- •Элементы линейной алгебры с приложением
- •Введение
- •1. Определители
- •Определителем матрицы Вназывается число
- •2. Системы линейных уравнений
- •Рассмотрим снова систему (2). Определитель
- •3. Векторы и ленейные операции над ними
- •4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение
- •Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим
- •5. Векторное и смешанное произведения
- •Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что
- •6. Уравнение плоскости и прямой
- •Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид
- •7. Матрицы
- •Пусть дана квадратная матрица
- •Покажем, что
- •8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений
- •Рассмотрим матрицу
- •Матрицы
- •Пример 2. Решить систему
- •По формулам Крамера
- •9. Линейные преобразования. Собственные векторы
- •Матрица
- •Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы
- •В силу следствия из раздела 8
- •В двумерном случае система (3) имеет вид
- •Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:
- •10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида
- •Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем
- •Матрица
- •Матрица преобразования в базе1,2диагональная
- •11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
- •12. Положительные матрицы
- •13. Балансовая модель
- •14. Продуктивные матрицы
- •15. Норма матрицы
- •16. Итерационный метод
- •17. Возмущение решений
- •18. Демографический рост
- •19. Регрессионные модели
- •20. Постановка транспортной задачи
- •20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.
- •20.2 Базисное распределение в транспортной задаче
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 11
- •21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)
- •Вариант 13
- •22. Формализация производственных задач линейного программирования
- •23. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •24. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования
- •24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам
- •Симплексная таблица
- •24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам
- •24.4 Двойственные задачи, оценки, проблемы.
- •Ответы к вариантам:
- •25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
- •26. Условия сходимости итерационного процесса
- •27. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации
- •28. Метод зейделя. Условия сходимости процесса зейделя
- •29. Оценка погрешности процесса зейделя
- •30. Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации
- •31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Вариант 1
- •Вариант 9
- •Экзаменационные вопросы
31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
Пусть дана неособенная матрица А и требуется найти ей обратную А-1 . Предположим, что мы получили приближенное значение обратной матрицы
.
Тогда для улучшения точности воспользуемся методом последовательных приближений следующим образом. За нулевое приближение обратной матрицы А-1 принимаем значение D0 погрешность которого есть матрица
Дальнейшие последовательные приближения будем строить по формуле
(1)
и соответствующая погрешность
Если все элементы матрицы удовлетворяют неравенству где n-порядок матрицы и то процесс итерации заведомо сходится.
Оценка погрешности данного метода имеет вид
(2)
где под нормой понимается норма 1 и норма 2.
Процесс уточнения элементов обратной матрицы
исправить элементы приближенной обратной матрицы с точностью до 10-5 .
Решение. 1) Методом Гаусса находим приближенную обратную матрицу
Далее, получаем
Так как то итерационный процесс сходится.
2) Пользуясь формулой (1), находим следующее приближение D1 . Имеем
3) Аналогичным образом получим приближение D2
Следовательно,
Упражнения
1. Вычислить АВ, если
а)
б)
Ответы: а) б)
2. Вычислить 2(А+В)(2В-А), если
а)
б)
Ответы: а) б)
3. Найти произведение XY, если
а) б)
в)
Ответы: а) б)в) 409.
4. Найти произведение АХ, если
а)
б)
Ответы: а) б)
5. Вычислить определители
а) б)
в)
Ответы: а) 22; б) -26; в) 4279,1.
6. Вычислить А-1 для следующих матриц:
а) б)
в)
Ответы: а) б)
в)
7. Для матриц
и
вычислить норму 1, 2 и норму 3.
Ответы: а) =1,9;=1,9; =2,55; б) =1,45;=1,07; =1,20.
8. Найти АВ, где
Двумя способами: а) разбив А и В на квадратные клетки; б) разбив А и В на клетки окаймлением
9. Вычислить А-1, применив разбиение на квадратные клетки и окаймление, если:
а) б)
Ответы:
а) б)
10. Матрицы, заданные в упр. 9, разложить на произведение двух треугольных и обратить их, применяя разложение матриц на произведение двух треугольных.
Ответы: а)
б)
11. Решить матричные уравнения:
а) б)
Ответы: а) б)
12. Следующие системы линейных уравнений решить по формулам Крамера:
а) б)
Ответы: а) =0,= -1,=2; б)x=2, y= -2, z=1.
13. Решить следующие системы по схеме Гаусса:
а) б)
Ответы: а) =1,= -1,=1,=-1; б)=-1,= 2,=0,=3.
14. С точность до 0,001 решить следующие системы по схеме Гаусса:
а) б)
Ответы: а) =1,120,= -0,341,=-0,008; б)x=0,008, y= -0,231, z=0,042.
15. Вычислить определители по схеме Гаусса:
а) б)
Ответы: а) d=88; б) d=2111,97.
16. Обратить следующие матрицы по схеме Гаусса:
а) б)
Вычисления вести с тремя десятичными знаками, ответ округлить до двух десятичных знаков.
Ответы:
а) б)
17. Решить следующие системы линейных уравнений с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, предварительно определив необходимое количество шагов:
а) б)
Ответы: а) = -0,72,= 1,88,= -0,92,= -1,94; б)x=1.22, y= -0,67, z=0,35.
18. Системы линейных уравнений из упр. 17 решить методом Зейделя, предварительно определив необходимое количество шагов.