L02-EM.pdf физика
.pdf
27.03.2012
Лекция № 2 Проводники в электростатическом
поле
Курс общей физики в 3-х томах, том II. Электричество. / И. В. Савельев. - М.: «Наука», 1970. - 431 с.
2Равновесие зарядов на проводнике
•Равновесие зарядов на проводнике может наблюдаться при выполнении следующий условий:
•1. Напряженность поля внутри проводника
E 0 |
(2.60) |
•2. Напряженность поля на поверхности проводника направлена по нормали к пов-ти
E En |
(2.61) |
1
27.03.2012
3Равновесие зарядов на проводнике
•Следовательно, в случае равновесия:
•Поверхность проводника будет эквипотенциальной.
•Ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – все они расположатся по поверхности проводника с некоторой поверхностной плотностью σ.
4Равновесие зарядов на проводнике
•Поток вектора электрического смещения через эту поверхность равен
DdS.
•Для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра
Dn = 0
•для внешнего основания
Dn = D
•Внутрь цилиндра попадает свободный заряд σdS
2
27.03.2012
5Равновесие зарядов на проводнике
•Применяя к цилиндрической поверхности теорему Гаусса, получим DdS = σdS, т. е. D = σ.
•Отсюда для напряженности поля вблизи проводника получаем
E |
D |
|
|
(2.62) |
|
0 |
0 |
||||
|
|
|
•где ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник
6Проводник во внешнем электрическом поле (рис. 47)
3
27.03.2012
7 |
|
|
Электроемкость |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
потенциал уединенного проводника |
|
|
||
|
|
|
пропорционален находящемуся на нем заряду |
||||
|
|
|
q C |
(2.63) |
|
||
|
|
• где коэффициент пропорциональности С |
|||||
|
|
|
между потенциалом и зарядом называется |
||||
|
|
|
электроемкостью или просто ескостью |
||||
|
|
|
проводника. Из (2.63) следует, что |
|
|
||
|
|
|
C |
q |
|
(2.64) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Конденсаторы |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
• Под емкостью конденсатора понимается физическая |
||||||||
|
|
величина, пропорциональная заряду q и обратно |
||||||||
|
|
пропорциональная разности потенциалов между |
||||||||
|
|
обкладками: |
||||||||
|
|
C |
q |
|
|
|
(2.65) |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
• Найдем формулу для емкости плоского конденсатора. |
||||||||
|
|
Если площадь обкладки S, а заряд на ней q, то |
||||||||
|
|
напряженность поля между обкладками равна |
||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
0 |
|
0 S |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
27.03.2012
9 |
|
Конденсаторы |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
• Можно показать (см. С.Т2, стр. 45), что разность |
||||
|
|
потенциалов между обкладками равна |
||||
|
|
|
|
Ed |
qd |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
1 |
|
0 S |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
• Откуда для емкости плоского конденсатора |
||||
|
|
получается формула: |
||||
|
|
C 0 S |
(2.66) |
|||
|
|
|
|
d |
|
|
• где S – площадь обкладки, d – величина зазора между
обкладками, ε – относительная диэлектрическая
проницаемость вещества, заполняющего зазор
10 |
|
Конденсаторы |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
• Емкость цилиндрического конденсатора выражается: |
||||||||
|
|
|
C 2 0 l |
|
|
|
(2.67) |
|
|||
|
|
|
ln |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
• где l – длина обкладок, R – радиус цилиндра |
||||||||
|
|
|
• Емкость сферического конденсатора равна: |
||||||||
|
|
|
C 4 |
|
R1R2 |
|
|
(2.68) |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
R R |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
• |
где R – радиус сферы |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
27.03.2012
11 Соединение конденсаторов
•При параллельном соединении (рис. 50) на каждой из двух систем обкладок накапливается суммарный заряд
q qk Ck 1 2 1 2 Ck
12 |
|
Соединение конденсаторов |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Емкость батареи получим, разделив |
|
|||
|
|
|
суммарный заряд на приложенное к ней |
|
|||
|
|
|
напряжение |
|
|
||
|
|
|
C Ck |
(2.69) |
|
||
|
|
• Для всех обкладок конденсаторов, |
|
||||
|
|
|
включенных последовательно, характерна |
|
|||
|
|
|
одинаковая величина заряда q на |
|
|||
|
|
|
обкладках. |
|
|
||
|
|
• Поэтому напряжение на каждом из |
|
||||
|
|
|
конденсаторов : |
|
|
||
|
|
|
Uk |
q |
|
(2.70) |
|
|
|
|
Ck |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
6
27.03.2012
13 Соединение конденсаторов
• Сумма этих напряжений равна разности потенциалов,
приложенных к батарее: |
|
|
|
||||||
1 |
2 Uk |
q |
q |
1 |
|
||||
Ck |
Ck |
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
(2.71) |
|||||
C |
|
Ck |
|||||||
• Если все конденсаторы одинаковы и имеют емкость С1
и предельное напряжение Umax, то при последовательном соединении:
C N1 C1, а Umax бат NUmax
14 Энергия электрического поля
Энергия системы зарядов
• Рассмотрим систему из двух точечных зарядов q1 и q2, |
||||||
находящихся на расстоянии r12. |
||||||
• Работа переноса заряда q1 |
из бесконечности в точку, |
|||||
удаленную от q2 на r12 равна: |
||||||
1 |
|
|
q2 |
|
||
A1 q1 1 q1 |
|
|
|
|
|
(2.72) |
4 |
0 |
|
r |
|
||
|
|
12 |
|
|
||
• где φ1 – потенциал, создаваемый зарядом q2 в той
точке, в которую перемещается заряд q1
• Аналогично для второго заряда получим:
|
1 |
|
|
q1 |
|
|
A2 q2 2 |
q2 |
|
|
|
|
(2.73) |
4 |
0 |
|
r |
|||
|
|
|
12 |
|
||
7
27.03.2012
15 Энергия системы зарядов
W q1 1 q2 2 |
|
|
|
|
|||
W |
1 q q |
2 |
|
(2.74) |
|||
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Формула (2.74) дает энергию системы двух зарядов
• Перенесем из бесконечности еще один заряд q3 и
поместим его в точку, находящуюся на расстоянии r13
от q1 и r23 от q2. При этом мы совершим работу
|
1 |
|
|
q2 |
|
|
A3 q3 3 q3 |
|
q1 |
|
|
||
4 0 |
|
|
||||
|
r13 |
|
r23 |
|||
16 Энергия системы зарядов
• С учетом (2.74), в сумме с А1 и А2 работа А3 будет равна энергии трех зарядов:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W |
|
|
|
q1q2 q3 |
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
r12 |
|
|
4 0 r13 |
|
r23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
q3 |
|
|
|
|
q3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
||||||
W 1 |
|
q1 |
q2 |
|
q2 |
q1 |
|
|
|
|
q3 |
|
q1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 4 0 |
|
|
r12 |
|
r13 |
r12 |
|
|
r23 |
|
|
r13 |
|
|
r23 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q |
q |
2 |
q |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• где φ1 |
– потенциал, создаваемый зарядами q2 и q3 в той |
||||||||||||||||||||||||||||
точке, где расположен заряд q1 и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8
27.03.2012
17Энергия системы зарядов
•Добавляя к системе зарядов последовательно
q4, q5 и т. д., можно убедиться в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна
W |
1 |
qi i |
(2.75) |
|
2 |
|
|
•где φi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится qi , всеми зарядами, кроме i-го.
18Энергия заряженного проводника
•Так как по мере увеличения заряда на проводнике
потенциал его растет, при перемещении каждой последующей порции заряда q должна совершаться все большая по величине работа
A q |
q |
q |
(2.76) |
|
C |
||||
|
|
|
•где φ – потенциал проводника, обусловленный уже
имеющимся на нем зарядом q, С – емкость проводника
•Работа (2.76) идет на увеличение энергии проводника.
dW C1 qdq
9
27.03.2012
19Энергия заряженного проводника
W |
q2 |
const |
(2.77) |
|
2C |
||||
|
|
|
•Учтя соотношение (2.64) между емкостью, зарядом и потенциалом проводника, можно написать
W |
q2 |
|
q |
|
C 2 |
(2.78) |
|
2C |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
20 Энергия заряженного конденсатора
• Работа переноса очередной порции q равна
A q 1 2 qU
• где U – напряжение на конденсаторе. Заменяя U в
соотвествии с (2.65) и переходя к дифференциалам,
получим
dW dA Udq Cq dq
•Интегрируя, приходим к формуле для энергии
заряженного конденсатора
W |
q2 |
|
qU |
|
CU 2 |
(2.79) |
|
2C |
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
10