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось ОХ проходила через фокусы, а её положительное направление совпадало с направлением вектора . Начало координатной системы разместим в центре отрезка. Тогда координаты фокусов будут иметь вид(–с;0) и

(с;0).

Пусть М (х;у) – произвольная точка гиперболы, тогда

F₁ M – F₂ M = 2a (23).

F₁ M = F₂ M =

Тогда уравнение гиперболы принимает вид

2A (24).

Знак « – » в правой части выражения (24) получается в том случае, когда в левой части равенства уменьшаемое оказывается меньше вычитаемого.

После упрощений, подобных тем, что делались в §1, получим

каноническое уравнение гиперболы

(25),

где с²– _(26).

§ 7. Исследование формы гиперболы

Из уравнения (25) следует, что х² а². Это означает, что в полосе между прямыми х = – а и х = + а нет ни одной точки гиперболы.

Точки, в которых гипербола пересекает действительную ось , называются её вершинами. Если действительная ось гиперболы совпадает с осью ОХ, то это будут точки (– а;0) и (+ а;0).

Поскольку в уравнение (25) переменные х и у входят во второй степени, то гипербола симметрична относительно координатных осей и, следовательно, достаточно изучить её форму в первой четверти, где она определяется уравнением

(27).

При х = а получаем у = 0. Найдём наклонную асимптоту гиперболы. Это прямая вида у = х + q. Здесь

,

Таким образом, гипербола имеет две наклонные асимптоты

у = – и у = + (28).

Для изображения гиперболы на чертеже сначала построим так называемый основной прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2b и параллельны соответственно координатным осям ОХ и ОУ. Прямые, сопадающие с диагоналями этого прямоугольника, и есть асимптоты гиперболы. Центр их пересечения называется центром гиперболы.

Рис. 4

Координатная ось, пересекающая гиперболу в двух точках, называется действительной осью, а другая координатная ось называется мнимой осью (она не имеет никаких общих точек с гиперболой). Отрезки [-а;+а] и [-b;+b] называются соответственно действительной и мнимой осями гиперболы, а отрезки [0;+а] и [0;+b] называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Если а = b, то гипербола называется равносторонней. Её уравнение имеет вид

х² – у² = а² (29).

В этом случае основной прямоугольник гиперболы становится квадратом со стороной 2a.

Гипербола с действительной осью на координатной оси ОУ описывается уравнением

(30).

Если параллельным переносом центр гиперболы (25) переме-стить в () М₀(х₀;у₀), то её уравнение примет вид

(31).