Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphys_tex.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

932.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

∫

( ) − ( *) = ( , ) ( ( ) − ( *)) ( )

′ = ′′

′ - окрестность на сфере. ′.

= ′

+ ′′

≤ ′

′′

∫

Первый интеграл:

( , ) ( ( )

( *)) ( )

( , )

( )

∫

−

≤

∫

≤

′

| |<

∫

( , )

( ) =

≤

∫

≤

′

Второй интеграл: ( ) = | ( )| ≤ равномерно.

( , ) ( ( )

( *)) ( )

( , ) ( )

? 2

′′

∫

−

≤

∫

≤

′′

| |≤

| |

= ′′ | − | >

: | − *|

2̃

̃ ( , )

0 (равномерно по при

* > 0, а у нас

−

> 2 ).

| |→

= ′′

− | ≥

| −

0 < ( , ) <

| −

4.8Следствия из формулы Пуассона.

Обратная теорема о среднем. - огр область в R ; ( ); для ( *, )

∫

( *) = 1 ( ) ( ) = (∞)( ), = 0

| |

| *− |=

Была прямая теорема: (2)( ), = 0 = есть свойства среднего.

Доказательство. (∞)( )? Достаточно доказать (∞)( ) для всех шаров .

Зафиксируем . Рассмотрим задачу Дирихле в шаре ( 0, )

(2)( ) ∩ ( )

= 0 в

= ( )

Доказали, что существует - решение этой задачи. ( ) ≡ ( ) в ? := − ; Для выполняется условие среднего (по условию теоремы).

Для выполняется условие среднего для ̃ . Для выполняется условие среднего для ̃ .

( ). Слабый принцип максимума: maxmin ( ) = maxmin ( ) = 0

( ) ≡ 0 в = ( ) ≡ ( )

Теорема Лиувилля. (2)(R ); = 0 в R ; ограничена либо сверху, либо снизу

= ( ) =

Доказательство. Пусть ограничена снизу (иначе → −). Можно считать ее ограниченной нулем: ( ) ≥ = ( ) →( ) −

Рассматриваем ( )

≥ 0.

(2)( (0, )); = 0.

( ) =

∫

2 − | |2

( )

при |

| 1|

| − |

| |=

Пусть | | = = | + | ≤ | | + | | = + .

2 − | |2

2 − 2

−

| − | ≥

( + )

( + ) −1

( )

≥

0 =

∫

2 − | |2

( )

≥

∫

−

( )

( + ) −1

| − |

| |=

∫

Не зависит от

( ) ( )

| | (0)

(По свойству среднего).

| |=

−2

≥

( + ) −1 ·

| ·

( )

−

(0).

= ,

= =

−

| ≥

−

2 − | |2

2 − 2

( − )

| |

| − | ≤

∫

≥0

· ∫

( ) =

− | |

( ) ( ) ≤

( ) ( ).

| ·

( ) −1

| − |

| ·

−

| |

−2

( ) ≤

(

) −1

· (0).

| ·

−

Если > , то имеем неравенства. Фиксируем R . → ∞

Правые части стремятся к u(0).

( ) ≥ (0),

( ) ≤ (0) = ( ) =

Неравенство Гарнака. – огр. обл. ( ) (2)( );

( ) ≥ 0 в ;

= 0 в ;

Тогда

существует

зависящая

от

и 0

и не зависящая от :

, 0

( ) ≤ · ( ).

Ω0 Ω

Доказательство.

1. Для начала рассмотрим случай = (0, );

0 = (0, 0)

= 0; ≥ 0 в

; (

)

Было в доказательстве теоремы Лиувилля (0 ≤ ≤ 0 < ):

( ) ≤ −2

+ 0

(0)

( − 0) −1

( )

≥

−2

− 0

(0)

( + 0) −1

Видно, что существуют константы −, +:

( ) ≥ − · (0),

( ) ≤ + · (0).

, ̃

(̃) ≤ + · (0)

≤ + · −−1 · ( ).

2.Пусть , 0 - произвольные области.

0 - компакт. Тогда существует > 0: ( 0, ∂ ) = 2

Рассмотрим множество шаров { ( , )}: 0
			( , ), ( , ) . 0 - компакт,
			Ω0

		( , ) = конечный набор: 0
0			( , ).
	Ω0		=1
Внутри любого шара ( ) ≤ · ( ).
, 0		= ( ) ≤ · ( ). ( и соединены цепью из не более чем N шаров).

Упражнения :

1. - огр обл, { }: = 0 в						, (	).
1. - огр обл, { }: = 0 в						, (	).
				→∞
		=			равномерно в :

	= 0 в		.
1				1		равномерно на любом компакте в .
∂ 1	. . . ∂		∂ 1		. . . ∂	равномерно на любом компакте в .

2.- огр обл, { }: (∞)( ), = 0 в , +1 < . Если *: ( *) сходится, то равномерно на любом компакте в , (∞)( ), = 0.

4.9Объемный потенциал и его свойства.

Объемный потенциал: ( ) = − ∫ ( − ) ( ) .

( ) - плотность потенциала.

	{	\|	1\|		ln	, = 2
					1	, ≥ 3
( ) =			1 ( −2)\| \| −2			, ≥ 3
		−			\| \|
		−		2	\| \|

Вопросы :

1.Когда ( ) 2?

2.( ( )) =?

Утверждение. 1. 0(2)( ) = ( ) (2)(R ).

2. 1( );	( ) (∞)(R );	= 0;	( ) −→ 0	, ≥ 3.
			\| \|→∞

0(2); (2)( ); - компакт.

Доказательство.	1.	R
- функция в	. Доопределим ее нулем за пределами области.
				=	( )	,
				{	0	, /
				̃
Тогда =				0(2)( ) = 0(2)(R )
Ω	R∫		̃			̃
Тогда ∫	R∫		̃			̃
	( ) = − ∫			( − ) ( ) . = − ∫			( − ) ( ) .
			Ω			R	̃

Сделаем замену на : = − .

(2)

∫

( ) = −

( ) ̃( − ) .

(2) по

( ) = − ∫

( ) ( )( − )

2 ( ) = − ∫

( ) ( 2 )( − )

2. R

( ) = − ∫

(

∞

)

по в R

( − )

( ) .

− ̸= 0 /

( ) = − ∫

∂ 1

. . . ∂

(∂ 1

. . . ∂

)( − ) ( )

(∞)

( ( )) = − ∫

( ( − )) ( ) = 0

= 0.

( ) = 0, = 0

−

≥ 3 = ( ) =

| | −2

− ∫

( ) | −→|→∞ 0 .

( ) =

−2

−

| −→|→∞

0 равномерно по

Упражнение : при = 2 остается разобраться, когда (т.е. при каких )

( ) =	2 ·		Ω∫	ln \| − \| ( ) - гармоническая в R2 .
	1

= ? . Было:

0(∞)( ) = ( ) = − ∫ ( − ) ( ) ,

т.е. - объемный интеграл с плотностью .

→ - интегральный оператор.

Т.о., для 0(∞)		=
	: −→ −→

= ( )−1

Выдвигаем гипотезу, что = .

−→ −→

Теорема. Если (2)( ), то ≡ в .

Доказательство. Сведем вторую цепочку к первой. 0(∞)( )

Была формула Грина:

	Ω∫	− =	∫	∂ −	∂
				∂	∂
Ω∫	( ) ( ) = Ω∫		( ) ( ) =

∫

− ∫

( − ) ( )

( ) =

∫

− ( )

∫

( − ) ( )

(

)

= − ( )по ф-ле интегрального

представления

∫

−

Ω∫

( ) ( ) =

Ω∫

( ) ( )

0(∞)

ОЛВИ

( ( )

( )) ( ) = 0

( ) =

− = 0.

(2) = (2)

: ( ) → ( −2) = −1

: ( ) → ( +2)

Гельдеровские классы: , , Z+, (0, 1)

, :

( ) = ∂

| ( ) − (̃)| ≤ | − ̃|

( )

: +2, → ,

Можно доказать, что : , → +2,

Объемный интеграл дает нам частное решение уравнения Лапласа.

		:	=		Круг:
			=


= .	= частн + общ		{	общ = 0
= = общ				частн =
= = общ		= − частн .

= 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019147.46 Кб3materiali_do_seminarskikh_zanyat.doc
#
15.04.2015128.51 Кб39Materialy_k_lektsii_Psikhologi (1).doc
#
22.11.201934.82 Кб2Material_6_Slogany_dlya_FGOS.doc
#
05.08.2019176.5 Кб4math_analys.rtf
#
21.03.20169.57 Mб354matlab_manual.rtf
#
16.04.2015932.96 Кб143matphys_tex.pdf
#
02.09.201932.38 Кб7Matritsa_Pervichnogo_SWOT-Analiza_Gruppa_25 (1)...docx
#
22.05.2015341.74 Кб628Mat_metody_Otvety_na_test.docx
#
13.08.2019398.67 Кб6Maykl_Yapko_-_Gipnoz_dlya_psikhoterapii_depress...docx
#
15.04.2015431.91 Кб124Mchp_2014_-_Vse_Voprosy_K_Ekzamenu.docx
#
23.11.2018463.36 Кб10mchs_ocenka.doc