- •Введение
- •Постановка задач
- •Вывод уравнения теплопроводности
- •Постановка задачи для уравнения теплопроводности
- •Вывод волнового уравнения (уравнения колебаний). Вариационный принцип.
- •Струна
- •Постановка задачи для волнового уравнения.
- •Классификация уравнений второго порядка.
- •Замены переменных.
- •Постановка задачи Коши.
- •Распрямление поверхности.
- •Корректность.
- •Интегральные операторы.
- •Фан фанский.
- •Ограниченность интегральных операторов
- •Операторы со слабой особенностью.
- •Задача Штурма-Лиувилля.
- •Постановка задачи.
- •Функция Грина.
- •Задача ШЛ и интегральное уравнение.
- •Задача на собственные числа.
- •Гармонические функции
- •Формулы Грина.
- •Фундаментальное решение оператора Лапласа.
- •Принцип максимума.
- •Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
- •Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.
- •Следствия из формулы Пуассона.
- •Объемный потенциал и его свойства.
- •Теоремы о разрешимости краевых задач.
- •Обобщенные функции
- •Действия с обобщенными функциями.
- •Фундаментальное решение.
- •Пространства Соболева.
- •Соболевские производные.
- •Соболевские производные на отрезке.
- •Замкнутость дифференцирования.
- •Продолжение нулем.
- •След функции на границе.
- •Неравенство Фридрихса.
- •Теорема Реллиха
- •Стандартный эллиптический оператор.
- •Решение краевой задачи.
- •Теоремы единственности.
- •Энергетическое пространство.
- •Абстрактное уравнение.
- •Исследование абстрактного уравнения.
- •Разрешимость абстрактного уравнения.
4.4Принцип максимума.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. - огр область; ( ). Для |
любого шара : есть свойство среднего. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда, если |
|
|
* |
|
|
: ( *) = |
max ( ), |
|
то ( ) |
≡ |
( *). То есть, если на области |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
достигается максимум, то функция - константа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Будем строить константу, расплываясь по области. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
( *) = max ( ) |
. Если |
min : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
→ −. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
* - точка максимума. Напишем в ней теорему о среднем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( *) = | | · |
∫ |
|
|
( ) ( ). |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| − |= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Тогда максимальное значение ≡ среднему по сфере |
|
= ( ) = ( *) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
из сферы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если не так, то есть * : |
( *) < ( *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′( *) |
(окрестность на сфере, достаточно малая, чтобы значение также |
||||||||||||||||||||||||||||
|
( ) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
было на |
|
меньше значения в *) такая, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′( *) = |
( ) |
≤ |
( *) |
|
|
|
= ( *) |
− |
( *) > 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
− 2 , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ( ) ≤ ( *) − 2 |
| ′( *)| |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′( *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Разобьем сферу на две части: ∩ ′ |
′ |
и ′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть ′. Т.к. - точка максимума, то |
|
∫ |
|
( ) ( ) ≤ ( *) | ( )| |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
= + |
∫ |
|
= |
∫ |
( ) ( ) |
|
|
|
|
|
′ |
|
′( *) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( *) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
| |
|
| − 2 | |
|
|
| |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пытаемся распространить на всю область:
Рассмотрим две точки. По определению области их можно соединить путем.
: [0; 1] → . - компакт в , поэтому за конечное количество шагов доберемся
по шарам до конечной точки.
Для каждой точки пути строим шар, содержащий ее, и содержащийся в :
( ) ( ( ), ( ))
44
Эти шары образуют открытое покрытие : |
|
|
( ( ), ( )) |
||
|
|
[0;1] |
|
|
|
|
( ( ), ( )) |
|
Извлекаем конечное подпокрытие: |
||
=1 |
|
|
Таким образом, можем добраться за конечное число шагов до любой точки
= можем распространиться с шара на всю плоскость.
Следствие (слабый принцип максимума).
( ) ∩ (2)( ), = 0, - огр обл в R = maxmin ( ) = maxmin ( )
Доказательство. min( ) = − max(− ), поэтому рассматриваем максимум. max ≥ max (max на подмножестве не больше, чем на самом множестве).
Ω |
|
* |
|
: ( *) = max |
|
Если неравенство строгое, то |
|
||||
|
Ω |
Есть условие среднего, тогда, по принципу максимума, функция - константа на всей области.
4.5Постановка краевых задач. Теоремы единственности.
Рассмотрим - ограниченную гладкую поверхность в R i - internal, e - external
|
|
|
|
|
|
|
Задачи Дирихле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Внутренние ( ) |
|
|
Внешние ( ) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= в |
|
|
|
|
|
|
|
= в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(2)( ) ∩ ( |
|
) |
|
(2)( ) ∩ ( ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правильное |
поведение на |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′( ) = { |
| | |
|
| 1|2 ), = 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
), |
≥ 3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
||
Теорема 1 (единственности). Решение задачи единственно. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Доказательство. Пусть 1, |
2 |
- решения . = 1 − 2. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 = |
2 = |
= = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
= |
2 = |
= = 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
(2)( ) ∩ ( )
По принципу максимума для : maxmin ( ) = maxmin ( ) = 0. Таким образом, ≡ 0.
Ω
Аналогично для :
Теорема 2 (единственности). Решение задачи единственно.
Доказательство. Пусть 1, 2 - решения . = 1 − 2.
|
|
|
(2) |
|
∩ |
На : |
= 0 |
= 0 |
∞ |
|
|||
|
|
|
( ) |
( |
|
) |
|
|
поведение на |
. |
|||
|
|
|
|
+ правильное |
|
Принцип максимума не подходит, поскольку область не ограничена. := ∩ (0, ). Существует : (0, ), поскольку ограничена. Принцип максимума для :
maxmin ( ) = maxmin ( ) = 0. Фиксируем :
Ω ∂Ω
| |
( ) |
| ≤ |
∂Ω = | ( )| = |
| |
|
| |
=: ( ) |
|
|
|
|
|
max |
max |
( ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как есть правильное поведение, то : |
| ( )| ≤ |
|
= |
|
||||||
| | −2 |
−2 |
|||||||||
Таким образом, ( ) −→ 0. |
| ( )| ≤ ( ) → 0 = ( ) = 0. |
|
|
|
||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание : При ≥ 3 достаточно правильное поведение: ( ) −→ 0, ≥ 3
| |→∞
При = 2 - без доказательства.
4.6Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
= - условие Неймана. Задачи Неймана: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутренние ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
Внешние ( ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= в |
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂ |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
(2) |
|
|
|
|
|
|
||||
∂ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
( ) |
∩ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
∩ |
( |
|
) |
||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
( |
− |
( )) = ( ) |
равномерно по |
|
|
|
|
Правильное поведение на ∞ |
|||||||||||||||||
∂ ( ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(Правильная нормальная производная) |
|
|
|
|
правильная нормальная производная |
:= { − ( ) } – параллельная поверхность для .
∂ ( )
∂
Теорема 1 ( ). 1. Если 1, 2 (2)( ) - решения , то 1 − 2 ≡
2.Если (2)( ) - решение , то ∫ = ∫
46
Доказательство. |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2)( |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 в , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– произвольная: |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
|
|
∂ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡0 |
|
|
|||
:= = Ω∫ |
| |2 = 0 = ( ) ≡ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
= . |
|||||||||||||||||||||||
2. Была лемма: - огр |
= Ω = |
∂ . |
|
|
= , |
∂ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2 ( ). При ≥ 3 решение задачи единственно. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
При = 2 решения могут отличаться только на константу. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2 = ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(2)( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= 0 в , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂ = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
– правильное поведение на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= ∩ (0, ), |
(0, ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∫ |
= − ∫ |
| |2 + |
|
∂ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
∂Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= 0 в ; |
|
|
∂ = ; |
|
|
∂ |
|
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
| |
|
= |
∫ |
|
|
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
≥ 3: |
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ( ) ≤ − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
| ( )| |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
| | −2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
∂ |
|
≤ ∫ |
|
· |
|
( ) ≤ |
|
|
|
1 −1 |
|
−→→∞ 0 |
|
∂ |
−2 |
−1 |
2 −3 |
| | = |
| 2| −3 = |
−2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
̂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
∫
| ( )|2 |
= 0 = ( ) = 0 = ( ) ≡ |
| ( )| → 0 = ≡ 0 |
Ω
= 2:
| ( )| ≤
∂
≤
∂
| |2
( )
∫ |
∂ |
|
≤ 2 | | |
−→→∞ 0 |
( ) = |
|
|
−1 |
||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
| |
1 |
|||
|
|
|
̃ |
|
|
| |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение: Получаем, что при = 2 нет единственности для . Есть ли условия на и
, чтобы решение существовало? (Можно взять ≡ 0 или ( ) −→ 0)
| |→∞
4.7Решения задачи в шаре.
Рассмотрим = = (0, ). =
Теорема. Решение задачи существует и единственно для задачи
= 0
=
Явная формула:
1
( ) = | 1| ·
Для любой ( ).
∫ 2 − | |2
| − | ( ) ( )
Доказательство. Докажем в два этапа:
1.Будем предполагать, что решение существует из (2)( )
2.Докажем существование решения для любой функции ( )
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
1. Пусть существует |
|
(2)( |
|
) : |
= 0 в |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле интегрального представления: |
− ∫ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∫ |
|
|
− |
|
∂ |
|
∂ |
− |
|
||||
( ) = |
|
( |
|
|
) |
∂ |
( ) ( ) |
|
∂ |
( |
|
) ( ) ( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Зафиксируем . ( ) = ( ′ − ) (будет далее):
∫ |
=0 |
− |
=0 |
∫ |
(∂ |
− |
|
∂ ) |
|
|
|
|
|
= |
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
= ( ); = ( ) = ( ′ − ), где ′ - инверсная точка , т.е. | | · | ′| = 2 и и′ лежат на одном луче, выходящем из точки ноль.
′ |
|
|
|
|
|
(∞)( |
|
|
) |
|
|
|
= 0 |
|
в |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ( ′ − ) · ( ) ( ) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ′ − ) · ∂ ( ) ( ) = ∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
≥ 3 : ( ) = | | −2 |
|
|
( ′ − ) ( − ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| ′ − | | − | ; |
|
|
|
|
|
′ R |
|
|
|
, |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ′− | |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подобные треугольники: |
|
|
|
′ |
|
|
|
| | |
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
| − | |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
| ′| |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем: |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
| − | |
| | | ′− | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( , ) = ( |
|
) |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
( ′ − ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В интегральном представлении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
2− |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
∂ |
( ) ( ) |
|
|
|
|
|
∂ |
( |
|
|
|
) ( ) ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
| | ) − ( ′− ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
( − |
) |
|
|
( ) ( ) = |
( |
|
) |
|
|
|
∫ |
( ′ − |
|
) |
|
( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
| | |
|
|
|
∂ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∂ |
( ′ |
− |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ( ) ( ) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 − | |2 |
( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1| · ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) = |
∫ |
[(| |) |
|
|
|
|
| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
∂ ( ′ − ) − |
∂ ( − )] ( ) ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , )
≥ 3 : |
( ) = |
1 |
| 1|( −2)| | −2 |
49
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
· ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
=1 |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ | − | |
= |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
| |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
=1 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 · |
|
|
=1 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
| | · | − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√∑| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ | | · | − | |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
( ′ |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
· =1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
=1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
| |
| · |
|
| |
|
− |
|
|
|
|
|
| |
| |
|
− |
| |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Из подобия треугольников следует, что |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
| | |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |
′ |
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ′ − ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( − ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
| | |
) |
|
|
· =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
| · |
|
| |
|
− |
|
| |
|
|
1 |
| |
|
| |
|
− |
|
| |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |2 · |
|
( =1 ′ − 2 ) − =1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1| | − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′ = , > 0, |
= |
|
, |
|
|
′ |
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
|
|
|
|
|
2 − | |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1| | − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Теорема. Пусть (2)( |
|
); |
|
|
|
|
= 0 в |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
( ) = |
( , ) ( ) ( ) = |
|
|
|
| |
− | | |
|
|
| |
|
( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- формула Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оправдание формулы Пуассона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема. Для ( ) |
! решение задачи . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ) := |
( , ) ( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
Потом проверим, что - решение задачи.
50
1.(2)( ) ∩ ( )?
2.= 0 в шаре?
3. =
Базовые свойства ядра ( , ):
1.( , ) (∞)(по в (0, )), | | = .
2.( , ) = 0, | | < (| | = ).
3.( , ) > 0 в шаре: | | < , | | < .
( , ) 0 (| | → ) равномерно по , если и отделены (т.е. | − | ≥ > 0).
∫
4.( , ) ( ) ≡ 1, | | <
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) ≡ 1, ( ) (2)( |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
( , ) ( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. (Теоремы): - решение задачи? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. (∞)( ) |
∂ 1 . . . ∂ ( ) = |
|
∫ |
|
∂ 1 |
. . . ∂ ( , ) ( ) ( ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непр |
по |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , )) ( ) ( ) = 0 |
|||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
( , ) ( ) ( ) = |
( |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1| −| |−| |
| ( ) ( ), | | < |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
{ |
|
( ), |
|
= |
|
|
|
|
|
| | |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Пуассона, |
|
< |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о. |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
−→ |
|
( *). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
> 0 |
|
> 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( *) |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
| |
− |
* |
| |
|
< = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Фиксируем |
> 0 |
. |
|
|
|
|
|
| |
|
= , |
| |
|
− |
* |
| |
< = |
( ) |
− |
|
( *) |
< |
|||||||||||||||||||||
|
|
̃: |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
| |
|
|
|
|
| |
|
||||||||||||||||||||
|
|
( ) − ( *) = |
∫ |
( , ) ( ) ( ) − ∫ |
|
( , ) ( *) ( ) |
51