28. Средняя арифметическая и ее свойства

Под средней арифметической понимается такое среднее значение признака, при замене которым индивидуальных значений признака, суммарный объем признака по совокупности в целом сохраняется неизменным, т.е.средняя арифметическая есть среднее слагаемое.

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В данном случае расчет проводится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Если дискретный вариационный ряд:

Если интервальный вариационный ряд: 1) найти серединные значения каждого из интервалов. 2)

Вычислительные свойства средней арифметической:

1) если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же величину А, то и средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на ту же самую величину А;

2)  если все значения признака разделить (умножить) на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) в А раз;

3)    если вес каждого значения признака разделить на какое-либо постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится.

Сущностные свойства средней арифметической:

1) Средн.арифмтич. постоянной величины = этой постоянной величине

2) Сумма отклонений индивидуального значения признака от средней арифметической равна нулю:

29. Виды степенных средних. Правило мажорантности.

Степенные средние делятся на простые и взвешенные.

Общая формула простой степенной средней записывается следующим образом:

Взвешанная:

где  k-показатель степени, определяющий вид степенной средней, f_i-вес усреднения

При k = 1 – средняя арифметическая;

k = 2 – средняя квадратическая;

k = 3 – средняя кубическая;

k = 0 – средняя геометрическая;

k = -1 – средняя гармоническая.

Средняя квадратическая величина применяется тогда, когда вместо индивидуальных значений признака представлены квадраты исходных величин.

Средняя кубическая если необх.сохр. неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на сред.величину

Средняя геометрическая применяется в случаях определения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определения средней величины по относительным показателям.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Различают среднюю гармоническую простую и взвешенную.

Средняя гармоническая простая.

Средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.

Правило мажорантности: чем выше показатель степени k, тем больше значение ср.величины при условии, что индивид.значение признака варьирует.

Хгарм  < Хгеом < Харифм < Хкв < Хкуб