3. Корреляционно-регрессионный анализ

Для определения формы влияния факторных признаков на результативный применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа - выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной.

Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этих методов.

Связь между признаками единиц статистической совокупности проявляется в том, что с изменением значения одного из них меняется величина другого. Различают два типа связи между признаками - функциональную и статистическую. При функциональной связи за изменением одного признака (независимой переменной, фактора) всегда следует строго определенное изменение другого (зависимой переменной, результата). Функциональная связь может быть выражена математическим уравнением, действительным для любого значения аргумента.

При статистической связи наряду с изучаемым фактором на результат действуют многие случайные причины. Это приводит к тому, что разным значениям фактора соответствуют разные вероятностные распределения значений результата. Если изменение одной переменной служит причиной изменения другой, то это случай регрессионной зависимости и связь переменных может быть оценена уравнением регрессии x₀=f(x]). Уравнение регрессии - это формула статистической связи между переменными, которая действительна лишь в среднем, а не для каждого наблюдения. Уравнение регрессии называют также математической моделью связи.

Корреляционно-регрессионный анализ позволяет по данным статистического наблюдения решить две основные задачи:

1. Определить среднее изменение результативного признака (функции) при изменении фактора (аргумента) на единицу в абсолютном и относительном измерении.

2. Установить меру относительного влияния факторного признака на изменение результативного, разложить вариацию последнего по источникам образования и определить роль фактора в общем объеме вариации результата.

Поскольку корреляционно-регрессионный анализ изучает связи, проявляющиеся в среднем, то при его проведении следует соблюдать общие условия применения средних величин: качественная однородность совокупности и достаточно большое число единиц наблюдения.

Корреляционно-регрессионный анализ ведется в определенной последовательности и состоит из ряда этапов:

1. Установление причинных зависимостей в изучаемом общественном явлении.

2. Формирование корреляционной модели связи.

3. Расчет и анализ показателей регрессии.

4. Расчет и анализ показателей тесноты связи.

На основании данных выборочной совокупности хозяйств Канской зоны, представленных проведем корреляционно-регрессионный анализ.

Как уже говорилось, из предыдущего раздела факторными признаками мы выбрали уровень оплаты труда, затраты на корма на 1 голову, выход приплода на 100 маток. На основании выбора результативного и факторных признаков построим и рассчитаем корреляционно-регрессионную модель.

Данные расчета полученной модели при помощи компьютерной

программы Microsoft Excel представлены в приложении 1.

23

По матрице парных линейных коэффициентов корреляции можно судить о тесноте связи факторов с результативным признаком и между собой. Матрица парных коэффициентов для нашего примера говорит об отсутствии коллинеарных (т. е. линейно-связанных) факторов, что позволяет включить все эти факторы в уравнение регрессии.

На основе этой матрице вычисляются наиболее общие показатели тесноты связи всех входящих в уравнение регрессии факторов с результативным признаком - коэффициенты множественной корреляции и множественной детерминации.

Коэффициент множественной корреляции - показывает тесноту связи между результативным и несколькими факторными признаками. Может принимать значение от -1 до 1.

Независимо от формы связи, показатель множественной корреляции можно рассчитать как индекс множественной корреляции:

а²

^ост

Uy

У

Кух₁х₂.-х_п

где 0%_ст—^{1 n} - остаточная дисперсия для уравнения

У — f(^xi> ^Х2> ■ ■ • j ^Хп)-

Величина R²называется коэффициентом множественной детерминации.Она показывает, какая доля вариации изучаемого показателя объясняется влиянием факторов, включённых в уравнение множественной регрессии. Может принимать значения от 0 до 1. Формула

скорректированного индекса множественной детерминации имеет вид:

=₂ _ Y*(y -У)²\(п-т- 1)

£(У-У)² :(*-!) ' где ш - число параметров при переменных х;nп - число наблюдений.

В нашем случае коэффициент множественной корреляции и коэффициент множественной детерминации равны 0,9933 и 0,9867 соответственно, следовательно связь сильная.

Количественно зависимость изменения теоретического значения y_N от изменения х, которую выражают коэффициенты регрессии, часто бывает удобнее выразить в относительных величинах. Для этого исчисляюткоэффициент эластичности (Э).Он характеризует, на сколько процентов увеличивается у при увеличении х на один процент, другими словами, он показывает, на сколько изменится признак-результат, если признак-фактор изменится на один процент. Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

о . о .. г* -с*

Для нашего примера коэффициент эластичности равен:

- 0,633

34,09

Коэффициент показывает, что при изменении факторного признака (затраты на корма) на 1% результативный признак (уровень молочной продуктивности) изменится на 0,633%.

9

Эг^-0,81 —- - о,24

34,09

Коэффициент показывает, что при изменении факторного признака (уровень оплаты труда) на 1% результативный признак (уровень молочной продуктивности) изменится на 0,24%.

Эз= - 0,07242 • - -0,19 39,09

Анализ полученных коэффициентов эластичности показывает, что по абсолютному приросту наибольшее влияние на продуктивность молочного стада оказывает фактор х₃— повышение выхода приплода на 1% приводит к росту продуктивности на 0,63%. Повышение же уровня оплаты труда на 1% повышает продуктивность только на 0,24%, а выход приплода снижает на - 0,19%.

Р -коэффициент -показывает, на сколько стандартных отклонений

изменится вариация результативного признака, если усоответствующего

данному р - коэффициенту фактора вариация увеличится на одно

стандартное отклонение, при фиксированном положении остальных

факторов. Этот коэффициент позволяет сравнивать влияние колеблемости

различных факторов на вариацию исследуемого показателя, на основе чего

выявляются факторы, в развитии которых заложены наибольшие резервы

изменения результативного показателя. /3 — коэффициент рассчитывается по

формуле:

<7_Xiа_Х2а_Хп

Pi—^ai~~r>Pi—^а2~~~; ■■■; Рп —^ап ■

В нашем случае /3 - коэффициент равен:

_А=3,19-М!«₌О,77

2,556

_A=0,81.M!Z83₌0,₁₃

2,556

0 047?

А =(-0,07242)--0,0013 2,556

Анализ р-коэффициентов показывает, что на продуктивность коров наибольшее влияние из трёх исследуемых факторов с учетом уровня их вариации способен оказать фактор Xi - уровень оплаты труда, так как ему соответствует наибольшее значение (3-коэффициента.

Уравнение множественной регрессии можно строить в линейной форме:

Ух ~ ^а0 "f" + &2^Х2 + + &п^ХП> где а₀ -свободный член уравнения;

- коэффициенты регрессии, которые показывают, на сколько единиц изменится результативный признак у, если соответствующий

26

данному коэффициенту регрессии фактор Xj увеличится на одну единицу при зафиксированном на средних уровнях значениях остальных факторов.

На основе корреляционно-регрессионной модели в нашем случае уравнение регрессии имеет вид:

у -8,869312+ 3,186897х] +0,808407х₂-0,07242х₃.

Параметр дг=8,869312 - свободный член, экономического смысла не имеет. Имеет смысл знак, стоящий перед а.Так как параметр со знаком «+», продуктивность меняется медленнее, чем факторные признаки.

Параметры в_ь в₂, в₃- коэффициенты чистой регрессии. Их величина показывает среднее изменение результативного признака упри изменении факторных признаков х на 1 единицу. Параметр в 1=3,186897 показывает, что при увеличении материальных затрат на корма на 1 единицу, продуктивность коров возрастет на 3,19 ц/гол. Параметр в₂=0,81 показывает, что при увеличении затрат труда на 1 единицу, продуктивность коров возрастет на 0,81 ц/гол, в₃=-0,07 показывает, что при увеличении приплода на 100 голов на 1 единицу, продуктивность уменьшится на -0,07ц/гол.

Рассчитаем j>_minподставляясоответствующие значенияxj:

^„=8,869+ 3,187*1,99 + 0,808*4,01 - 0,072*57,26=14,33 j>_max =8,869+3,187* 10,85 + 0,808*16,55 - 0,072*146,52=46,27jW =8,869+ 3,187*6,76 +0,808*9,93 - 0,07242*106,27=30,74

Рассмотрим процедуру оценки существенности уравнения регрессии при помощи критерия Фишера.

Фактическое значение F-критерия равно 5,21, а табличное значениеF- критерия при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы вариацииv, =3 - 1=2 и =25 - 3=22 равно 3,44

Следовательно, данное уравнение регрессии статистически значимо и пригодно для практического использования.

Далее рассмотрим процедуру оценки существенности коэффициента регрессии при помощи критерия Стьюдента.

Для оценки значимости коэффициентов регрессии при линейной зависимости уот факторных признаков используютt-критерий Стьюдента. Расчетное значениеt-критерия по параметру a t_a=3,46 больше, чем табличное*табл=2,0739 при уровне значимости и 22 степенях свободы. Значит, параметраявляется значимым. Расчетные значенияt-критерия Стьюдента по параметрамbih b₂ t_Bl=5,1844 больше, чем табличное значение, значит этот параметры являются значимыми.t_B2=2,012048 иt_B3=-l,53348 меньше, чем табличное значение, значит эти параметры не являются значимыми.

В итоге мы получили, что два параметра в уравнении регрессии являются значимыми, а два незначимы. Исключим из модели факторный признак - затраты труда, так как параметр при нем в₂незначим и имеет наименьшее значения критерия.

Таким образом, на основании частных коэффициентов эластичности 3j , р- коэффициентов можно судить о резервах роста продуктивности молочного стада, которые заложены в том или ином факторе.