Глава 1

Постановка задач

1.1Вывод уравнения теплопроводности

Будем считать, что - маленький кусок с большой температурой, он остывает. Пусть - тепло, которое вышло из за время с 1 по 2. Тепло пропорционально произведению массы на теплоемкость, умноженному на разность температур. Плотность может быть переменной, поэтому запишем через интеграл:

И разность температур запишем как интеграл по времени:

2

∫ ∫

= − ( ) ( ) ( , )

1

Тепло “течет”, т.е. ведет себя как жидкость. Тепло идет через поверхность, т.е. выходит

@@

таким образом за границы области. Пусть - площадь поверхности. @@@

@@R@ R@R@

Как подсчитать, сколько тепла протекло: скорость вытекания тепла - это количество жидкости в единицу времени. Количество тепла: ∂∂ , где K - коэффициент теплопроводности.

∂∂ - производная температуры вдоль нормали к поверхности, нормальная производная.

5

Перепад давления гонит жидкость, а перепад давления - это перепад температур, а перепад температур нужно учитывать в направлении, перпендикулярном этой поверхности.

- по определению, вектор нормали. = cos( , )

По формуле Остроградского–Гаусса ( = ):

Кусок остывает = при переходе границы температура падает = ставится минус.

Лемма. Пусть ( ) ( ).

∫

куба ( ) = 0 = ( ) ≡ 0

Основная лемма вариационного исчисления: ( ) ( )

∫

(1)( ) = 0 = ( ) ≡ 0

Ω

Можно рассматривать:

∫ ∫

=

Ω

Доказательство. В качестве упражнения (аналогично доказательству ОЛВИ).

Теперь в качестве берем кубик. Пусть = , R +1, т.е. y = ( 1, 2, . . . , , ) Так как для любой области для любого промежутка времени интегралы для q совпадают, то подынтегральные выражения также совпадают. Получаем уравнение:

Получили однородное уравнение теплопроводности.

6

В точках могут быть источники тепла. ( , ) - их плотность. Тогда уравнение примет вид:

Это уравнение должно выполняться для функции, описывающей зависимость температур в точках от времени.

1.2Постановка задачи для уравнения теплопроводности

1.Задача Коши

Рассмотрим

− 2 = (уравнение выполняется во всем пространстве)

Или: ∂ = 1( , ) - поток тепла через границу.

∂

Вообще говоря, граница может быть разделена на части. Тогда на каждой части могут быть разные условия. Например:

7

Интерпретация третьего граничного условия: поток тепла ∂∂ пропорционален перепаду предельных$температур. Он отрицателен, т.к. тепло вытекает.

-

Подходим к границе изнутри с температурой , снаружи температура . (*) - можно измерить

с помощью внешнего датчика.

1.3Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип.

Из этого принципа можно вывести волновое уравнение. Также можно вывести из законов Ньютона.

Пусть есть механическая система: материальные точки. Они как-то двигаются в пространстве.

У-й точки есть: ( ) - масса, ( ) R3 - координаты частицы. На ( ) действует сила

Т.о. точки движутся в потенциальном поле сил. Хотим описать перемещение точек за время с 1 по 2. Оно может происходить по разным траекториям.

Пусть R3 , где - количество точек. ( ) = ( (1)( ), (2)( ), . . . , ( )( )) - описывает перемещение частиц системы из состояния в состояние.

Рассмотрим - функционал действия (Вычисляем вдоль любой траектории).

Вариационный принцип: в жизни из всех перемещений из одного состояния в другое выбирается одна траектория - экстремаль функционала действия среди всех возможных траекторий с одинаковым началом и концом. Этот принцип можно вывести из законов Ньютона.

Пример : (Наблюдение за точкой на прямой)

= ( ) - потенциальная энергия, считаем известной. - внешняя сила, с которой связана потенциальная энергия (например, = и = ).

8