- •Элементы линейной алгебры с приложением
- •Введение
- •1. Определители
- •Определителем матрицы Вназывается число
- •2. Системы линейных уравнений
- •Рассмотрим снова систему (2). Определитель
- •3. Векторы и ленейные операции над ними
- •4. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат. Скаряное произведение
- •Доказательство.Используя свойства 3, 4, получим
- •5. Векторное и смешанное произведения
- •Легко проверить исходя из определения векторного произведения, что
- •6. Уравнение плоскости и прямой
- •Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку м1имеет вид
- •7. Матрицы
- •Пусть дана квадратная матрица
- •Покажем, что
- •8. Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений
- •Рассмотрим матрицу
- •Матрицы
- •Пример 2. Решить систему
- •По формулам Крамера
- •9. Линейные преобразования. Собственные векторы
- •Матрица
- •Так как 0, то1,2,3– ненулевое решение однородной системы
- •В силу следствия из раздела 8
- •В двумерном случае система (3) имеет вид
- •Замечание.Если матрица Аφлинейного преобразованияв базе диагональная:
- •10. Симметрические и ортогональные матрицы Квадратная матрица вида
- •Оказывается, что векторы 1и2перпендикулярны. В самом деле, применяя лемму, получаем
- •Матрица
- •Матрица преобразования в базе1,2диагональная
- •11. Квадратичные формы. Кривые второго парядка
- •12. Положительные матрицы
- •13. Балансовая модель
- •14. Продуктивные матрицы
- •15. Норма матрицы
- •16. Итерационный метод
- •17. Возмущение решений
- •18. Демографический рост
- •19. Регрессионные модели
- •20. Постановка транспортной задачи
- •20.1 Математическая формулировка транспортной задачи.
- •20.2 Базисное распределение в транспортной задаче
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 11
- •21. Техника решения транспортной задачи вручную (метод потенциалов)
- •Вариант 13
- •22. Формализация производственных задач линейного программирования
- •23. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •24. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •24.1 Общая формулировка задачи линейного программирования
- •24.2 Заполнение симплексной таблицы по строкам
- •Симплексная таблица
- •24.3 Заполнение симплексной таблицы по столцам
- •24.4 Двойственные задачи, оценки, проблемы.
- •Ответы к вариантам:
- •25. Метод последовательных приближений (метод итерации)
- •26. Условия сходимости итерационного процесса
- •27. Оценка погрешности приближенного процесса метода итерации
- •28. Метод зейделя. Условия сходимости процесса зейделя
- •29. Оценка погрешности процесса зейделя
- •30. Привеление системы линейных уравнений к виду, удобному для итерации
- •31. Исправление элементов приближенной обратной матрицы
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Вариант 1
- •Вариант 9
- •Экзаменационные вопросы
Министерство сельского хозяйства РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Красноярский государственный аграрный университет»
Факультет Экономический
Кафедра прикладной математики
Элементы линейной алгебры с приложением
Под ред. А.К. Шлёпкина
Красноярск
2008
Составители: А.К. Шлёпкин, Т.А. Ширяева, Г.В. Миронов, К.А. Филиппов, С.А. Кузнецов, С.А. Тарасов, В.А. Середа, Л.Р. Тухватуллина, Н.В. Усенко, А.А. Городов.
Элементы линейной алгебры с приложением: Учебное пособие/Под ред. Проф. А.К. Шлёпкина; Красн. гос. Аграрн. Ун-т – Красноярск, 2008. – с.120
Приведены теоретические сведения, методические указания по решению ряда задач.
Студентам I, II и III курсов экономических специальностей.
Рецензент: С.И. Сенашов, доктор физ.-мат. наук, профессор СибГТУ.
Печатается по решению редакционно-издательского совета красноярского государственного аграрного университета.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Определители ……………………………………………………………...…..5
Системы линейных уравнений …………………………………………….....8
Векторы и линейные операции над ними …………………………………..12
Векторы в декартовой прямоугольной системе координат, скалярное произведение ………………………………………………………...…....….15
Векторное и смешанное произведения ………………………………..........17
Уравнение плоскости и прямой ………………………………………..........20
Матрицы …………………………………………………………………........24
Ранг матрицы. Исследование системы линейных уравнений …….......…...28
Линейные преобразования. Собственные векторы …………………...........31
Симметрические и ортогональные матрицы ………………………........….34
Квадратичные формы. Кривые второго порядка ………………….........….36
Положительные матрицы …………………………………………..........…..37
Балансовая модель ……………………………………………...................…39
Продуктивные матрицы …………………………………………........……..40
Норма матрицы …………………………………………………….......…….43
Итерационный метод ……………………………………………...........……45
Возмущение решений ………………………………………………........…..46
Демографический рост ……………………………………………….......….48
Регрессионные модели …………………………………………….…......….50
Постановка транспортной задачи………….………………………..........….52
Техника решений транспортной задачи вручную. Метод потенциалов .....61
Формализация производственных задач линейного программирования ...64
Геометрическая интерпретация задач линейного программирования....... 67
Комплексный метод решения задач линейного программирования ….......72
Метод последовательного приближения (метод итераций)………..............81
Условия сходимости итерационного процесса …………………….............85
Оценка погрешности приближенного процесса метода итераций .............86
Метод Зейделя. Условия сходимости процесса Зейделя………...................87
Оценка погрешности процесса Зейделя ………….........................................90
Приведение системы линейных уравнений к виду, удобному
для итераций…………………………………………………………………. 91
Исправление элементов приближенной обратной матрицы………………92
Упражнения……………………………………………………………………….94
Задания для самостоятельной работы…………………………………………..99
Экзаменационные вопросы……………………………………………………..116