= ; = ′,

( ; ),

( ) =

( ; ) (поскольку ).

( ) 0(∞)

∫

0(∞)( ; )

( ) = 0 ( = 0).

∫

∫

Пусть = + . −

( −

) = 0.

Как выбрать ? Возьмем 0(∞)( ; ) :

= 1.

∫

Положим ( ) = ( ) ·

= · ( ) 0(∞)( ; ).

Получаем, что dim = ∫1, так как пространство натянуто на вектор .

Как действует : < , > = < , + > = < , >+ < , >

= < , >.

0

:=

...

∫

· .

< , > = C. < , > = =

( ; ) < , > =

= < , >.

Таким образом, доказали,∫что = , что и требовалось.

|

∑

∂ ( ), то есть как конечная сумма производных

определяется как ( (∂ ) )( ) =

|≤

от с какими-то коэффициентами.

Определение : ′(R ) – фундаментальное решение оператора , если (∂ ) = .

∑

< , > =

∑

|

∑

< ∂ , > =

(−1)| | < , ∂ > = < ,

(−1)| | ∂ > .

| |≤

|≤

| |≤

*(∂ ) −

сопряженный к P

< (∂ ) , >

=

< , *(∂ ) > =

< , >

= (0) (R ).

(∂ ) = .

Определение

:

свертка функций

и

, заданных на

R ,

определяется как

( * )( ) = R∫ ( − ) ( ) , при условии, что интеграл абсолютно сходится.

Замена − = : ( * )( ) =

( − ) ( ) = ( * )( ).

Если говорить про сходимостьRинтеграла:∫

∫

| ( − ) ( )| ≤

∫ | ( − )|

1

·

∫ | ( )|

1

.

R

(R

)

(R

)

2. , 1(R ) = ( * ) 1(R ),

‖ * ‖1 ≤ ‖ ‖1 · ‖ ‖1.

==−

∫ | ( )| ·∫ | ( )|

∫

∫ | ( − ) ( )|

=

∫

∫ | ( − )| | ( )|

(

)

(

)

R

R

R

R

R

R

∫

3. Неравенство Юнга.

(R ); (R ), 1 + 1

= 1 + 1 , [1; +∞].

Тогда *

и ‖ * ‖

≤ ‖ ‖ · ‖ ‖ .

∂ (∫ ( ) ( − ) ) =

∫ ( )∂ ( ( − )) =

∫ ( )(∂ )( − )

R

R

R

( * )( ) = ∫ ( ) ( − ) = < , >

R

, где для R

( )( ) = ( − ) (R ) по .

Определение :

′(R ), (R ). ( * )( ) =

< , >. То есть, это обычная

* (∞)(R )

~

( * ∂ )( )

∂ ( * )( ) = (∂ * )( ) =

(

)

(∂ ) = | |≤ ∂ ( * ) =

|≤ (∂ ) * =

(| |≤ (∂ ))

* =

∑

|

∑

∑

Теорема (Мальгранж – Эренпрайс). Для любого оператора существует фундаментальное

решение

.

Примеры фундаментальных решений :

1.

.

.

+

{

0, < 0

= 1 =

( ) =

1, ≥

0

′

=

.

– фундаментальное решение

. Так как отображение

взаимно

+

+

−→

однозначно, то отождествляем функцию и с оответствующий регулярный функционал.

Далее так тоже часто будем делать.

Других решений, кроме как + + , нет.

−1

2. = 1. =

+

∑

= 0

. То есть сумма производных до порядка , при этом

=0

(

−

1)

(0) = 1

−

[0 :

2]

-я производная присутствует. Пусть ( ) – решение задачаи Коши:

( )(0)

= 0,

( ) = ( ) ( )

Тогда

– регулярная обобщенная, и

+

(то есть

функцией).

Доказательство. Докажем, что:

(0 ≤ < )

( + )

= +

(∞)(R). = 0 – равенство тривиально.

= 1: ( + )′ = +′ + + ′

(по формуле дифференцирования произведения). Так

как +′ = (тут все также имеется ввиду обобщенная функция), то

· = (0) = 0

(выводили, когда описывали произведение). Так что ( + )′ = + ′.

Аналогично с остальными производными [0 : − 1].

· ( −1)(0) = .

-я производная получается равна + + ( ).

Получаем, что

−1

−1

∑

∑

( + ) = ( + )( ) +

( + )( ) = + + ( ) +

+ ( ) = + + ( ).

=0

=0

По выбору : + ( ) = 0. Так что получаем ( + ) =

Порешаем дифференциальные уравнения.

(a) Рассмотрим уравнение ′

+ = . Оператор : = ′ + .

– его фундаментальное решение. ( ) = + − .

(0)′

= 1

} = ( ) = − .

+ = = 0

Решение неоднородного уравнения, согласно теореме этого параграфа: ( ) = ( *

+∞

)( ) =

+( − ) − ( − ) ( ) =

− ( − ) ( )

∫

− >0

∫

−∞

−∞

, >

(b) ′′ + =

0.

: ′′ + = 0. (0) = 0, ′(0) = 1.

√

Решение: ( ) =

sin(√

)

.

( ) = +( ) ( ).

{

−

1|

ln ,

= 2

1

,

≥ 3

( ) =

( 2) 1|| | −2

−

| |

2

0(∞)( )

( ) = − ( − ) · ( )

∫

Ω

0(∞)( ) = 0(∞)(R ). Так что положим := R

< , > = < , *(∂ ) > =

< , >

= (0),

(R ).

· =

· * . У нас была формула Грина:

· =

· .

∫

∫

∫

∫

Ω

Ω

Ω

Ω

То есть *

=

( * = ).

(R )

(0)

= < , >.