7.1Стандартный эллиптический оператор.

( )( ) = −

∑,

( ( ) )

+ 0( ) .

~ = + ( ) .

=1

~

> 0 :

= ( 1, . . . , ) R

∑,

( ) ≥ · | |2 .

=1

Стандартный пример:

{

В нем 0( ) = 0;

( ) =

0,

=

= − = − =1 ∂ .

2

1,

=

∑

̸

− =

Получаем задачу Дирихле:

= 0

( ) ≥

∑,

( ) ≥ | |2 .

=1

То есть, еcли рассматривать из эллиптичности оператора, то имеем inf

Ω

( )

≥

.

1≤ ≤

=1

| |2

| |2.

= =1

= =1 ( ) =

=1 ( ) ( );

∑

∑

∑

∑

∑

∑

( , ) = (

( ) ( ),

( )) =

( ) · ( ( ), ( )) =

=1

=1

, =1

=1 ≥

=1

1( ) – замыкание (∞)( ) в

1( ) .

0

−1( ) – пространство линейных непрерывных функционалов на 1( ) .

То есть функции 1( )

A сопоставляет – функционал на

1( ) . Для

(∞)( ) можем получить < , > – значение (комплексное) на .

0

( )( ) = −

,∑

(

( ) )

+ 0( ) .

=1

< ( ) , > = − < , > = − ∫

2(Ω)

Ω

< , >

= ∫

, =1 ( ) + 0 = < , >,

Ω

∑

1

∑

где −1( ):

= 0 −

=1( ) ,

0, 2( ) (была такая теорема в параграфе про

− ( ) о представлении обобщенной функции).

= 0(∞)( )

< , > = < , >.

∫

+ 0 = ∫

, =1 ( )

0 +

=1

Ω

∑

Ω

∑

Граничные условия :

(2)( )) =

= 0.

В классическом варианте (

Обобщенный: у нас было, что

= 0 1( ).

краевой задачи = ,

Определение : – обобщенное решение

= 0, если

1

( )

1.

2. 1( ) есть интегральное тождество.

Замечание : если граничные условия неоднородны (то есть

= 0). Пусть 0 определена

1

( ). Тогда изменим задачу: = 0 + ,

1

( ).

всюду в , 0

( ) = ( 0) + ( ).

−

0

−1(Ω)

Получаем задачу: =

( ) = ,

= 0.

= 0

(

−

0)

= 0, то есть ̃(

−

1

( ).

0)

Доказательство. Рассмотрим 1,2 – обобщенные решения краевой задачи. То есть

1,2

= ,

1,2

= 0 ( 1, 2 1( )).

= 1

−

2

1

1

= 0,

Тогда

– обобщенное решение однородной краевой задачи:

= 0.

Было, что – линейный непрерывный ( )

→

− ( ). Тогда

1

(Ω)

– линейный

1

1

( ).

непрерывный

( ) → −

+ 0 = 0.

1( ):

1( )

( )

∫ ∑

∫ ∑,

Ω , =1

Возьмем = :

+ 0 2 = 0.

( )

Ω

=1

≥0

∫

2

2

Получаем, что

|

|

≤

‖

‖ 1

(Ω) ≤

Ω

0 =

0 = = 0.

Теорема 2. Существует 0

такое, что если < 0, то обобщенное решение задачи

= ,

= 0 единственно.

− , =1( ( ) ) + 0 = .

= 0.

Доказательство. ( )( ) =

Опять рассмотрим

=

∑

прошлом доказательстве

1

−2

2 – решение однородной задачи. В

получили неравенство:

| |

+ 0( ) 2 ≤ 0.

Ω

разности положительной и отрицательной частей: ( ) = +( )

−( ),

∫

−

Представим

0

в виде

+

0

где +( ) = max( 0, 0). − ≥ 0.

−( ) 2

∫

0( ) 2 =

∫

+( ) 2 −

+

∫

Ω

Ω

Ω

Если мы уберем интеграл с

, то неравенство сохранится. И того получаем:

∫

2

−( ) 2

2

≤

∫

≤

∫

.

| |

Ω

Ω

Ω

( − 4 2)

| |2 ≤ 0. Положим 0

=

.

4

<

Ω

положительно, на него можно поделить.

∫

∫

0

. Тогда выражение в скобках будет√

2

0.

2

|

|

≤

≡

‖

‖ 1(Ω) ≤

0 =

(

0 = = 0).