Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphys_tex.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

932.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

= = .

6.3Замкнутость дифференцирования.

Рассмотрим последовательность функций { } 1, ( ). Также есть последовательность { } 1, ( ) такая, что

	→		в ′( )		= = ( )
	→		в ′( )
( ,		1,		( ))

= ( ) (собол).

собол.

Замкнутость оператора : → означает, что если есть последовательность в ,

имеющая предел, если есть предел у последовательности образов в , то тогда предел последовательности образов равен образу предела последовательности (lim = lim ).

}

→ в

Коротко:

→ в Это определение равносильно тому, что график оператора замкнут (содержит все свои

предельные точки). ( ) = {( , ) } – замкнутое множество в × .

Лишний раз определение и свойства можно посмотреть в фане и даже на википедии. В утверждении говорится, что дифференцирование – замкнутый оператор в ′( ) .

(∞) ∫ ∫

Доказательство. 0 ( ) = − .

Запишем иначе: < ,

> = − < , > ~.

′( )

→

′

( ) =

)

(по определению сходимости в

= ( )

< , >→< , >.

Переходим ~ к пределу: < , >

= − < , >.

Это по определению означает, что =

собол.

Замечание : Пусть

2( ),

→ в 2( ),

= ( )

2( ), → в 2( ).

Тогда

′( )

→

′

( )

. (Тут опять отождествляем

↔

)

→

Доказательство.

→

( ) =

′( )

→

‖ − ‖ 2(Ω) → 0 = 0(∞)( )

∫

→ ∫

Неравенство Коши-Буняковского-Шварца (|( , )| ≤ ‖ ‖ · ‖ ‖) (можно и Гельдера):

(

)

2(Ω)

∫

−

≤

∫

−

≤ ‖

−

‖

· ‖

‖

→

6.4Пространство 1(Ω) .

1( ) = { 2( )	[1 : ]	собол 2( )}.

То есть существуют все производные первого порядка. Можно ввести пространства , в

которых требыется принадлежность 2( ) от всех производных до порядка включительно:( ): ∂ 2( ), | | ≤ . Будем рассматривать 1( ) .

Скалярное произведение в 1( ) :

( , ) 1(Ω) = ∫

=1 = ( , ) 2(Ω) + =1( , ) 2(Ω).

∑

Норма:

‖ ‖ 1(Ω) =

| |2 +

( , ) 1(Ω) =

√

∫

∑

Сходимость:

{ } 1( );

→ в 1( )

‖ − ‖ 1(Ω) → 0

{

→( )

в 2( )

в 2

( )

→

Теорема. 1( ) – полное пространство (так как оно нормировано, то оно – Гильбертово).

Доказательство. Пусть { } – фундаментальная в 1( ) .

‖ − ′‖ 1(Ω) → 0,

, ′ → ∞ {

‖

− ( )

( ′)

′‖ 2

(Ω) → 0

2(Ω) →

−

( )

То есть фундаментальность {

} в

{

}

и фундаментальности {( ) } в 2( ) .

2( )

: →( ) 2

в 2( )

2( ) – полное пространство, поэтому: {

( ) :

( ),

→

Из замкнутости дифференцирования следует, что

= ( )

собол.

= 1( ).

2( ), у нее существуют соболевские производные

2( )

6.5Пространство 1(Ω) .

Пространство гладких финитных функций 0(∞)( ) – линейное подпространство 1( ) .

1( ) – замыкание 0(∞)( ) в норме 1( ) . То есть:

1( ) = { { } (∞)( ) : → в 1( )}.

Опять фан: пусть есть линейное подпространство в гильбертовом пространстве . –

линейное пространство в . Норма и скалярное произведение в берется из в . – полное

(гильбертово) пространство.

То есть в 1( ) норма и скалярное произведение – из 1( ) , и оно также является

гильбертовым. В 0(∞)( ) есть все то же самое, кроме полноты. 1( ) – его пополнение по норме.

6.6Продолжение нулем.

Рассматриваем область

. Пусть есть функции

такие, что:

( ) =

{

( ),

/ . .

Тогда ̃ – продолжение нулем функции .

Можно считать, то ̃. Например, Если положить ̃ = R , то все ок.

Теорема. 1( ) = ̃ 1(̃).

Зачем 1( )? В одномерном случае ( = 1, = ( ; )):

– абсолютно непрерывна. В то же время ̃ – не абсолютно непрерывна, поскольку на границах промежутка будет разрыв. ̃ не имеет соболевской производной на ̃.

Соболевская производная от ̃ существует ( ) = ( ) = 0, иначе из-за разрыва она исчезает.

= { } 0(∞)( ) :

→ в . Так как все

–

Доказательство. 1( )

финитные, то их все можно продолжить нулем { } 0(∞)(̃). → ?

‖

−

‖

,−′→→∞

∫

−

∑

−

̃2

→

′

1(Ω)

′

( )

( ′)

∫

| − ′|2 +

( ) − ( ′)

2 → 0

∑

То есть { } – фундаментальная в 1( ).

Так как 1 – полное, то 1( )̃:

→ в 1( ).

= п.в.

Раз

1( )

, то, в

частности,

→

в ( ).

→

Существует

{

}

→

подпоследовательность

такая, что

поточечно п.в. в (в фане

была такая теорема, связывающая сходимость по мере и поточечную сходимость)̃.

При

( ) = 0

(то есть ( ) = 0 п.в. на ).

→ в̃ 2( ):

= ̃ ( ) = ( ) → ( ) п.в. в

(то есть ( ) = ( ) п.в. на ).

( ) =

{

( ),

То есть = п.в.

п.в.

( ).

( ) – сходится к в ̃ .

(∞)

‖ − ‖̃ 1

(Ω) = ‖ − ̃‖ 1(Ω).

(2)

;

(1)

( )

= 0.

Следствие : – ограниченная область;

( ).

Доказательство.

= – без доказательства.

= : Раньше у нас была область

с перепонкой :

Функция задавалась: на − была −, на + была +. Тогда получили результат, что

должна быть непрерывна на

Поместим

в шар :

0. Таким образом, существование

необходимо и достаточно, чтобы

Для непрерывности ̃

( )

= 0.

соболевской равносильно

6.7След функции на границе.

Пусть 1( ). Хотим найти . На самом деле есть много представителей класса

эквивалентности [ ]. Для [ ]
эквивалентности [ ]. Для [ ]			− = 0 п.в.		до +				, поскольку – множество нулевой
	может принимать	любые значения от		−∞	до +			∞	, поскольку – множество нулевой
	может принимать	̃	̃	−∞				∞

						(1)
	Чтобы все было хорошо, потребуем					(1)	( ); такая в [ ] если существует, то
меры.	Чтобы все было хорошо, потребуем						( ); такая в [ ] если существует, то
единственна.

На (1)(

) есть отображение : −→

. Можно доказать, что : 1( ) → 2( ),

(1)

причем непрерывно.

( ).

{ }

(

→ в ( )

= { } сходится в 2( ).

(1)( ).

‖ ‖ 2( ) ≤ · ‖ ‖ 1(Ω)

1( )

−

′

(1)

( )

. {

} – фундаментальная в

. Тогда {

} – фундаментальная

в 2̃( ). Положим := lim – след функции на S.

Для 1( ) след равен 0 (доказали в прошлом параграфе).

1( ) и = 0.

Утверждение : 1( )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2118 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019147.46 Кб3materiali_do_seminarskikh_zanyat.doc
#
15.04.2015128.51 Кб39Materialy_k_lektsii_Psikhologi (1).doc
#
22.11.201934.82 Кб2Material_6_Slogany_dlya_FGOS.doc
#
05.08.2019176.5 Кб4math_analys.rtf
#
21.03.20169.57 Mб354matlab_manual.rtf
#
16.04.2015932.96 Кб143matphys_tex.pdf
#
02.09.201932.38 Кб7Matritsa_Pervichnogo_SWOT-Analiza_Gruppa_25 (1)...docx
#
22.05.2015341.74 Кб628Mat_metody_Otvety_na_test.docx
#
13.08.2019398.67 Кб6Maykl_Yapko_-_Gipnoz_dlya_psikhoterapii_depress...docx
#
15.04.2015431.91 Кб124Mchp_2014_-_Vse_Voprosy_K_Ekzamenu.docx
#
23.11.2018463.36 Кб10mchs_ocenka.doc