- •Введение
- •Постановка задач
- •Вывод уравнения теплопроводности
- •Постановка задачи для уравнения теплопроводности
- •Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип.
- •Струна
- •Постановка задачи для волнового уравнения.
- •Классификация уравнений второго порядка.
- •Замены переменных.
- •Постановка задачи Коши.
- •Распрямление поверхности.
- •Корректность.
- •Интегральные операторы.
- •Фан фанский.
- •Ограниченность интегральных операторов
- •Операторы со слабой особенностью.
- •Задача Штурма-Лиувилля.
- •Постановка задачи.
- •Функция Грина.
- •Задача ШЛ и интегральное уравнение.
- •Задача на собственные числа.
- •Гармонические функции
- •Формулы Грина.
- •Фундаментальное решение оператора Лапласа.
- •Принцип максимума.
- •Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
- •Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.
- •Следствия из формулы Пуассона.
- •Объемный потенциал и его свойства.
- •Теоремы о разрешимости краевых задач.
- •Обобщенные функции
- •Действия с обобщенными функциями.
- •Фундаментальное решение.
- •Пространства Соболева.
- •Соболевские производные.
- •Соболевские производные на отрезке.
- •Замкнутость дифференцирования.
- •Продолжение нулем.
- •След функции на границе.
- •Неравенство Фридрихса.
- •Теорема Реллиха
- •Стандартный эллиптический оператор.
- •Решение краевой задачи.
- •Теоремы единственности.
- •Энергетическое пространство.
- •Абстрактное уравнение.
- •Исследование абстрактного уравнения.
- •Разрешимость абстрактного уравнения.
Глава 2
Интегральные операторы.
2.1Фан фанский.
Рассморим отношение : |
→ . - линейный оператор (функционал, если = R, C) |
|||
- |
непрерывный, |
если |
→ = → |
(‖ − ‖ → 0 = ‖ − ‖ → 0) |
непрерывен в точке u непрерывен в любой точке.- непрерывный : ‖ ‖ ≤ ‖ ‖
‖ ‖ = inf = sup ‖ ‖ ‖ ‖
, - полные пространства (банаховы): { } - фундаментальная = она имеет предел:
‖ |
|
− |
′ |
‖ |
→ |
|
|
|
|
‖ |
|
− |
‖ |
|
→ |
|
|
|
||
|
|
|
|
0 = |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
= ( ), ( ) (1 ≤ < ∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||
Скалярное произведение: ( , ). Например, в 2( ) : ( , ) = |
( ) ( ) |
|||||||||||||||||||
|
|
Ω
Полное пространство со скалярным произведением - Гильбертово (обозначаем ).
Теорема Рисса. - линейный непрерывный функционал в |
|
|
||||
= ! : |
= ( , ) |
‖ ‖ = ‖ ‖ |
|
|
||
Определение: (нормированное). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
- компакт. , - открытые. Тогда 1, . . . , : |
|
=1 |
|||
2. |
- компакт, если { } = { } : → (секвенциальная компактность) |
|||||
Оба определения равносильны. |
|
|
|
25
- компакт = - замкнутое и ограниченное
:: = ∞ Тогда существует - замкнутое и ограниченное, но не являющееся
компактом. = |
|
|
{ } - о.н.с. = { : ‖ ‖ ≤ 1} |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( , |
′ |
) = 0; |
‖ |
|
‖ ≤ |
1; |
( = ′) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
‖ − ′‖2 = ‖ ‖2 + ‖ ′‖2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Т.е. последовательность не фундаментальна в C = не сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- компактный оператор ( → ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
если для любого ограниченного |
|
- компакт: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
{ } : |
‖ ‖ ≤ |
= |
{ } : - сходится. |
|
|
|
|
|
|||||||||
- компактный =: - непрерывный. Пример: = , dim = ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сопряженный оператор *: |
( ) - множество линейных непрерывных операторов. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( ) = |
|
! * |
|
( ) : |
|
, ( , ) = ( , * ). |
‖ |
|
‖ |
= |
‖ |
* |
‖ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
– компактный |
* – компактный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема Фредгольма (Альтернатива Фредгольма). − = |
|
(*) - уравнение |
||||||||||||||||||||
относительно . - комп. в гильберотовом . Альтернатива Фредгольма: |
|
1.существует единственное решение решение существует для любого
2.единственности нет ( ( − ) ̸= {0}):
a)dim ( − ) = dim ( − *) < ∞
b)уравнение (*) разрешимо : − * = 0
(Множество решений этого уравнения { } = ( − *) )
Т.о. единственность решения эквивалентна существованию решения для любой правой части. Аналогия в алгебре: = ; (R, × )
1.det ̸= 0 = !
2.det = 0 = : * = 0
- сепарабельно существует счетное всюду плотное множество.
Спектральная теорема. - компактный самосопряженный ( = *) оператор в гильберотовом
сепарабельном пространстве |
= в существует о.н.с. из собственных векторов . |
|||
Собственные числа { } R, |
−→→∞ |
0 |
|
|
Кратность с.ч. = dim{ | = }. Она конечна ( ̸= 0). |
||||
- комплексное, т.е. C : ̸= 0: |
= |
|
|
|
о.н.с: ( , ′) = ′ |
|
|
|
|
|
|
|
с.ч. |
с.в. |
{ } - полная о.н.с. = ( = 0)
26
Теорема (О рядах Фурье).
|
|
∞ |
{ } - полная о.н.с. в |
= = |
∑ |
( , ) ( - ряд Фурье). |
||
|
|
=1 |
2.2Ограниченность интегральных операторов
= 2( ) |
R |
|
|
( )( ) = Ω∫ |
|
ядро инт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оператора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п.в. |
Ω | ( , )| ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
п.в. |
|
|
∫ |
| |
( , ) |
≤ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
||||||||
a) интеграл (*) абсолютно сходится для п.в. |
|
|
|
|
, если |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
b) ( )( ) 2( ), |
‖ ‖2 2 |
≤ 0 1 ‖ ‖2 2 , |
|
‖ ‖ ≤ √ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
| ( , )| )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a) Рассмотрим ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство Гельдера: |
|
∫ |
| | 2 |
≤ ∫ |
|
| |2 |
∫ |
|
| |2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
В нашем случае: |
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
1 |
| ( )| |
||||||||||||||
|
|
( ) := | ( , )| |
2 |
, |
|
|
( ) := | ( , )|2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(Ω∫ |
| ( , )| · | ( )| )2 ≤ |
Ω∫ |
| ( , )| |
|
Ω∫ |
| ( , )| · | ( )|2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ п.в. |
|
|
|
|
2(Ω)) |
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
( )< |
|
|
|
|
|
(т.к. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ? ( ) < ∞ ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω∫ |
( ) = |
Ω∫ |
|
(Ω∫ |
|
| ( , )| · | ( )|2 ) = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
Ω∫ |
(Ω∫ |
| ( , )| · | ( )|2 ) ≤ 1 Ω∫ |
| ( )|2 = 1 ‖ ‖2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|( )( )| = Ω∫ |
| ( , ) ( )| ; |
|
|
|
|( )( )|2 ≤ 0 ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ω∫ |
|( )( )|2 ≤ 0 Ω∫ |
|
( ) ≤ 0 1 |
Ω∫ |
| |2 |
|
|
|
27
‖ ‖2 ≤ 0 1 ‖ ‖2 .
2.3Операторы со слабой особенностью.
( , ) – ядро со слабой особенностью, если
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|||
( , ) = |
|
|
, |
|
где | ( , )| ≤ 0, |
< |
|||
| − | |
|||||||||
( ) = Ω∫ |
|
( , ) |
|
|
|||||
|
|
( ) |
|
|
|||||
|
| − | |
|
|
||||||
Лемма 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- огр = Ω∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
≤ равномерно по на |
|||||||
|
|
|
|
||||||
| − | |
|
Доказательство. Рассмотрим шар ( , ) : ( , )
∫
| − |
Ω
∫
≤
интеграл ( , ) по большему
множеству
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
| − | |
− |
(0, ) |
| | |
|
|
|
|
|
|
min ≤ |
sup | − | = = |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
| | |
= |
|
|
| | |
= |
|
|
( |
| | = | 1| · − −1) |
|||||||||
|
∫0 |
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
| |= |
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
0 |
= | 1 |
| |
|
− |
( < ) |
||||
= | 1| ∫ |
− −1 = | 1| · |
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. |
- интегральный |
оператор со |
слабой |
особенностью, - ограничено |
||
= - ограниченный в 2( ) (не превосходит по модулю некой константы). |
||||||
Доказательство. |
Ω∫ || − | | |
|
Ω∫ |
| − | + Лемма. |
||
Ω∫ |
| ( , )| ≤ 0 |
≤ 0 |
||||
|
|
|
( , ) |
|
|
|
28
( , ) - непрерывный в × . ограничено в R
∫
( )( ) = ( , ) ( ) - компактен в 2( )?
Ω
{ ( )} - компакт в ( )? Равномерно сходящаяся последовательность компактных операторов удовлетворяет лемме Асколи-Арцела.
{ } 2( ) : ‖ ‖ ≤ 0 = { } : { } равномерно сходится.
|( )( ) − ( ′ )( )| 0 (равномерно на |
|
) ( |
‖ − ′ ‖ 2 → 0) |
Теорема. Пусть есть последовательность компактных операторов { } в гильбертовом
пространстве . Пусть существует : ‖ − ‖ −→ 0. Тогда компактен.
→∞
Теорема. - интегральный оператор со слабой особенностью, - огр = - компактен.
Доказательство. ( , ) ( ̸= ). Построим последовательность компактных операторов: → по норме.
( ) = |
{ |
0, > |
2 |
; |
0 ≤ ≤ 1; |
= 1 − . |
||||||||||
|
|
|
|
1, < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
←→ |
|
| ( , )| |
|
|
←→ |
|
| ( , )| |
( |
|
− |
|
) |
|||
|
| − | |
|
| − | |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывное ядро. |
|
- компактные. ‖ − ‖ −→ 0?
→0
:= | ( , )| (| − |) ( = 1 − , – числитель − )
| ( , )| ≤ 0; | − | > 2 = ( , ) = 0.
- ядро со слабой особенностью. Имеется ограниченность интегрального оператора:
| − |
|
|
|
|
|
|
‖ − ‖2 ≤ |
0 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 1 ≥ Ω∫ |
зависит от |
||||||||||
|
|
|
|
|
|| − | | |
(или ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
||
∫ |
( , ) |
|
|
∫ |
( , ) |
|
|
|
1 (2 ) − |
|||||||
| |
| |
≤ |
| |
| |
= |
|
0| | |
|
|
|
– см. док-во леммы предыдущего § |
|||||
| − | |
|
| − | |
|
|
− |
|
|
|
Ω| − |≤2
‖ − ‖2 ≤ 2 (2 ) − −→ 0
→0
29